книги из ГПНТБ / Подводные и подземные взрывы сб. ст

q qо), будут давать значительный вклад. В большин­ стве приложений Яо(<7о) будет слабо изменяющейся функцией <7о, за исключением окрестности qo = n. Сле­ довательно, если <7о не близко к п, мы можем А0(р) вы­ нести за знак интеграла, как и Aofpo), и использовать тот факт, что

чтобы получить

где черта означает, что этот результат соответствует асимптотической или лучевой аппроксимационной тео­ рии. Аналогичным образом для вертикальной компо­ ненты имеем

Для большинства приложений P(qo) и Q{qo) будут

достаточно слабо изменяющимися функциями qo, так что можно положить Р(р) ж Р(0) =P(q0), Q(p) » « <3(0) = Q{qo) в (38) и вынести эти члены за знак

интеграла. Тогда

Вводя переменнуюг/°=(/гг/2^)/з [(1 — n2)h—(^—ql)h] и используя соответствующую аппроксимацию для квад­

ратного корня (/г2 — р2)'/г в уравнении (39), Червени [3] получил следующее выражение для поля отраженной

Р и с. 3. Схема пути пробега головной волны Р„

волны сжатия, которое справедливо для значении qo, близких к п (и включающих п):

X exp ( - p’2)dp — г'2у' / p°.

эффициент отражения сферической волны, причем до­ полнительное слагаемое определяет зависящую от ча­ стоты поправку для коэффициента отражения плоских волн. Благодаря уравнению (40), справедливому вблизи q0 =zii, и (36), справедливому всюду в остальной обла­ сти, мы имеем полное решение для смещения в дальней зоне, связанного с волнами типа РР от гармонического источника. Однако для q0 > п к общему полю отражен­ ной волны добавляется вклад, связанный с интегрирова­ нием вдоль D* и соответствующий преломленной волне Рп в критической области. Для значений qo, близких к п (но больших п), поле волны Рп будет интерферировать с полем РР, и наблюдаемое смещение будет результатом суперпозиции смещений двух волн. Для q0 п времена пробега этих двух волн будут существенно различаться, так что интерференция для нестационарного источника уже не будет иметь места.

Вводя переменную у" = L \kn (1 — п2)/2г]'Гг, где L — расстояние, проходимое волной Р„ параллельно границе (рис. 3), Червени [3] получил следующее приближенное решение для интеграла вдоль D*, которое справедливо для значений q0, близких к п:

Когда L велико, можно перейти к асимптотическому со­ отношению

которое часто использовалось для расчетов [8, 16].

В окрестности qo — п волновые поля РР и Рп будут интерферировать. Следовательно, чтобы получить сум­ марное поле в этой области, необходимо сложить обе компоненты (40) и (42). Тогда получим

волны в окрестности критической точки можно записать

где Dу, — протабулированная функция Вебера поряд­ ка '/г, уравнение (46) представляется в легко реализуе­ мой расчетной форме.

Таким образом, уравнение (46) вместе с уравнения­ ми (44) и (36) дает полное описание основных волн сжатия, образуемых при отражении сферической волны сжатия от плоской границы, разделяющей два твердых полупространства. Из (36) можно видеть, что для qo «С п отраженная волна будет иметь ту же самую временную зависимость, что и падающая волна, поскольку величи­

ставляющая скорости смещения отраженной волны в этой области может быть непосредственно выписана для случая компоненты при ступенчатой функции возбужде-

кое простое в окрестности критической точки, поскольку член в скобках комплексный и зависит от частоты. В этом случае компоненты скорости наиболее легко рас­ считываются численно при помощи обратного преобра­ зования Фурье.

В области <7о п компонента РР отраженного поля идентична этой же компоненте в области <7о «С /г. Одна­ ко из уравнения (23) следует, что A0(qo) является ком­ плексной функцией для qo> п. Хотя A0{qo) не зависит от частоты, обратное аналитическое преобразование Фурье не может быть выражено в элементарных функ­ циях [4], и результирующие компоненты скорости долж­ ны включать экспоненциальные интегралы различных аргументов. Следовательно, профили скоростей в этой области также могут быть рассчитаны численными ме­ тодами.

Вклад критически преломленной волны Рп в волно­ вое поле отраженной волны в области <?о >> п можно рассчитать с использованием асимптотического соотно­

Тогда, поскольку соответствующая компонента ско­ рости может быть получена путем умножения на —/со, временное выражение скорости смещения в ; волне Рп идентично аналогичному выражению для падающего смещения. Это означает, что Рп является «интегральной» волной, что хорошо известно из предыдущих исследо­ ваний [8]. Поэтому мы можем написать выражение для компоненты скорости, обусловленной ступенчатой

346 ДЖ. Р. МЕРФИ

составляющей функции источника, в виде

и, таким образом, B(n)/ci\ соответствует времени пробе­ га, связанному с волной Рп (рис. 3). Так как для боль­ ших радиальных расстояний L л; г, амплитуда критиче­ ски преломленной волны будет убывать в дальней зоне по закону г 2 при отсутствии какого-либо другого меха­ низма затухания.

