книги из ГПНТБ / Апокин, И. А. Развитие вычислительных машин

мы, т. е. алгоритма. И китайский математик стремился решение для проблемы выразить в виде общего правила, четко определяю­

щего ход конструирования искомой величины» [39, стр 436]. Во­ обще древнекитайская математика имеет ярко выраженный вы­

числительно-алгоритмический характер8.

Цифры-палочки употреблялись в Китае примерно с IV в.

до н. э. (а возможно и ранее) до XIII в. н. э. и позже. Нумерация при помощи палочек — древнейшая среди десятичных позицион­

ных систем. Однако позиционный принцип при этом не доведен до

конца: в китайской нумерации при помощи палочек не было нуля-

Отсутствие знака для нуля не было недостатком при вычислении

на счетной доске: в случае необходимости соответствующие ряды

доски оставались пустыми. Большинство выкладок даже после

изобретения бумаги продолжало производиться на счетной доске,

именно это задержало совершенствование китайской позиционной

системы и введение знака для нуля. Знак нуля был введен в

Китае в VIII в. н. ѳ.

Китайские математики достигли совершенства в вычислениях

при помощи палочек. Они легко оперировали с большими числа­

ми. Например, в «Математике в девяти книгах» встречается число

1 644 866 437 500 и его нужно умножить на 16/9.

Приблизительно к VI в. и. э. счет при помощи палочек на счет­

ной доске начал вытесняться прибором, который явился прототи­ пом суань-паня. Этот прибор состоял из прямоугольной доски, рас­ черченной на квадраты наподобие шахматной доски. На этой дос­

ке раскладывались специальные фишки (костяшки).

3 0 7 5 а

Горизонтальных полос на доске было 10, вертикальных — раз­ личное количество. Костяшка в зависимости от того, куда она бы­

ла помещена, обозначала число единиц данного разряда. На ри­ сунке поставлено число 30 753.

8Подробный разбор деления, извлечения корней, решение систем линейных уравнений и других операций на счетной доске в Древнем Китае см. в

[39, 40].

40

Затем прибор был усовершенствован. Костяшки стали употреб­

лять двух цветов: желтые для чисел от 0 до 4, черные — от 5 до 9.

Доску при этом делили только на пять горизонтальных полос, что

значительно уменьшило размеры прибора.

При дальнейшем усовершенствовании счетная доска делилась горизонтальной перегородкой на две части. В каждом столбце ни­ же этой перегородки помещалось не более пяти костяшек, обозна­

чающих единицы данного разряда, одна костяшка над перегород­ кой означала 5 единиц.

2 6 3 5 9

счетный прибор принял в основном вид современного китайского

суань-паня — счетная доска была заменена рамой, в которой были продеты прутья.

Но это был не единственный путь развития счетных приборов в Китае. Встречаются и другие приборы, которые также впослед­

ствии унифицировались в суань-пане (историю приборов в Древ­

нем Китае см., например, [35, 41]. Внешне суань-пан похож на

наши конторские счеты. Различие состоит в том, что весь ящик

разделен перегородкой на две неравные части. На этой перегородке иногда писались иероглифы, соответствующие значению каждого ряда (так же как на римском абаке обозначались желобки и на наших счетах в прошлом столетии — разряды). Суань-пан кладет­ ся длинной стороной к считающему. На всех прутьях в большей части ящика, ближе к считающему, находится по пять костяшек

для отсчитывания единиц. На тех же прутьях, с другой стороны перегородки, имеется по две костяшки — две пятерки.

41

Чтобы положить па суань-пане какое-нибудь число, к перего­ родке с обеих сторон придвигают необходимое количество костя­

шек. Суаиь-пап с XVII в. не претерпел никаких изменений.

ВXVI в. суань-пан, по-видимому, имел несколько другой вид.

Вэто время он впервые стал известен в Японии под названием

сорубан, сохранив до настоящего времени свой первоначальный

вид. На сорубане для откладывания пятерок имеется только по од­ ной костяшке. В остальном он не отличается от суаиь-паня. Ана­

логичный счетный прибор распространен и в Иране.

*♦ *

Абаком пользовались и народы Древней Индии. О широком и

повсеместном распространении абака в Индии говорит само наз­

в тексте, дат и т. п., ио не для вычислений. Вычисления произво­ дились на абаке чаще всего при помощи ракушек, причем для обозначения нуля употреблялись круглые ракушки. Именно они, возможно, послужили прообразом современного нуля.

