книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

женный метод может использоваться обоснованно пока лишь для систем типа электронного газа. Если бы мажорантные тео-

ремы для U< 0 были доказаны, можно было бы указать кон­ кретный путь сколь угодно сильного улучшения граничных зна­ чений Дайсона.

§ 31. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ

Рассмотрим условия термодинамической устойчивости си­ стемы кулоновских частиц, в частности, на примере классиче­ ской системы с сильным взаимодействием. Такая система уже обсуждалась кратко в § 18. Сильное взаимодействие характе­ ризуется параметром

характеризующее малость длины волны по сравнению с ампли­ тудой рассеяния. При этом столкновения заряженных частиц и в плотной плазме можно с достаточной точностью описывать классическими законами. Квантовые свойства системы начи­ нают играть существенную роль в случае вырождения, когда параметр а не мал.

Пусть система состоит из двух компонент: нейтральной (атомов) и заряженной (электронов и однозарядных ионов) с сильным взаимодействием. Предположим для простоты что за­ ряды «растворены» в нейтральной компоненте, т. е. отсутствует взаимодействие атом—заряд, а подсистема атомов термодина­ мически идеальна.

В рамках термодинамики можно рассмотреть условия устой­ чивости плазмы по отношению к адиабатическим возмущениям, протекающим со скоростью, меньшей скорости ионизационной

310

принцип означает следующее: внешнее воздействие, выводящее систему из равновесия, стимулирует в ней процессы, стремя­ щиеся ослабить это воздействие. Так, изменение температуры при постоянном объеме приводит к изменению энтропии систе­ мы. Это означает, что система получает некоторое количество тепла или система теряет некоторое количество тепла, что при­ водит к нарушению равновесия. Восстановление равновесия и должно происходить согласно условию (31.4). Этот результат можно понять еще и так: увеличение температуры системы при постоянном объеме увеличивает число заселенных энергетиче­

ство (31.5). Если система выводится из равновесия путем изме­ нения ее объема при неизменной температуре, то меняется давление в системе. Восстановление равновесия приводит к уменьшению абсолютного значения изменения давления. По­ скольку, например, уменьшение объема системы увеличивает давление, то можно сказать, что уменьшение объема стимули­ рует в системе процессы, стремящиеся уменьшить давление. Поэтому производная в неравенстве (31.5) отрицательна.

Неравенства (31.4) и (31.5) учитывают электроиейтральпость плазмы, а суммарное число ионов и электронов сохра­ няется. Эти неравенства можно свести к простому, физически ясному условию вида

т. е. при постоянной температуре изменения равновесных кон­ центраций атомов и ионов должны быть одного знака [5].

Иногда в качестве единственного условия устойчивости рас­ сматривают неравенство

(dP/dV)T, Nj < О,

которое является необходимым, но недостаточным условием термодинамической устойчивости. В частности, в работе [2], обсуждавшейся в § 18, делается вывод, что добавление идеаль­ ного газа нейтральных частиц может устранить неустойчи­ вость классической системы кулоновских частиц с сильным взаимодействием. Это неверно, поскольку условие (31.4) про­ тиворечит этому выводу, а границы устойчивости системы, при­ веденные в работе [2], теряют смысл, если рассматривать ус­ ловия термодинамической устойчивости.

Именно эта устойчивость обеспечивает возможность сущест­ вования сильновзаимодействующих кулоновских систем. Однако,

311

вообще говоря, имеет смысл исследовать устойчивость систе­ мы при различных типах возмущений. Так, можно рассматри­

где па— плотность нейтральных атомов; п — плотность заряжен­ ных частиц;

Рассмотрим устойчивость плазмы к механическому возму­ щению, медленному в указанном выше смысле. Пусть в системе происходят процессы ионизации и рекомбинации

аi -f е.

зующая число протекающих элементарных реакций. Удобно вве­ сти | следующим образом *:

где N° — первоначальное число атомов в объеме V. Тогда сво­ бодную энергию рассматриваемой системы можно записать в переменных Т, V, При этом вместо выражения (18.10) по­ лучим

Давление в системе определяется производной от этой вели­ чины по объему с обратным знаком:

P ~ - ( d F / d \ г)тл.

