книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

304

В числителе (5.9) стоит выражение а 0,з{усту полученное из уравнения границы устойчивости, а в знаменателе - выражение для а^з (ра5 ),полученное из уравнения верхней границы [см.верх­

деленном требовании, накладываемом на коэффициенты уравнения

(1.48). Это требование получается из условия

определяющего пределы изменения коэффициентаA3>3j0Ha верхней

границе (см.рис.1.49,а). Применительно к уравнению (2.62) пу­ тем использования приемов, описанных в глазе П (§ 2), требова­

Как указывалось выше, в данном исследовании будут исполь­

зоваться в основном запасы устойчивости по коэффициентам урав­ нений (5.2). Это следует понимать в том смысле, что запасы

устойчивости (5.1), вычисленные применительно к уравнению (2.62), дальше использоваться не будут. Здесь эти запасы были

рассмотрены лишь для того, чтобы показать пример их вычисления и приемы составления для них аналитических выражений.

Для системы четвертого порядка взаимное расположение рабо­ чих областей и границ устойчивости, соответствующее уравнению

(1.58), показано на рис.5.2,б - 5.2,е. При A0ii= 0 рассматри­ ваемое взаимное расположение аналогично расположению рабочей области и границы устойчивости для системы третьего порядка (см.рис.5.1 и рис.5.2,б). При увеличении А0, у взаимное располо­

жение границ рабочих областей и границ устойчивости деформиру­ ется, На рис.5.2,а для наглядности показано взаимное расположе­ ние границ устойчивости для различных значений A0j^,.

Из уравнения (1.58) следует, что для системы четвертого по­ рядка можно рассматривать запасы (5.2) для трех коэффициентов. Однако, следуя методике составления уравнений границ рабочих областей, будем рассматривать запасы mK(A3lt$i ты{А^ имея в

виду, что эти запасы зависят от A01fl, для которого запас устой­

чивости рассматривать не будем.

306

Для правых границ их расположение относительно границ устой­ чивости вполне характеризуется запасом тк (А^^,). Анализ взаим­ ного расположения правых границ и границ устойчивости показыва­

ет, что точки с малыш запасами устойчивости располагаются в средней или в верхней части цравых границ. При этом запасы

устойчивости для каждого А0;М оказываются не меньше наименьше­ го запаса устойчивости (5.6) для системы третьего порядка. Та­ ким образом, можно записать

1Т1к (А1ь^)'^2,2 2.

Наименьший запас устойчивости тк т1П(А^)цдя. системы четвер­ того порядка совпадает с (5.6) и имеет место приД0^(= 0. Та­ ким образом, можем записать

для верхних границ их расположение относительно границ

устойчивости вполне характеризуется запасом тк(А3 ^^.Взаимнов расположение рассматриваемых границ показывает, что здесь запа­ сы устойчивости могут быть как очень большими, так и малыш. Наиболее малые запасы устойчивости для каждого А0Л1имеют место

для крайних цравых точек верхних границ. При этом указанные за­ пасы устойчивости могут быть даже меньше (5.13), но все же яв­ ляются величинами такого же порядка.

Аналитические выражения для запасов устойчивости т к (А^

и т к{Аь ^получатся после подстановки в (5.2) выражений для

307

Взаимному расположению рабочих областей и границ устойчи­

вости для систем третьего и четвертого порядков может быть да­

на общая характеристика. Из рис.5.1 и рис.5.2,б * 5.3,е видно, что нижние участки правых границ рабочих областей соответству­ ют сравнительно большим запасам устойчивости и при стремлении

Дл.,(Д г>з10для системы третьего порядка и A3j<M для системы четвертого порядка) к нулю эти запасы приближаются к бесконеч­

ности. Это легко заметить из выражений (5.8) и (5.14) соответ­ ственно для систем третьего и четвертого порядков.

Таким образом, нижние участки правых границ рабочих обла­ стей характеризуются сравнительно большими запасами устойчиво­ сти. В то же время средние или верхние участки относительно близко располагаются к границам устойчивости,где и имеют место наименьшие запасы устойчивости.

