294
наличием аналитических соотношений для показателей качества
составляющих. Правда, для апериодических звеньев второго поряд
ка тоже могут быть получены аналитические соотношения для ука занных выше показателей по методике, использованной в [30,20). Однако в этих работах получены аналитические соотношения толь
ко для максимальных отклонений.
Объединение составляющих первого порядка, если рядом рас положены более чем две составляющие, может осуществляться по
различным правилам. В данной работе предлагается осуществлять рассматриваемое объединение, начиная его с наиболее быстропротекающих составляющих путем проб. Сначала предпринимается по пытка объединить две наиболее быстропротекагацие составляющие
в одну составляющую. Вели они соответствуют колебательному зве ну, то объединение считается выполненным и предпринимается по
пытка объединить следующие две составляющие. Если колебатель ное звено не получается, то из первоначально рассматривавшихся двух составляющих первого порядка исключается наиболее быстропротекающая составляющая и рассматриваются следующие две рядом
расположенные составляющие. Этот процесс продолжается и далее.
X X
X
Цель составления данного материала, как указывалось в на чале параграфа, состоит в повышении точности приближенного опи сания переходных процессов с тем, чтобы достигнуть повышенной точности в определении показателей качества переходных процес сов.
Рассмотренные выше приемы относятся к повышению точности описания колебательных составляющих. Использование этих прие мов отразится в записи передаточных функций на значениях "сред них" коэффициентов. Имея в виду это обстоятельство будем для колебательных составляющих, соответствующих исправленным коэф фициентам, передаточную функцию вместо (4.139) записывать в виде
^h—i |
а„П.-L |
bm_i Р + |
bm-i Р + ° n - i |
Ь ( Р ) = |
. ( 4 . 2 4 2 ) |
a n - i ~ z P + a n - L - i,u Р + a n-L
299
Для иллюстрации достигнутых результатов в повышении точно сти приближенного описания процессов на рис.4.25 - 4.28 пока
заны примеры переходных процессов для систем третьего и чет вертого порядков. Процессы получены путем сложения процессов
для отдельных составляющих, вычисленных без учета законов из менения предыдущих составляющих.
300
Г л а в а У
ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЙ ПРОЦЕССОВ НА ПРОСТЕЙШИЕ СОСТАВ
ЛЯЮЩИЕ И ОПЕНКА ЗАШСОВ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ УРАВНЕНИЙ
§ I. ОНЦЙЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Одно из требований, каким должна удовлетворять любая ра
ботоспособная линейная автоматическая система, заключается,как известно, в ее устойчивости. При этом предполагается, что име ют место определенные запасы устойчивости по коэффициентам уравнений систем. Однако при изложении задачи приближенного разложения процессов на простейшие составляющие для систем различных порядков требование по указанным запасам устойчиво
сти специально не рассматривалось.
Правда, для систем третьего, четвертого и даже пятого по рядков взаимное расположение рабочих областей и границ устой
чивости частично было показано при решении задачи приближенно го разложения процессов на простейшие составляющие. Желательно,
чтобы исследование по оценке запасов устойчивости было прове дено полностью для систем различных порядков, включая и систе мы третьего и четвертого порядков.
Исследование изложенных вопросов будет проведено в данной
главе. Причем исследование будет излагаться в плане последо- . нательного описания результатов, которые в итоге привели к укороченной форме критерия Рауса - Гурвица. Эта форма крите рия Рауса - Гурвица дает ответ на вопрос о запасах устойчиво
сти по коэффициентам уравнений для систем, удовлетворяющих исходной предпосылке метода.
301
Для характеристики запасов устойчивости по коэффициентам уравнений будем использовать обозначения тк (а^) и т к (А^). Эти обозначения соответствуют запасам устойчивости по коэффициенту с номером J, для записи уравнения системы в первой [ т к ( о ^ и
третьей [/77*(ЛД]формах, т.е. соответствуют уравнениям (2.62)
и (2.65), применительно к которым и будем рассматривать запасы
устойчивости по коэффициентам уравнений.