Поскольку система находится, по предположению, в состоянии химического (ионизационного) равновесия, то (dF/dl)T v = 0 и

* Это удобно при вычислении производных при постоянном числе частиц. Такие производные нужно брать теперь просто при £ = const.

312

Тогда

(dPldV)T= (dP/dV)T г + (dP/dl)T v (dtldV)T.

Из выражений (31.10) и (31.11) следует

Подставляя в (31.13) полученные таким образом выражения, получаем

Поскольку условие (31.7) обеспечивается отрицательностью про­ изводной (dP/dV)T'i и вместе с тем определяет отрицательный знак второго члена в правой части выражения (31.14), то мож­ но утверждать, что если рассматриваемая система устойчива к мгновенным изменениям объема, то она устойчива и к адиаба­ тическому его изменению.

Можно совершенно формально из термодинамических соот­

которые также легко понять физически с помощью принципа Ле-Шателье. Именно, система с большим числом закрепленных параметров должна активнее сопротивляться внешнему воздей­ ствию, в данном случае изменению объема системы. Как видно из выражения (31.14), условие (31.15) выполняется, если

т. е. при достаточно малой плотности нейтральных частиц, что противоречит условию механической устойчивости (31.7).

Попробуем понять, в чем дело. Представим производную

(dP/dV)T в виде

Нетрудно видеть, что второй член в правой части этого выра­ жения отрицателен, если (d2F/d£,2)TiV> 0. Но последнее нера­

313

венство соответствует условию минимума свободной энергии кай функции числа частиц (наряду с dFjd£, = 0) и является усло­ вием химического (ионизационного) равновесия в системе. По­ этому, хотя и выполняются условия устойчивости к механиче­ ским возмущениям, химическое равновесие неустойчиво и флук­ туации состава плазмы будут выводить систему из состояния равновесия.

По-видимому, одновременной устойчивости химического и механического равновесий в плотной плазме можно достигнуть, если плотная классическая плазма образована из легко иони­ зующейся компоненты (пар щелочного металла), «растворен­ ной» в трудно ионизуемом веществе, таком, как инертный газ. При достаточно высоких температурах щелочной металл будет полностью ионизован и может быть выполнено условие химиче­ ской устойчивости (31.16), где па— плотность атомов щелочного металла.

С другой стороны, устойчивость к механическим возмуще­

В многокомпонентной системе должно, однако, соблюдаться еще

Условие (31.18) предполагает, таким образом, «замороженность» процессов ионизации и рекомбинации в плазме.

Однако при наличии в системе химических реакций, проте­ кающих независимо от диффузии, аналогичное (31.18) неравен­ ство можно представить в виде

Для положительной определенности квадратичной формы необ­ ходимо, чтобы диагональные элементы были положительны, т. е.

314

Условие (31.20) является условием устойчивости химического (ионизационного) равновесия. Обеспечить соблюдение неравен­ ства (31.21) невозможно, поскольку при больших у/ус

Следовательно, если рассматривать диффузию и ионизаци­ онно-рекомбинационные процессы независимо, то приходим к выводу, что плотная классическая плазма всегда неустойчива к процессам диффузии, даже при выполнении условий устойчи­ вости химического и механического равновесия системы. По­ скольку характерное время ионизационно-рекомбинационных процессов много меньше характерного времени диффузии (в до­ статочно плотной среде), можно, по-видимому, утверждать, что диффузия протекает при локальном химическом равновесии в малых объемах системы, т. е. в процессе диффузии в малых объемах не нарушается уравнение

Ра = Hv + Ич-

Приведенное рассмотрение, по-видимому, свидетельствует о том, что плотная классическая плазма с г|1 < л 1 ни при каких условиях не может существовать как устойчивая система. Физи­ чески очевидно, однако, что время ухода плазмы из состояния равновесия в результате диффузии существенно больше времен ухода вследствие неустойчивости других типов. Вопрос, в какое устойчивое состояние приходит система в результате развития того или иного типа неустойчивости, остается открытым. Не исключено, что при определенных условиях происходит расслое­ ние плотной плазмы на фазы.