Верхние границы рабочих областей также характеризуются в

целом как сравнительно большими, так и малыми запасами устой­ чивости. Наиболее малые запасы характеризуют участки, близко расположенные к правым границам.

Изложенная общая характеристика взаимного расположения ра­ бочих областей и границ устойчивости справедлива и для систем

пятого порядка, что будет необходимо иметь в виду при рассмот­ рении следующего и других параграфов.

§ 3. ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ПЯТОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим взаимное'расположение рабочих областей и границ

устойчивости для систем пятого порядка. В качестве примера на рис.5.3 показаны области и границы устойчивости для конкретного значения А и5>г.

Прежде чем рассматривать взаишое расположение рабочих об­

ластей и границ устойчивости, остановимся на вопросе построе­ ния границ устойчивости для системы пятого порядка. Оказывает­ ся, что взаимное расположение границ устойчивости между собой

и по отношению к границе устойчивости системы четвертого поряд­ ка для фиксированного А( 5 сохраняется одинаковым независимо

от конкретного значения А )52»В качестве системы четвертого по­ рядка здесь рассматривается система,в которую вырождается си­ стема пятого порядка при АQ9b92= 0.

308

Действительно, условия устойчивости (кроме положительности коэффициентов характеристического уравнения) для системы пя­ того порядка применительно к третьей форме записи уравнения

(1.66) имеют вид.

Введем коэффициенты

^о,5,г= ~ 5 ^ ‘hs,z~ ^‘t,s,z^u5,zi^s,s,z~

л т, 5,г

Тогда записанные выше условия устойчивости можно пред­ ставить

309

^ ^0,5,1^ 0 »

Полученные неравенства (5.18) показывают, что при анализе

областей устойчивости можно рассматривать коэффициенты урав­ нений, определенным образом связанные с коэффициентом А1(5>2,

которые будем называть относительными. В качестве базовой вели­ чины можно црименить не только AhStZ , но и другие коэффици­ енты. В данном исследовании удобно использовать коэффициентА|5г.

Для упрощения обозначений далее не будем вводить относитель­ ные коэффициенты уравнений, а ограничимся рассмотрением обла­

стей устойчивости для фиксированного значения А152, имея в ви­

ду, что для других значений А ьв>г координаты границ областей устойчивости будут изменяться в соответствии с (5Л7).

Таким образом, действительно взаимное расположение границ устойчивости для систем пятого порядка при фиксированном Аь5>2

сохраняется неизменным независимо от конкретных значений A u5fV

В связи с этим при анализе взаишого расположения рабочих обла- • стей и границ устойчивости можно ограничиться построением гра­

ниц для случая А, 5 ^ I (рис. 5.3), а для остальных случаев, ис­

пользовать построенные границы и формулы (5.17).

Из уравнения (1.66) следует, что для системы пятого поряд­ ка можно рассматривать запасы (5.2) для четырех коэффициентов. Однако, следуя методике исследования предыдущих систем, будем

рассматривать для правых границ запасы mK(As 5 2)и для верхних

границ запасы тк{А^ г). При1этом будем иметь в виду, что оба эти запаса зависят от коэффициентовABS^i А, 5 2 , запасы устой­

чивости для которых не рассматриваются. Такой подход оказыва­ ется здесь возможным потому, что анализировать влияние двух

коэффициентов на изменение запасов устойчивости по другим двум коэффициентам можно еще считать допустимым. Для системы шесто­

го и, конечно, для систем более высоких порядков изложенный подход практически неприемлем из-за большого объема исследова­ ний. Для системы пятого порядка положение оказывается более

простым еще и потому, что для выявления формы границ устойчи­ вости достаточно их построить для фиксированного А, 5 2 .

310

Из расположения границ устойчивости для системы пятого порядка, представленных на рис.5,4 видно, что нижние участки

границ независимо от значений А05 2 практически сливаются с границей устойчивости для системы четвертого порядка, которая

получается приAcs = 0. Правая ip анида рабочих областей, как известно [см.нижнее уравнение (1.67)] , не зависит от коэффи­ циента A0iS г. Поэтому о взаимном расположении границ устойчи­ вости и рабочих областей применительно' к правым границам мож­ но судить по рассматриваемому взаимному расположению границ

для системы четвертого порядка (А05 2= 0).