При позиционной системе счисления с нулем арифметические

операции производить письменно довольно удобно. В Индии по­

зиционная система счисления получила распространение сравни­

тельно рано и вытеснила из употребления абак. Считать начали на доске, покрытой пылью, при помощи заостренной палочки. Ин­

дийские математики разработали способ умножения. Этот спо­

соб получил распространение в Европе в позднее средневековье

42

и во времена Возрождения и получил название «умножение решет­

кой».

У восточных арабов, как и у самих индийцев, абак был вскоре вытеснен индийской нумерацией. Но зато он был в употреблении у западных арабов, которые в конце VIII в. захватили Испанию.

4. Абак в Европе

C распространением торговли началось знакомство европейцев с арабской культурой, прежде всего через Испанию и Сицилию.

До нас дошел ряд работ X—XII вв., посвященных вычислению на абаке. Их авторы Герман Калеки, Рауль (Рудольф,

ум. 113'1 г.), Бернелини, Ланский и др. Наиболее известным яв­

980 г.), которое он написал своему другу Константину (схоласту

монастыря Флери), обратившемуся к нему за разъяснением по поводу счета на абаке. Известным русским историком Н. Μ. Буб­

новым в работах [42—44] подробно исследованы биография Герберта, ранняя история абака и тщательно проанализирован

текст письма Герберта об абаке [42, 43]. Эти работы представля­ ют ценное исследование по рассматриваемым вопросам, хотя не со всеми положениями работ Бубнова можно согласиться.

В письме к своему другу — монаху Константину Герберт пи­ шет, что он «принимается за разъяснение способов обращаться

счислами абака... Хотя уже успело пройти несколько пятилетий

стого времени, как у меня не было ни книги об этих вещах, ни упражнения в них, все же я излагаю здесь одно по памяти в тех

же словах, другое в том же смысле» [43, стр. 122]. Из этого на­

чала письма следует, что Герберту ранее была известна книга об

абаке (подробно по этому вопросу см. [43]). Далее письмо состоит из многочисленных правил умножения и деления для самых раз­

нообразных случаев: умножение единиц на десятки, десятков на

десятки, сотен на сотни и т. п.; деление десятков на единицы, де­ сятков на десятки, тысячи на десятки и т. п.

В972—982 гг. Герберт жил в Реймсе и преподавал различные

предметы в реймской епископской школе, в том числе и счет на

абаке. В то время в употреблении обычно был 12-колонный абак.

Герберт предложил абак с 27 колонками, т. е. для чисел от 1 до IO27. В этом абаке, кроме того, были три дополнительные колонки для счета денег и других мер. Внизу абака имелась справка о монетных системах. Такая таблица (абак) описана в журнале

«Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien Phil. Hist.», Kl. 116, 1888. В наше

время такая таблица Герберта была обнаружена в Швейцарии

[48].

43

Герберт и другие абакисты пропагандировали сами и через

своих учеников употребление абака. Герберту приписывают не­ сколько работ по математике, хотя точно неизвестно, является ли

он их автором; одна из них— «Правила счета на абаке», числа в этой работе пишутся словами или римскими цифрами.

Впоследствии Герберта обвинили в том, что он продался дья­

волу, так как умеет делить любые большие числа.

Действия на абаке во времена Герберта преподавали во мно­ гих школах. Были созданы руководства для счета на абаке,

благодаря чему абак получил широкое распространение в Ев­

ропе.

Европейский абак по сравнению с древним был несколько

усовершенствован. Три столбца отводились для дробей, остальные группировались по три. Сверху столбцов были дуги, которые на­ зывались пифагоровыми (изобретение абака в средневековой Ев­

Вместо камешков стали применять жетоны с записанными па них

цифрами. Эти знаки цифр (а иногда и сами жетоны) назывались

апексами.

Слово «апекс» происходит от латинского «орех», одно из зна­ чений которого — письмена. Неясно происхождение названий

отдельных апексов для 1, 2,.., 9; игин, андрас, ормис, арбас, кви-

мас, кальтис, зенис, теменпас, целентис. К этим девяти добавился

со временем десятый — сипос (от греческого «псефос» — каме­ шек, жетон). Сипос изображался в виде кружка с точкой внутри.

Сипос был апексом технического назначения, его передвигали

для памяти вдоль столбцов абака по мере выполнения действий.

В изображении апексов видны черты современных цифр.