Возникает естественный вопрос, а является ли устойчивой слабо неидеальная плазма, или даже полностью идеальная, со­ стоящая из атомов, электронов и ионов? Рассмотрим частично ионизованную дебаевскую плазму. Предположим для простоты, что заряженная компонента растворена в идеальном газе ато­ мов, и отвлечемся от зависимости статистической суммы атомов от плотности зарядов. Предположим также, что вклад возбуж­ денных состояний атома в его статистическую сумму несущест­ вен, что справедливо при не очень высоких температурах. С уче­ том сказанного уравнение состояния (9.13) и уравнение иони­

Исследуем рассматриваемую систему на устойчивость, на­ пример, к быстрым возмущениям ее объема. Дебаевская плаз­

315

ма, согласно утверждениям, сделанным выше, устойчива к таким механическим возмущениям, если

(dPleV)z, N. < 0.

Вычисляя эту производную с учетом выражения (31.23), полу­ чаем, что для указанной устойчивости необходимо выполнение неравенства

Выразим плотность электронов пе через среднее расстояние ме­ жду заряженными частицами (электронами и ионами) г* из

соотношения:

Тогда получим

Второй член в левой части неравенства с точностью до числен­ ного множителя порядка единицы представляет собой отноше­ ние амплитуды рассеяния кулоновских частиц к среднему рас­ стоянию между зарядами в степени 3/2, т. е. величину, малую по сравнению с единицей в слабо неидеальной плазме. Следо­ вательно, условие (31.25) всегда соблюдается в дебаевской плазме. К этому же результату можно прийти, учитывая и дру­ гие поправки к дебаевскому члену по параметру гр{Л<С1.

Рассмотрим теперь, выполняется ли условие термодинамиче­ ской устойчивости (31.6), которое в случае водородной дебаев­ ской плазмы принимает вид

поскольку

(дпа/дпе)£ = (dnjdn,)е.

Дифференцирование выражения для па (31.23) по плотности электронов пе при неизменной температуре приводит к условию

Вследствие слабой неидеальности дебаевской плазмы это нера­ венство выполняется. Следовательно, можно сделать вывод о термодинамической устойчивости дебаевской плазмы. Эта устойчивость должна сохраняться при г!кл-»-1, причем термоди­ намическая устойчивость должна нарушаться раньше, чем ус­ тойчивость плазмы к механическим возмущениям системы.

Предлагаем читателю убедиться в том, что вырожденная квантовая плазма в случае ее слабой неидеальности (’Пкв'С!)

* Для простоты рассматриваем лишь однозарядные ионы.

316

также представляет собой устойчивую систему в описанном вы­ ше смысле. Отметим, что устойчивость термодинамически иде­ альных систем автоматически следует из только что приведен­ ных рассуждений.

Вернемся теперь к обсуждению плазмы как системы куло­ новских частиц с сильным взаимодействием. Классическое рас­ смотрение плотной плазмы наталкивается на принципиальные трудности, вызванные расходимостью конфигурационного инте­ грала на малых расстояниях между частицами в случае куло­ новского взаимодействия. В квантовой теории таких трудностей возникать не должно, поскольку при сближении зарядов, со­ гласно принципу неопределенности Гейзенберга, возрастает не­ определенность импульса относительного движения частиц, что эффективно приводит к увеличению кинетической энергии ча­ стиц, распределение Гиббса теряет смысл и появляется эффек­ тивное отталкивание, связанное с квантовыми законами движе­

рассмотрении нельзя, разумеется, учесть и образования свя­ занных состояний в достаточно плотной системе при взаимо­ действии разноименных зарядов.

