книги из ГПНТБ / Подводные и подземные взрывы сб. ст

изучены, и мет простой количественной модели, пригод­ ной для оценки ожидаемого изменения в уровне макси­ мальных амплитуд в связи с вариациями условий рас­ пространения иа профиле источник — приемник.

Эта статья описывает первый шаг в развитии такой модели. Усилия в этом направлении были стимулиро­ ваны тем практическим обстоятельством, что'на сейсмо­ граммах с записями подземных взрывов имеется отно­ сительно небольшое число волновых вступлений или групп, определяющих основные признаки записи [7]. В частности,- только три главных типа волн сжатия обычно выделяются на сейсмограммах, полученных на расстояниях до нескольких сотен километров. Поэтому будут описаны такие количественные модели, которые могут быть использованы для расчета волновых форм и действительных амплитуд этих нескольких вступлений волн сжатия на основе доступных измерению физиче­ ских свойств пути распространения.

Основная граничная задача может быть сформулиро­ вана как задача об отражении сферической волны сжа­ тия от плоской границы, разделяющей два упругих изо­ тропных полупространства, находящихся в жестком кон­ такте. Определенные аспекты этой задачи уже решены и в деталях обсуждались различными исследователями. Однако большинство из опубликованных решений яв­ ляются асимптотическими и, следовательно, применяются только в ограниченном диапазоне существования раз­ личных волн [8, 16]. В приложении к вопросам сейсми­ ческой безопасности при взрывах именно те области, в которых асимптотические решения не могут быть ис­ пользованы, представляют наибольший интерес.

Однако более полная формулировка задачи была не­ давно опубликована Червени [3], который получил аппроксимирующие аналитические выражения для поля отраженной волны, справедливые во всей области суще­ ствования различных типов волн. В этой статье полу­ ченные Червени результаты обобщаются на случай сейс­ мического источника ядерного взрыва, действующего в многослойной модели земной коры, и эта модель исполь­ зуется для расчета вступлений волн сжатия при подзем­ ных ядерных взрывах.

ОТРАЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОТ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ

Пусть сферические волны излучаются симметричным источником сжатия в бесконечной однородной среде. Вне области источника смещение U удовлетворяет урав­ нению движения

(X + 2p)V(V- U ) - nV X (V X U ) —р - ^ - = 0, (1)

где К, р, — константы Ламе и р — плотность. Источник характеризуется следующим условием: на границе источника напряжение в упругой области равно и про­ тивоположно по знаку давлению на этой границе, т. е.

' • Вследствие симметрии источника представляют ин­ терес только волны сжатия. Поэтому воспользуемся представлением U = Vcp, где ф — потенциал смещения волны сжатия, который удовлетворяет волновому урав­

Разделяя переменные и предполагая гармоническую за­

давления, действующего на границе упругой зоны, в форме [11]

где Н (t) — единичная ступенчатая функция. Для целей сопоставления представляют интерес компоненты

Рис. 1. Пути лучей прямой и отраженной волн для точки наблю­ дения (г, Z).

(U, W) скорости колебания частиц. Следовательно, под^ ставляя (10) в (14) и взяв производную по времени, получаем для радиальной компоненты скорости

где

аI

Вычисление интегралов в (16) путем интегрирования по контуру дает для члена, обусловленного ступенчатой функцией,

Я, = Ге1 - е~2^ х {cos 2 [у (1 — у)]'/г соох — Y [Y (1 — У)\~ЪX

p la lR

X sin 2 [у (1 — y)]'h 0 от} cos e0, (17a)

и для члена, обусловленного экспоненциальной функ­ цией,

X{2у (а — сй„) cos 2 [у (1 — y)]Vs 0 от +

+[у2 (2со0—а) + ау] [у (1 — у)]- '/г sin 2 [у (1 — у)]’/г и0т)] cos б0,

(176)

где Шо = fli/rei и 0 = 0 1 + 0%. Вертикальная компонен­ та скорости может быть получена из (17) подстановкой

— sin ео вместо cos бо.