Известны многочисленные рукописи, статьи и книги, в кото­

рых излагаются правила арифметических действий на абаке (см.,

например, [45]). Одной из наиболее известных таких работ явля­ ется сочинение Бериелини (XI в.) «Liber abaci», который указы­

вает, что вместо апексов можно применять греческие буквы. Он

подробно описывает, как производились арифметические действия

на абаке, в том числе излагает действия с дробями [7, стр. 338—

339].

Подводя итоги своего анализа работы Герберта об абаке,

Н. Μ. Бубнов делает не вызывающий сомнения вывод: «Не толь­ ко Герберту или кому-либо из его современников, но даже и са­

мому Пифагору, имя которого в данном случае иногда тревожат,

было бы совершенно не под силу произвести работу многих поко­ лений счетчиков на счетном инструменте, называемом абаком, и

дать ту систему счисления и те правила вычислений, которые

изложены Гербертом... Мы имеем здесь не личное творчество, а

веками в повседневном счете на абаке сказавшиеся арифметиче­ ские заповеди седой старины» [42, стр. III].

44

Широкого распространения абак с апексами не получил, его

изучали в основном только в монастырских школах. Более того,

дальнейшее развитие математики шло в борьбе против примене­

ния абака. Тем не меиее деятельность абакнстов содействовала проникновению индийских цифр в Европу вначале в виде аспексов.

Слово «абак» применялось как синоним математики. Именно

поэтому «Книга абака» (1202 г.) Леонардо Пизанского излагала позиционную арифметику, а также многие другие математические

сведения.

В английском государственном казначействе абаком служила

клетчатая скатерть. Именно поэтому казначейство называлось

Палатой шахматной доски ’, название которой возникло в XII в. В Большой Советской Энциклопедии (т. 31, стр. 568) отмечено,

что название «Палата шахматной доски» «происходит от клетча­

того сукна, которым покрывался стол заседаний в казначействе»,

но ничего не сказано, что эта скатерть служила абаком.

В средневековой Западной Европе получил распространение

так называемый счет на линиях, который в основном совпадает

со счетом костьми в России (см. далее). Этот счет был широко

распространен до конца XVIll в. Вместо счетных камешков для счета на линиях использовались специальные металлические же­ тоны. Их изготовление особенно процветало в Нюрнберге в XVI и

XVII вв. В Эрмитаже (Ленинград) имеется большая коллекция

счетных жетонов, выпускавшихся в разных странах Западной

Европы в XV—XVI вв. Наиболее древние из них — итальянские.

Известны французские счетные жетоны середины XIII в., бель­

гийские с конца XIII в., немецкие с конца XIV в. Счетные таб­ лицы изготовлялись в виде специальных столов, досок, а также

наносились на платках, ковриках и других предметах. О попу­

лярности счета на линиях говорит хотя бы то, что «Лейбниц

предпочитал способ счета жетонами арифметическим выкладкам

на оумаге» [46, стр. 196]. Дольше всего счет иа линиях сохра­

нился в Германии и Австрии. Счет на линиях излагался во мно­

гих учебниках XV—XVII вв. (см., например, [47], «Algorithmus linealis», Лейпциг, 1490). Но возможно, что он возник значитель­

но раньше. Счет производился при помощи жетонов, которые назывались в Германии счетными пфенигами, в других местах — просто фишками.

Счет иа линиях упоминается Шекспиром и Мольером. О ши­ роком распространении счета па линиях говорит хотя бы четверо­ стишие, которое приписывается прусскому королю Фридриху II:

«Придворные — точь-в-точь жетоны,

все их значенье в положении:

в фаворе значат миллионы, но лишь нули —в пренебрежении» [7, стр. 360].

9 Палата шахматной доски была верховным финансовым управлением и высшим судом по финансовым вопросам в Англии до 1873 г.

45

5.Абак в России

Вдопетровской Руси было два наиболее развитых приема

ние, что «счет костьми... уходит своими корнями в глубокую древность» [46, стр. 301].

«Счет костьми» или при помощи счетной доски в литературе излагался неоднократно [46, 49, 50]. Прежде чем начать считать

при помощи счетной доски, нужно приготовить счетное поле,

разграфив горизонтальными линиями стол или специальную до­

ску. Камешек, косточка от фруктов пли специальный жетон на

первой (нижней) линии означал I, между первой и второй ли­ ниями — 5, на второй линии — 10, между второй и третьей —50, на третьей линии — 100 и т. д.

В списках «Счетиой мудрости» счет на счетной доске описы­

вается следующим образом.

«Указ како костьми считати.

