Действительно, из (5.84) находим
|
оо |
S x (ш) = |
^ АД (т) (cos ют — У sin ют) dx = |
со |
с » |
j Кх (т) cos wx dx — у j* /<у(х) sin ют dx=
=J АД. (т) cos (.ox dx — у - 0 = 2 I" Кд. (т) cos ют rfT.
Заметим также, |
что из определения |
(5.84) для S x (ш) |
следует |
|
|
^ |
|
da>i |
(5.86) |
|
|
|
|
т. е. что |
АД.(т) |
есть обратное преобразование Фурье от |
*5.г(ю). |
Тогда на |
основании (5.83), (5.85) |
и |
(5.86) находим |
|
|
|
ОС |
|
оо |
|
|
Dx=-^~ J Sx (ю)^ю=— |
£ ѵ(ю)г/и>. |
(5.87) |
|
|
— со |
|
О |
|
В качестве примеров приведем статистические характеристики двух типовых стационарных сигналов:
К*
г
5/
5Л0
Р и с. 5.15. Корреляционные функции и спектральные плотности стационар ных случайных сигналов:
а — случайного сигнала «белый шум»; б — случайного сигнала с
Кх ( X ) = |
и Sx («.) = —j — |
|
ü)^4-а* |
1) случайного сигнала «белый шум»:
тх = const. |
|
|
Кх {ъ) =rSxоS (т), где S xо |
— интенсивность «белого шума», |
DX = KX(0) = |
оо, |
|
Sx (to) = Sx0 = |
const. |
(5.88) |
Статистические характеристики этого сигнала иллюстриру ются на рис. 5.15,а;
2) случайного сигнала с характеристиками:
тх — const,
Dx = const,
Статистические характеристики этого сигнала иллюстриру ются на рис. 5.15,6.
2. Определение статистических характеристик сигналов ошибок с помощью весовых функций
Как было показано ранее, ошибка Е(і) линейной стационар ной системы, подверженной действию управляющего x(t) и
Рис. 5.16. Обобщенная структурная схема линейной стационарной системы, подверженной действию управляющего и возмущающих
сигналов
и возмущающих f t(t) сигналов (см. рис. 5.16), в соответствии с принципом суперпозиции, определяется выражением:
E(t) = |
Ex ( t ) + y i Ef.(t). |
(5.90) |
|
і —1 |
|
В выражении (5.90) приняты обозначения: |
действием |
Éx (t)— составляющая |
ошибки, обусловленная |
x(t), равная E(t), если все возмущения /,(£) = 0, |
причем |
|
|
Ex (t)=> j x ( t - z ) g E Wd* |
(5.91) |
|
*^о |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex( p ) = x ( p ) S ( p ) , |
|
|
|
(5.92) |
где |
S(p) — передаточная функция САР для ошибки; |
g E (0 = |
^ _1[5(і°)] — весовая функция |
САР для |
ошибки; |
|
|
Ef. (t) — составляющая ошибіки, обусловленная дей- |
|
|
іствием і-того |
возмущения |
f t (t), |
равная |
|
|
E(t), если x(t) |
и вое возмущения, |
кроме |
|
|
і-того, равны нулю, причем |
|
|
|
|
|
£/,(*)= |
|
|
|
|
(5.93) |
|
|
Èft(P) = ft(P) Ф<; (А*) ’ |
|
|
(5.94) |
гДе |
Ф/jiP) |
— передаточная |
функция |
САР для |
і-того |
Е / М ^ - Ң Ф ^ р ) } |
возмущения; |
|
|
|
|
|
— весовая функция |
САР для |
і-того возму |
|
|
щения. |
|
|
|
|
и f-, (t) |
Если действующие на линейную систему сигналы x(t) |
являются некоррелированными случайными сигналами, то прин цип суперпозиции сохраняется и для статистических характери стик сигнала ошибки, т. е.