Уравнение системы четвертого порядка, которое получается

из (1.66) приА„с = 0 записывается

следует из содержания главы 17, также записывается по этому уравнению. В связи с этим и можно исходить при рассмотрении взаимного расположения правой границы и границы устойчивости для системы пятого порядка из уравнения четвертого порядка

(5,19).

Для системы четвертого порядка выше был получен вывод об

относительно больших запасах устойчивости для точек нижних

участков правых границ. Теперь можем сделать вывод о том, что это положение распространяется и на системы пятого порядка, что подтверждает рис.5.4.

Для системы четвертого порядка было показано, что наимень­ шие запасы устойчивости характерны для средних и верхних уча­ стков цравых границ этой системы. Из рис.5.4 видно, что этот результат является характерным и для системы пятого порядка. Причем, как и для системы четвертого порядка, запасы устойчи­ вости по величине не меньше (5.6), т.е. можем записать для си­ стемы пятого порядка

тк (А5,5,г) у'^,22

Здесь нужно только иметь в виду, что для каждого значения

^Ь5 ,г ПРИ Ао,5,Т 0 Рабочие области являются наиболее широкими

(верхняя граница наиболее удалена от оси абсцисс). Поэтому мо­

жет оказаться, что точки, соответствующие наименьшим запасам

г

311

312

устойчивости (5.20), располагаются выше верхних границ рабо­ чих областей. Однако это не меняет вывода о величине (5.20). Рассмотрим взаимное, расположение верхних границ рабочих областей и границ устойчивости (рис.5.4). Здесь запасы устой­ чивости аналогично предыдущим системам могут быть как большими, так и малыш. При возможных формах верхних ветвей границ устой­

чивости (рис.5.3) и горизонтальных верхних границах рабочих об­ ластей (горизонтальными верхние границы являются и для других систем) относительно меньшие запасы устойчивости для точек

верхних границ имеют место, как и для систем четвертого поряд­ ка, для участков, близко расположенных к правым границам (см. рис.5.4). Кроме того, в отличие от систем четвертого порядка для систем пятого порядка запасы устойчивости цриASStf 0 мо­

гут в определенных случаях практически совпадать с запасами

устойчивости для участков, близко расположенных к правым гра­ ницам, вследствие почти горизонтального протекания в этих слу­ чаях верхних участков границ устойчивости. Это видно из того же рис.5.4. Нужно иметь в виду, что эти зэпасы устойчивости

определяются запасами устойчивости rnK ( A Qk () для правых гра­

^ 4 , 4 , г ( р а б )

Используя последнее соотношение (4.91), для числителя и знаме­ нателя (5.21) записываем

было поставить одновременно индекс р а 5 в соответствии с мето­ дикой составления уравнений верхних границ рабочих областей. В (5.22) для этих же коэффициентов поставлены одновременно ин­

дексы уст на том основании, что значения Ak 5 г (уст) будут рас­ сматриваться только для условия ASj5z= 0.

Подставляя (5.22) и (5.23) в соотношение (5.21), получаем

кой взаимного расположения рабочих областей и границ устойчи­ вости для систем третьего и четвертого порядков.

Нижние участки правых границ рабочих областей характери­

шими, так и малыми запасами устойчивости. Малые запасы устой­

чивости, если и имеют место, то они мало отличаются от (5.26). Исследование запасов устойчивости для системы пятого по­

рядка позволило вскрыть две закономерности, о которых уже го­ ворилось выше. Отметим их еще раз, так как они будут исполь­

зоваться при исследовании систем более высоких порядков и да­

дут логический переход к укороченной форме критерия устойчи­

вости Рауса - Гурвица.

Оказывается, что цри рассмотрении запасов устойчивости для

ния запасов устойчивости для верхних границ нужно иметь в ви­

ду, что малые запасы устойчивости могут иметь место для левых оконечностей этих границ, где они могут определяться как запа­