Теперь рассмотрим взаимодействие этой первичной сферической волны с плоской границей раздела между двумя полупространствами на Z = 0. Поскольку сим­ метрия возмущения отличается от симметрии на грани­ це, удобно перейти к изображению сферической волны суперпозицией плоских волн, используя представление Вейля, и записать [2]

где q = sin б, а Яо1*— функция Ханкеля первого рода нулевого порядка. Выражая падающее возмущение в виде суперпозиции плоских волн, естественно предста­ вить отраженную сферическую волну путем ввода в

336 д ж . р . м ёрф и

подинтегральное выражение (18) коэффициента отра­ жения для плоских волн. Тогда получим потенциал отраженной волны Р:

со со

типа РР. Обозначая далее смещение от гармонического источника нулевым индексом и полагая Н = (Z-)-Zo)/2, получаем

. . со

£ / * . = - - 1 J A 0 ( q ) H ? { k r q ) e x p [ 2 i k H { l - q * ) ' h] x

оо

^ 0 = 4 / A0(q)H{ol)(krq)exp[2ikH(l-q-)'l2]qdq,

где. Н[1)— функция Ханкеля первого рода первого поряд­ ка. Понятно, что коэффициент отражения /10(<7) будет играть важную роль при вычислении интегралов (20). Для отраженной волны Р его можно записать в виде [3]

где

-±

K± ( q ) = ± q z{ n \ ( p - l ) - 2 q 4 m - l ) Y +

и, для того чтобы удовлетворить условию излучения на

ниям (20) необходимо предположить, что А0(д) являет­ ся слабо изменяющейся функцией q в окрестности седло­ вой точки. Однако, согласно (21), оказывается, что это условие не будет выполняться в области q = п (т. е. в критической точке), которая представляет особый инте­ рес в настоящем исследовании. Следовательно, удобно

приближенных' решений, поскольку подинтегральное вы-' ражениесильно осциллирует вдоль этого пути. Крбме; того, вычисление по этому пути привело бы к получению единого выражения для потенциала, обусловленного вкладами различных волн (например, РР, Рп и т. д.) в суммарную «отраженную» волну, что затруднило бы анализ роли отдельных компонент. Следовательно, же­ лательно заменить первоначальный путь интегрирования' таким, при котором вычисления были бы проще. При изменении пути необходимо рассмотреть особые точки Подинтегрального выражения.- Они представлены точ-' ками ветвления q = ± «, q = ±1, д = ±п.\ и q = +пп2, а также полюсами, соответствующими корням знамена­ теля в уравнении (21). Однако может быть показано, что вычеты полюсов соответствуйт волнам Стоили, рас­ пространяющимся вдоль границы, в то время как ре­

ял2 > 1). Так как амплитуды этих волн убывают экспо­ ненциально с удалением от границы [2, 4], то эти члены не представляют интереса для наблюдений на поверхно­ сти, и ими в дальнейшем можно пренебречь.

Принимая во внимание предшествующее обсуждение, приступим к выбору оптимального пути интегрирования. При этом мы будем следовать Червени [3], который все­ сторонне исследовал эту задачу. Первым шагом является определение отрезков ветвления таким образом, чтобы последовательный расчет интегралов по любому линей­ ному пути возможно было бы выполнить достаточно просто. Выбранное параметрическое уравнение для этих отрезков задается в форме

(1 - = (1 - ^BR)'/I + p e ~ W \ (25)

где р — действительный параметр, непрерывно изменяю­ щийся от 0 до °о, ^Br — точка ветвления со значением либо 1, либо я. Первоначальный путь интегрирования в уравнении (20) тогда преобразуется в полуокружность в верхней полуплоскости, дополненную кривой, которая описывается параметрическим уравнением

(1 - = (1 - q l f + ре-* <"/<>, (26)

где qo играет роль угла падения в лучевом приближе­ нии, а р является теперь действительным параметром, непрерывно изменяющимся между — оо и оо. Преобра­ зованный путь интегрирования в комплексной плоскости q показан на рис. 2 для двух случаев qo ^ я и qo > я, где полуокружность обозначена индексом D, а петля через Da. Как показано на рисунке, для того чтобы оставаться на соответствующей плоскости римановой поверхности для qo > я, петля, заданная (26) (т. е. D0), должна быть дополнена петлей D* вокруг границ разреза, связанного с точкой ветвления в q = я. Когда радиус той части пути, которая соответствует полуокружности, прибли­ зится к бесконечности, вклад интегрирования вдоль D будет стремиться к нулю, а потенциал отраженной вол­ ны будет задан интегралом по пути D0 или для q0 > я по путям D0 плюс D*.

Теперь мы вычислим для отраженной волны РР ком­ поненты смещения ((Др и UP/J путем вычисления инте-

тралов в уравнении (20) вдоль пути D0. Можно пока­ зать [3], что для точек на D0 всегда будет сохраняться

условие kr\q | > 1, когда krqj j/2 » 1. Таким обра­ зом, для удаленных точек наблюдения функции Ханкеля

Р н с. 2. Преобразованные пути интегрирования в комплексной пло­ скости q.

в (20) можно заменить их асимптотическими представ­ лениями