книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

Для нахождения произвольных постоянных С и Д ис­ пользуем краевые условия, при которых заранее известн прогибы, т.е. на концах балки.

I ) при СС~<£ прогибы в опорах балки будут равн нулю, т.е. О i УегО •

Подставив значения С и Д в выражения ( I ) и ( 2 ) ,

Как видно из рисунка 4.8, наибольший прогиб буде

Если подставим значение Э£-—-тг в формулу определения углов поворота, то в этом сечении он бу равен нулю, т.е. *f t j °«

Ыа опорах балки углы поворота определяются из в

278

жеяия ( X ) при ОС - 0 и JC—tt и будут соот-

(8.8)

Из формул (7.8) и (8.8) вытекает, что прогибы над опорами балок будут равны нулю, а углы .зворота не дут рявны нулю. Максимальное значение прогиба будет в середине балки, а угол поворота в этом сечении будет равен нулю. Из рассматриваемого примера видно, что ма симальные зпгчения углоз поворота будут возникать на рах.

Таким образом, определение перемещений при изгибе балок методом непосредственного интегрирования дифферен­ циального уравнения изогнутой оси балки сводится к в полнению следующих операций:

1. Для каждого участка балки составляется уравне­ ние изгибающих моментов.

2.Полученные уравнения изгибающих моментов под­ ставляются в дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (2.8).

3.Дифференциальное уравнение интегрируется дваждк что дает возможность нахождения общих выражений углов поворота и прогибов сечений для каждого рассматриваем го участка балки.

4.Вычисляются постоянные интегрирования, исходя из краевых условий и на опорах балки. Известно, что опорах балки прогибы равны нулю, а в заделке - угол ворота и прогиб равны нулю.

5.Значения постоянных интегрирования подставляет­

ся в общие выражения углов поворота и прогибов сечен v

279

балки и получают соответствующие величины углов пово­ рота и прогибов в заданном сечении.

Применение этого способа для вычисления перемещен вызывает значительные трудности для случая, когда изг бающий момент будет иметь различные выражения на отд ных участках балки. Определение перемещений будет свя но с двухкратным интегрированием и нахождением произво ных постоянных для каждого участка балки в отдельнос Если балка будет иметь два или больше число участко использование метода непосредственного интегрирования будет крайне трудоемким.

Применение этого метода является целесообразным в тех случаях, когда по условию задачи необходимо опре лить прогиб во всех точках балки. Однако, в практик всего нужно определять прогиб или угол поворота в о или нескольких заданных точках. В этом случае исполь вание указанного способа нецелесообразно.

§ 3^8. Графоаналитический способ для определения перемещений в балках

Вбольшинстве задач требуется определить угол пов рота и прогиб сечения балки в одной или в нескольк данных точках. Как уже отмечалось, что использование рассмотренного способа для вычисления указанных величи является громоздким.

Всвязи с этим, существует графоаналитический спо­ соб, который позволяет непосредственно вычислить угол поворота и прогиб сечения в определенной точке без ставления уравнения всей линии прогиба. Этот способ бен при вычислении перемещений в балках о переменным чением, когда жесткость балки по ее длине является менной.

Согласно теоремы Хуравского между интенсиьностью

280

распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающие моментом установлены определенные зависимости, которые выражаются формулами (1.6) и (2.6), а именно:

Подобная зависимость имеет место между кривизной, углом поворота и прогибом сечения балки, которая характеризует­ ся следующими формулами:

Сравнивая указанные выражения

Таким образом, если величины Р-ИХ зависимостей рас­ положить в виде столбца, то можно представить в виде нижеследующей таблицы (1.8). Из данной таблицы можно з метить, что каждая величина получается из нижестоящей путем дифференцирования, а из вышележащей - путем ин­

281

Известно, что изгибающий момент и поперечная сила может быть получена без интегрирования уравнения распределенной нагрузки. Поперечная сила может быть вычислена из уравнения статики, как сумма проекций сил на нормаль к оси бруса, расположенных по одну рону от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент определяется как сумма моментов всех этих сил, дейст вующих с одной стороны от заданного сечения.

В связи с этим прогиб и угол поворота можно оп делить также без интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. В этом случае криви ну принимают за условную фиктивную нагрузку и

прогиб определяют как изгибающий момент от фиктивной нагрузки, а угол поворота как поперечную силу от эт

Чтобы получить фиктивную нагрузку необходимо по­ строить эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузк разделить ординаты этой эпюры на жесткость и принять указанную схему за нагрузку.

Углы поворота на опорах будут равны опорным реа циям от фиктивной нагрузки или фиктивным реакциям.

Правило знаков устанавливают в зависимости от ра положения эпюры изгибающих моментов.

Считают, что если эпюра моментов расположена выш оси (когда положительный момент) принимают фиктивную нагрузку, направленную вверх и наоборот. ^

Следует указать, что фиктивная нагрузка £р~£у прикладывается не к заданной балке, раочетная схема к

282

торой составляется из условий закрепления заданной балки.

Так, в случае консольной балки необходимо изме­ нить расчетную схему балки, т.е. нужно поменять места ми заделку и свободный конец вследствие этого нагруж фиктивной нагрузкой перевернутую консоль (рис.5.8).

Заданная балка

Ул*о

Рис.5.8

Из расчетной схемы заданной балки можно заметит что прогиб и угол поворота в заделке левого конца в точке А (рис.5.8,а) равен ну..л. На основании формул (9.8) вытекает, что у фиктивной балки на левом конце

должны быть равны нулю изгибающий момент Иф и попе­ речная сила Cltfo > но это может быть в том случае

да левый конец фиктивной балки свободен (не имеет ных закреплений, как изображено на рисунке 5.8,6).

Правый же конец этой балки должен быть заделан как Мер и отличны от нуля.

283

Решение

1.Определяем опгрные реакции:

Всилу симметрии имеем:

2.Строим эпюру изгибающих моментов и принимаем

ееза фиктивную нагрузку (направляем стрелки вверх, та

как ординаты эпюры положительны). Фиктивная балка изоб­ ражена на рис.б.8,б.

8. Определяем фиктивные опорные реакции, которые яо симметрии будут равны между собой я каждая равна ловине всей нагрузки, т.е.:

4. Определяем прогиб в середине пролета. Для этого

ооотавляем выражение фиктивного изг-бающего момента, действующего в ореднем сечении балки в точке К , и с ласно формулы (9.8), раосмотрим левые силы, действующие от ореднего сечения. В нашем случае, слева от среднег сечения балки (рис.б.8,б) действует фиктивная реакция Д-ф и половина фиктивной нагрузим, равная U) , т.е.

ны пролета до центра тяжести площади Ц>

285

Подставляя значения Йг и Ы) и деля на жесткость получим:

прогиб в середине балки от сосредоточенной нагрузки.

Пример 4.8

Определить прогиб и угол поворота свободного кон­ ца балки переменного сечения (рис.7.8,а). Вычисления произвести графоаналитическим способом.

Пусть оС • 7.

Рис.7.8,а

Решение

Строим эпюру изгибающих моментов, для чего рассма риваем два участка балки (рис.7.8,а).

Для I участка балки в сечении JCf изгибающий мо

Для П участка балки соответственно имеем:

286

По полученным числовым значениям строим эпюру изгибающих моментов, которая показана на рисунке 7.8,