Введенные характеристики запасов устойчивости равны отно |
шениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 1 l y c m ) |
|
(5.1) |
и |
|
|
|
(рай) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тк (А}) = |
A j.( уст) |
|
(5.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н (Роб) |
|
|
В (5.1) и (5.2) |
через oj.(pa5) и |
А^ ^рдб^обозначены значения ко |
эффициентов a'j_ |
и |
для границ рабочих областей, |
а через а^(чст) |
и А^уст) ~ |
значения тех же коэффициентов для точек границ устой |
чивости, |
которые получаются при удалении от рабочей области за |
счет изменения только коэффициентов |
и Aj_ при неизменности |
остальных коэффициентов. |
|
|
|
Нужно иметь в виду, что для запасов устойчивости (.5.1) и |
(5.2) справедлива связь |
|
|
|
|
|
|
тн ( 0 ; ) |
= т к (А^). |
(5.3) |
Действительно, если для А-( )и А д ра5^воспользоваться необхо димым соотношением из (2.24), то полагая, что уравнения (2.62) и (2.65) соответствуют уравнениям (2.22) и (2.23), получим
Ле(уст> |
aj <Уст) |
,.i-j и |
|
aj.(раб) |
^ (5.4) |
А. |
|
<П |
ь |
А[ |
|
o L |
t |
Подставляя |
(5.4) в (5.1) и учитывая (522), |
получим указанную |
выше связь |
(5.3). |
|
|
п |
|
|
Принципиально для уравнения системы |
порядка можно рас |
сматривать п + I запас устойчивости (5.1) |
и п - I |
запас устой |
чивости (5.2) |
в соответствии с |
тем, что в уравнении (2.62) име |
ется п + I |
коэффициенты, которые можно изменять, |
а в уравнении |
(2.65) таких коэффициентов на два меньше из-за условий (2.64)
и (2.64').
Однако в данном исследовании будет рассматриваться меньшее
число запасов устойчивости (5.1) и (5.2) в связи с тем, что
302
здесь будет применяться такое же графическое представление ра бочих областей, какое применялось в главе IУ. Кроме того, по этой же причине ниже будут рассматриваться в основном запасы (5.2). Более кошфетно это будет ясно из последующего мате риала.
§2. ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СЖТЕМ ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ
Обратимся к системе третьего порядка. На рис.5.1 для этой системы показана рабочая область и граница устойчивости, со ответствующие уравнению (2.65). Из этого уравнения следует,
что для системы третьего порядка запас устойчивости (5.2) мож но рассматривать для двух коэффициентов Агэ о и А3 5<0. Однако из взаимного расположения рабочей области и границы устойчиво сти видно, что для точек правой границы их расположение отно
сительно границы устойчивости вполне характеризуется запасом т к(^з-,з,о)и запас тк (Аг 3)0)здесь можно не рассматривать. С дру гой стороны, для точек верхней границы целесообразно было рас
сматривать по аналогии с правой границей только запасы т к(Аг з0]. Вместе с тем, для всех точек верхней границы эти запасы равны
бесконечности, и поэтому необходимость в их анализе вовсе от
падает.
Таким образом, для системы третьего порядка рассматривался только запас устойчивости
303
А з,э,о (.уст) |
(5.5) |
т к |
^з,з,о(раб) |
|
Запас (5.5) может вычисляться по отрезкам, |
которые дай точ |
ки L показаны на рис.5.Г. |
|
Анализ взаимного расположения, границы устойчивости и пра
вой границы рабочей области показывает, |
что наименьший запас |
устойчивости л?к (А^^имеет место для точки |
L , где он состав |
ляет |
|
|
2’ 22' |
|
<5' 6> |
При аналитическом определении точки |
L |
нужно лля А3 3 0(уст^ |
и А3 i 0 ^paS)использовать аналитические зависимости. Для A3t3,0(paS) эта зависимость есть уравнение правой границы [см.нижнее урав
нение (1.51)3 |
, |
а для Л 3 , з ;0 (у с т )ПО |
критерию Пурвица получаем |
|
|
|
А з,з,о ( уст) |
~ |
^ г, 3,0 • |
(5.7) |
Подставляя (I.5I) |
и (5.7) в (5.5), |
записываем |
|
„ |
( |
„ |
^ ^+ЗАг 3 , о + |
2Агзо + 0 Л А гзо |
^ |
m K ( A 3t3t0) = -------- :----- — -------------------- •
0 А г, з,о
Шнимум этого выражения соответствует точке L .
Для уравнения третьего порядка в первой форме в соответст вии с числом коэффициентов могут рассматриваться четыре запаса
устойчивости по коэффициентам уравнений (5.1). При вычислении этих запасов должны использоваться зависимости для границ устой
чивости рабочих областей. В качестве примера получим аналити ческие выражения для запаса устойчивости по коэффициенту а 0 для точек верхней границы. В соответствии с (5.1) для указан ных точек имеем
а о,3 |
(уст) _ |
а 1,з а г,з |
|
а з,з |
(5.9) |
т к ( а 0,ъ ) = |
( раб ) |
6 ~ ,у3 |
^ 0 , 3 |
|
а 2 , 3
или
а г,з
(5.10)