Для всех вертикальных компонент движения будут иметь место аналогичные соотношения с подстановкой cos е вместо sin е.

ПРИЛОЖЕНИЕ К РАСЧЕТУ ВОЛНОВЫХ ФОРМ

ПРИ ПОДЗЕМНЫХ ЯДЕРНЫХ ИСПЫТАНИЯХ

В предыдущем разделе представлены уравнения, ко­ торые описывают отражение сферической волны сжатия от плоской границы, разделяющей два однородных упругих полупространства. В настоящем разделе эти результаты будут использованы для расчета на свобод­ ной поверхности компонент скорости смещения различ­ ных типов волн сжатия, которые обычно наблюдаются при подземных ядерных взрывах [7]. Модель, которая будет обсуждаться в дальнейшем, приведена на рис. 4. Здесь показано (используются обозначения волн, принятые Хейзом [7]), что в заданной точке наблюдения, расположенной в дальней зоне, результирующее поверх­ ностное движение будет обусловлено, во-первых, отра­ женной РР\ и критически преломленной Ps волнами, образующимися на первой границе раздела (фундамент), и, во-вторых, отраженной РтР и критически преломлен­ ной Рп волнами, связанными со второй границей раз­ дела (Мохо),

Из геометрии задачи очевидно, что будут существо­ вать и другие типы волн, подходящие к точке наблюде­ ния (например, поперечные волны в результате обмена на границах, многократные отраженные волны в каждом слое и т. д.). Однако будут рассмотрены только те типы

Рис. 4. Пути пробега выбранных воли сжатия в многослойной модели.

волн, которые обычно идентифицируются в области реги­ страции волн Р на сейсмограмме, т. е. на участке от первого вступления до времени вступления основных типов поперечных волн. Следовательно, мы теоретически рассчитаем скорость смещения на поверхности для этих нескольких типов волн и проследим, как эти расчеты со­ гласуются с экспериментально наблюдаемым сейсмиче­ ским движением. Для того чтобы произвести такие расчеты, необходимо уравнения, представленные в пре­ дыдущем разделе, дополнить соотношениями, учиты­ вающими эффект свободной поверхности и существова­ ние дополнительной границы.

Для учета эффектов свободной границы имеется

несколько возможных альтернативных подходов.

Простейший способ (справедливый для модели, пока­ занной на рис. 4) состоял бы в расчете компонент ско­ рости смещения на поверхности с использованием коэф­ фициентов отражения на свободной поверхности для плоских волн. В этом случае вертикальная Az и гори­ зонтальная А,- компоненты движения поверхности для падающей под углом е волны с амплитудой А имеют вид

где f — угол, который отраженная поперечная волна об­ разует с нормалью к свободной поверхности и который определяется соотношением sin f = (&,/ai)sin е. Другой возможный подход состоял бы в использовании соответ­ ствующих геологических данных для построения много­ слойной модели разреза под пунктом наблюдения вплоть до границы Z — Z2 и последующего расчета передаточ­ ной функции этой слоистой пачки при помощи матрич­ ного метода Хаскелла [6, 12]. Эта более сложная пере­ даточная функция, однако, зависела бы от частоты, и потребовалось бы обратное численное преобразование во временное изображение для всех углов падения. Поэто­ му вначале мы рассмотрим только пересечение свобод­ ной поверхности, описываемое уравнениями (53).

Также будет рассмотрена передача энергии из среды 1 в среду 2 и обратно. Обозначая соответствующий коэф­ фициент через Т = Т]2Т2ь получаем

JV (Л* _

а~К+, L+ заданы уравнениями (22).

.Единственными оставшимися для обсуждения вопро-' С^Ш Шляются*'вопросы о функции источника и способе «Меленного интегрирования. Из уравнений, представлен-1

где В (со) — комплексная функция со. Так как f(т) — дей­ ствительная функция, положим В (со) = /?(со) + iX(a) и перепишем (56) в виде

где пределы интегрирования а и b определяются из ус­ ловий аппаратурной частотной характеристики и спектра функции источника. В данной работе аппаратурные ха­ рактеристики не рассматриваются, поскольку анализи­ руемые данные были получены велосиметрами типа L-7, которые имеют плоскую характеристику, в полосе от 0,1 до 34 Гц [10]. Интеграл, заданный (57), представ­ лен теперь в форме, удобной для численного вы­ числения.

В такой постановке задачи скорость смещения на по­ верхности в дальней зоне, обусловленная вступлениями, показанными на рис. 4, может быть рассчитана во всем диапазоне существования различных типов волн. Вы­ бранный пример относится к взрыву «Бокскар», при ко­ тором имелась широкая сеть наблюдений с установкой приборов на твердых породах. Параметры источника для этого взрыва были определены при помощи недавно разработанных сейсмических законов подобия [11] и приведены в табл. 1. Физические свойства слоистой мо­ дели и соответствующие графики времен пробега раз-

Табмща I

Параметры источника для