Если потенциал - взаимодействия — однородная функция ко­ ординат, то, согласно теореме Клейна, можно представить в об­ щем виде AF — часть свободной энергии, обусловленную взаи­ модействием [6]. Величина AFfi/n является в случае классиче­ ской плазмы с сильным взаимодействием функцией параметра взаимодействия г|кл. В квантовой плотной плазме эта величина зависит не только от параметра взаимодействия, но и от отно­ шения дебройлевской длины волны % к характерной длине I (ко­ торой может быть радиус экранирования, амплитуда рассеяния или среднее расстояние между частицами).

Действительно, пусть потенциальная энергия частиц есть од­ нородная функция координат порядка s. Тогда, воспользовав­ шись соображениями подобия, можно определить, от каких па­ раметров зависит свободная энергия системы и вид этой зависимости. В классической термодинамике делают преобразо­ вание подобия вида

где k выражает закон преобразования обобщенного импульса p-+sl,/2p (s соответствует растяжению координат).

317

Очевидно, что наиболее общий вид функции ZN(V, Р ) , обла­ дающей свойством (31.26), таков:

В это выражение входит всего одна неизвестная функция от одной переменной (число частиц N введено во второй член спра­ ва таким образом, чтобы свободная энергия обладала должным свойством аддитивности). Положив теперь k = s, можно сказать, что AFfi/n есть функция одной переменной (е=т= 1):

x = nl/T ' /s.

Вслучае кулоновской системы s = —1 и

хьн е3р/г0.

Вквантовой статистике вместо статистического интеграла

•нужно рассматривать статистическую сумму и сделать дополни­ тельное преобразование

— -И

Величина рАF/n оказывается теперь функцией двух переменных, в качестве которых можно выбрать х и

у = П п и

Выпишем комбинации х и у, характеризующие безразмерные параметры. Так, параметр вырождения есть комбинация х н у , не зависящая от s:

В случае кулоновской системы (s = —1) такая комбинация дает

•отношение дебройлевской длины волны к амплитуде рассеяния, равное e2/hv.

318

Если плотная плазма классическая, то единственным пара­ метром является безразмерная величина т]кл=//^о- В случаеплазмы, в которой начинают сказываться квантовые поправки, но которая еще далека от вырождения, кроме указанного пара­ метра взаимодействия войдет параметр, содержащий дебройлевскую длину волны. В качестве такого параметра можно исполь­ зовать у; при s = —1 y=h/lD, где 1ц— дебаевский радиус экра­ нирования. Однако правильнее, по-видимому, в качестве второго

В плотной кулоновской плазме возможна область, когда плазмаеще далека от вырождения, а параметр «квантовости столкнове­ ний» у ~ 1. Для водородной плазмы наличие такой области про­ иллюстрировано па рис. 1.

Отметим одно интересное обстоятельство, вытекающее из сравнения поправок на неидеальность дебаевской водородной плазмы и классической плазмы с сильным взаимодействием. Из

Если параметр г|1;л~ 1, то соответствующие поправки очень близ­ ки по величине. Разумеется, в этой области нельзя гарантиро­ вать правильность как выражения (31.31), так и (31.32), по­ скольку первое из них получено в предположении Г|КЛ<С1, а вто­ рое справедливо для т1„л^>1. Напомним, что в случае водород­ ной плазмы логарифмические поправки к свободной энергии отсутствуют и в первом, и во втором случае. Более того, непо­ средственный подсчет показывает, что значения п„(|3, /г,) и даже (dna/drij) оказываются близкими при г|,(Л~1. Поэтому, в част­ ности, исследование устойчивости классической системы в этой области однотипно как для дебаевской, так и для плотной плаз­ мы с сильным взаимодействием. В связи с этим для качествен­ ного исследования устойчивости системы кулоновских частиц, для грубой оценки влияния различных факторов, по-видимому, можно пользоваться дебаевским выражением для свободной энергии.

В плотной плазме, даже далекой от вырождения, сущест­ венно влияние квантовых эффектов, определяемых парамет­ ром у. Действительно, если учесть члены в первом порядке поэтому параметру в дебаевской плазме, то

31»;