Возьми перед себя стол или доску, па чем тебе пригодитца

великий счет считати. И прочерти черту мелом к себе концом, да

поперек 6 черт или 7, или боле, каков счет хошь считать и снизу от себя отчерти 3 черты простых, а на четвертой черте на споях

накрестъ перечерти для памяти и буди ти ведомо первый крест

туто кладутца '1000, а на другом кресту кладутца 1000 000, а

впредь также. А кости клади по чертам или пиняги. На нижней

черте кладетца всякая кость за 1 до 4 костей, а придется положи­ ти 5, и ты положи 1 кость выше первые черты под другую меж

чертами. Ту 1 кость держит 5, а па другой черте всякая кость

держит по 10, а пригодитца положити 50 и ты положи 1 кость

выше другие черты под третью меж чертами. А впредь також

клади. C черты на черту вверх ступай вдесятеро, а промеж чер­ тами впятеро наполовину. Смотри здесь в указе навосми чертах

слова ставлены азбучные и промеж чертами, где по которым ме­ стам кладутца кости счетные и противо которых слов за сколько одна кость кладется. Противо аза всякая кость кладется за 1, а против буки всякая кость кладется за 5» и т. д. 90 леодров. «Ка­

ков тебе счет прилучица так и черты стави. Смотри как здеси

укажу» [46, стр. 284—285].

Далее излагаются правила выполнения четырех арифметиче­

ских действий.

В списках «Счетной мудрости» имеется схема счетной доски.

Аналогичная схема, но с другими обозначениями приведена в

широко распространенной в Европе книге А. Риса «Счет на ли­

ниях». Ее часто можно встретить и в других источниках [50].

10 Список — экземпляр, написанный от руки.

46

Название «счет костьми» (вместо европейского — «счет иа ли­

ниях») происходит от того, что счет производился наряду с ка­

мешками или жетонами при помощи сливовых или вишневых

косточек. Об этом имеются прямые свидетельства. Генрих Шта-

деи, находившийся в России с 1564 по 1576 г., в своих записках отмечает: «В Русской земле счет ведут при помощи сливяных

косточек... В приказах еще были сливяные и вишневые косточки, при помощи которых производился счет» [52, стр. 83, 123]. Счет­

ные жетоны иа Руси назывались «пенязи», поэтому счет иа ли­

ниях назывался еще «счет костьми или пеиязи». При помощи

такой разграфленной доски выполнялись четыре арифметических

действия. Сложение производилось выкладыванием слагаемых иа

линиях, учитывая только, что пять камешков иа линии заменя­

ются одним между линиями, расположенным выше, а два каме­

шка между линиями — одним иа линии выше. Счет удобнее

вести снизу вверх.

При выполнении вычитания вначале выкладывается умень­

шаемое, затем, если это необходимо, некоторые камешки заме­

няются более мелкими по значению (т. е. стоящими ниже), а

затем убираются камешки, соответствующие вычитаемому.

Умножение производится по схеме умножения многочлена на

X(10nfcn ÷10n-‰ +... ÷102⅛ +10&1 + Ьо) =

=10lc+nakbn + 10fc÷n-iαsδn-ι + ... + a0b0.

Произведения ahbn, ahbn-ι и т. е. выполнялись в уме (все эти

произведения в пределах таблицы умножения от 1X1 до 9×9),

степени 10 указывали, иа каких линиях их выкладывать, затем все эти произведения складывались. Например, 66×96 = 6336.

66 96 6-6=36 6-90=540 60-6=360 60-90=540 6336

Q

• • •

ев

0

Деление производилось при помощи раздробления остатка в

высших разрядах с постепенным переходом к единицам. Напри­

47

Второй вид инструментального счета, который был распрост­ ранен в России, был так называемый «дощаный счет».

Почти во всех списках «Счетной мудрости» имеются статьи о «дощаном счете» — самобытном русском инструментальном спо­

собе счисления. Изложение этой статьи в разных списках сопро­

вождается схематическими рисунками, которые отражают посте­

пенное изменение этого прибора. Наиболее полное и подробное описание «дощаного счета» имеется в списке «Счетной мудрости»

(1691 г.) в разделе «Статия учение о дощаном счете» “.