|
тЕ (і) = |
Шех (і ) + |
I |
тЕ |
{t)> |
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
і - 1 |
|
|
|
|
|
к Е (' ) = |
+ |
/-■ |
/( |
(О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DE{ t) = DEx(t) + |
S |
DE/[ (0, |
|
|
(5.95) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
SE(a>) = SE (u>) + |
^ |
SE |
(tu), |
|
|
(5.96) |
|
|
x |
i=>\ |
JІ |
|
|
|
|
где |
ffißit), Ke (x)- DE(t), SE (tu)— |
соответственно |
|
математи |
|
|
|
ческое ожидание, корреля |
|
|
|
ционная функция, |
диспер |
|
|
|
сия и |
спектральная |
плот |
|
|
|
ность сигнала |
ошибки E(t)\ |
W- Ex { t ) , K e x [ i ), D E x { t ) i |
S e x { * ) — соответственно |
математиче |
|
|
|
ское ожидание, корреляци |
|
|
|
онная |
функция, |
дисперсия |
|
|
|
и |
спектральная |
плотность |
|
|
|
составляющей |
|
|
сигнала |
|
|
|
ошибки Ex [t)\ |
|
|
|
mE (t), |
KEf (x), De |
(t), |
Se (io)— |
соответственно |
математи- |
1 |
' 1 |
1 |
‘ |
веское |
ожидание, |
корреля |
|
|
|
|
ционная функция, диспер |
|
|
|
|
сия и |
спектральная |
плот |
|
|
|
|
ность |
составляющей |
сигна |
|
|
|
|
ла ошибки E f . (£). |
|
|
Это обстоятельство позволяет рассмотреть задачу опреде ления статистических характеристик сигнала ошибки при воз действии некоррелированных случайных сигналов как задачу
определения |
статистических ха |
|
|
|
рактеристик отдельных |
состав |
|
|
|
ляющих сигнала ошибки. |
|
|
|
|
Поэтому все дальнейшие ис |
|
|
|
следования по данному |
вопросу, |
|
|
|
с учетом |
принятых |
допущений, |
Рис . 5.17. |
Структурная |
схема |
проведем |
для |
случая, |
когда на |
линейную |
систему |
действует |
линейной |
стационарной |
систе |
мы при /; [() = и |
|
только один |
случайный |
сигнал, |
|
|
|
например, |
x(t) |
(рис. 5.17). |
|
|
|
Для этого случая, в соответствии с (5.91), |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
E(t) = Ex ( t ) = \ |
x { t - x ) g E{x)dx, |
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
а в установившемся режиме, когда |
t0-> — оо, |
|
|
|
E ( t ) = |
\ x [ t - x ) g E (x)dx. |
|
(5.97) |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Тогда, если x(t) — стационарный случайный сигнал с задан ными статистическими характеристиками тх, Кх (т), Dx, стати стические характеристики сигнала ошибки в установившемся режиме будут определяться выражениями:
|
со |
со |
|
mE [t) = тЕ = j |
тх g E(x) fite = тх [ g E b)dx, |
(5.98) |
|
О |
U |
|
оо |
со |
|
|
КеМ = | |
( X t e |
+ т, - **) g E(Т,) g E (Х2) fite, dx2, |
(5.99) |
о9
ООоо
DE{t)~DE— j" xotgE{xi) g Ë ^ ) fite, cte2. (5.100)
6 о
Покажем справедливость выражений (5.98) — (5.100). По определению
mE(t) = М[Е (/)],
тогда, на основании (5.97), учитывая, что mx{t)=M[x (^)] —тХУ находим выражение (5.98):
тЕ (() = М j л (t - х) gE (х) fa = |
j' М [л- (t - x)J g E (x) fa = |
О |
6 |
со |
|
f тх g E(Я> d~= т, |
/7 1 |
6 |
|
Это выражение показывает, что математическое ожиданиесигнала ошибки в установившемся режиме определяется как сигнал ошибки в установившемся режиме, вызванный действи
ем сигнала, |
равного |
математическому ожиданию действующе |
го случайного сигнала. |
|
|
KE (t) |
сигнала |
ошибки E(t) в |
Корреляционная |