«Дощаный счет», согласно этому описанию, состоит из двух

неглубоких ящиков, каждый нз которых перегородкой разделен

на два отделения. Поперек всех четырех отделений натянуто '14

веревок или проволок. На десяти верхних проволоках, во всех

четырех отделениях, надето по 9 просверленных косточек. В каж­

дом из этпх рядов средняя косточка покрашена в отличный от

остальных цвет. На четвертой снизу проволоке в крайнем левом отделении имеется 4 косточки, в следующих отделениях — 3, 5 и 6

косточек. На остальных трех нижних проволоках во всех отделе­

ниях находится по одной косточке. Когда в ряду отложено 9 ко­

сточек п нужно прибавить еще одну, то следует сбросить эти 9

косточек и положить одну косточку на следующей сверху прово­

локе. «И на четыредесяти осми проволоках всякой счет сочтет

еще есть и под солнцем во твари сей» (т. е. на 48 проволоках

можно сосчитать все в мире) [44, стр. 307].

В остальных списках «Счетной мудрости» описания «дощано­

го счета» по содержанию совпадают с описанием 1691 г. Указы­ вается только на разное количество полных и неполных рядов, а

также разное количество косточек в некоторых рядах. Отмечается,

что в полных рядах бывает не 9, а 10 косточек. В списке 1691 г. впервые употребляется слово «счеты», отсутствующее в более

ранних списках.

Имеются описания, в которых указывается, что перегородки в каждой половине прибора делят только четыре нпжние прово­ локи, т. е. четыре отделения сохраняются только для неполных

рядов. В рукописи 1642 г. приведен рисунок «дощаного счета» только с двумя счетными полями без каких-либо перегородок.

Эти счеты напоминают шкатулку или складывающуюся шахмат­

ную доску. В этой же рукописи имеется рисунок счетов и с че­

тырьмя счетными полями.

В течение XVII в. «дощаный счет» постепенно упрощался. Во всех без исключения описаниях имеется указание на возмож­

ность производить, пользуясь этим прибором, четыре арифмети­ ческих действия как с целыми числами, так и с дробями.

К начальной форме «дощаного счета» относится прибор с че­

тырьмя счетными полями, содержащий в полях ряды по 9 косто­

чек. Но такой прибор уже в первой половине XVII в. был вытес-

11 Полный текст этой статьи приведен в [46].

48

нен в основном более типичным для этого века прибором с двумя счетными полями, в котором только нижние ряды делятся иа че­ тыре отделения, а полные ряды содержат по 10 косточек. В этом же веке встречаются приборы, которые делят неполные ряды только в левом ящике, а также приборы с двумя совсем неразде­

ленными ящиками. В это же время наряду с названиями «доща­ ный счет» и «счетная дщица» стало употребляться слово «счеты».

Неполные ряды «дощаного счета» с разным количеством ко­

стей предназначались для вычислений с дробями. «Дощаный

счет» XVII в. отражает состояние учения о дробях, которое сло­

жилось в России в XV—XVI вв.

Счет целыми числами на «дощаном счете» производился так же, как и иа современных счетах. Счет велся от больших разря­

дов к меньшим в соответствии с тем, как мы произносим числа.

На «дощаном счете» из дробей рассматривались только 1∕2

и '/з и полученные из них другие дроби при помощи последова­

на неполных рядах производился так же, как и счет целых чисел на полных рядах. При уменьшающихся вдвое дробях только одна кость может находиться на данной проволоке, прибавление

еще одной кости из этого ряда переводит ее на следующую про­

чки на одной из проволок современных счетов.

Устройство «дощаного счета» XVII в. соответствовало принци­ пу последовательного деления на два исходя или из половины,

или из трети. Переход от четырех полных счетных полей к ко­

роткой перегородке, при которой только неполные ряды делились

на четыре поля, упростил устройство прибора, не уменьшив его возможностей.

Для действий с дробями разных рядов (происходящих от i∕2 и от */з) «дощаный счет» был не приспособлен. Для счета с та­

кими дробями существовали специальные таблицы, в которых .

даются готовые итоги разных сочетаний дробей. Мы эти таблицы здесь не рассматриваем (см. [4]). Приведем только пример записи

в таких таблицах: «три чети сохи, да полтрети сохи, да пол-пол- трети сохи» составляют соху. В таблицах были зафиксированы и результаты, не обязательно происходящие из действий с двумя

различными рядами. Например: «Три чети сохи, да полчети сохи,

да пол-полчети сохи, да пол-пол-полчетп сохи, да пол-пол-пол-пол-

чети сохи, да поп-пол-пол-пол-пол-полчети сохи» составляют соху без пол-пол-пол-пол-полчети и т. п.

12 Конечно, на проволоке может быть нанизано и две кости, так же как на современных счетах вместо 9 косточек мы имеем 10.

49