функция |
|
установившемся режиме по определению (5.81) есть |
|
|
|
|
tf£ ( x ) = /И [£(*)£(*+ X)], |
|
|
где на основании |
(5.79), (5.97) |
и (5.98) |
|
|
|
E(t) = E( t) — mE [t) = |
f x (t — x)££ (x)gx |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
= |
\ |
[х (t - |
т) — тх] |
gE (х) fa = |
J A' (t - |
х) g E (х) fa. |
Тогда, |
учитывая, |
что Кх (т) = |
|
о |
о |
х)], |
находим выра |
М [а (^) x{t + |
жение (5.99): |
” U |
|
|
|
|
|
|
|
КЕ{і) = М |
|
|
|
|
\ A(^+ x -x a)g-£(xâ)dx2 |
f |
|
— |
SE ix\)dx\ |
|
CO |
oo |
Q |
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
f M[ x(t - |
X j ) x ( * - | - X |
- x2)] g-£ (x,)â'£ (x2)rfx1dx2 = |
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
J |
j* K x ( T |
Ti |
х г) § e ( t i ) S e |
d x i f a i - |
|
|
|
о 6 |
|
|
|
|
|
|
|
Выражение |
(5.100) |
для |
DE{t) |
получаем из (5.99) на основа |
нии свойства |
(5.83): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
с о |
|
|
|
|
DE(t) = |
D e = |
К е (0) — |
j" j" |
K x {i\ |
т 2) S e |
( т і ) |
S e (х2) d x i d x 2- |
оо
Вкачестве примера определим статистические характери стики сигнала ошибки в установившемся режиме для случая,
если действующий |
сигнал x(t) |
есть центрированный «белый |
шум», т. е. если |
тх = |
О, |
|
Для этого случая из выражений |
(5.98) — (5.100) находим |
|
’ПЕ = 0, |
^ ( 0 = j j |
S , 0 l0* + h |
х г §) Е ( т і ) §Е ( т 2 ) ^ х 1 ^ х 2 — |
о 0 |
|
|
Х2ІёЕ (хг) ^ х2 (h1 -
|
De = Ke (0) = Sm |
f |
^ 1 = ^ , 0Л |
(5.101) |
|
|
6 |
|
|
где J = \ g \ { ^ ) d x — интегральная |
квадратичная оценка |
систе- |
о ' |
мы, если |
7(£) = &я<У). |
|
Заметим, что свойство (5.101) для дисперсии сигнала ошиб ки в установившемся режиме при действии случайного сигнала «белый шум» лежит в основе удобного метода вычисления DË в случае действия произвольных стационарных случайных сиг налов, который будет рассмотрен ниже.
3. Определение статистических характеристик сигнала ошибок с помощью частотных характеристик
Статистические характеристики сигнала ошибки в устано вившемся режиме для случая, иллюстрированного на рис. 5.17, могут быть определены с помощью частотных характеристик по выражениям:
5 £ Н = 5 , Н | 5 ( > ) I2; |
(5.102) |
J s * H I s (“У) |
(5.103) |
0
00
(5.104)
2 it.
о
где 5 Л. (ш) — спектральная плотность |
действующего сигнала |
х{і); |
|
S(Ja>)— частотная характеристика передаточной функции |
для ошибки, т. е. S (/ю) = |
5 (p)p- j u>. |
Покажем справедливость выражений (5.102) — (5.104). По оп ределению (5.84)
S E(u>) = J KE(t) e - j^ ä r .
Это, с учетом выражения (5.99), дает:
ОООО CXJ
$ е И = J е- -7'“' j J /С ,(т+хі—с2) g E (t,)^ (x 2) rfxjdxj dt
о о
|
w |
|
I |
txj |
|
|
со |
|
|
rfx,l fi?X. |
= |
J |
e~;“’ |
j |
(”l) |
j |
Kx lX+ 'l |
“ Тз) g E W |
*2 |
|
— oo |
|
( о |
|
|
Ü |
|
|
|
|
Изменим |
в |
данном |
выражении |
порядок |
интегрирования |
с2 |
Хі “*■т |
на |
X |
х2 |
X,: |
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
( |
ОО |
|
|
|
|
|
^£-(ш)= |
J |
^ ( х ^ і I |
gE (~ |
Kx{*+*,-*a)e-JmdT |
d ^21 ' |
|
|
|
|
\ » |
|
|
|
|
|
оо(ОС
= J V f K ) K f f £ (x,) |
j |
^ |
( x + Xj - X j ) e - M x + x , - x , ) e yo,x1e - > - . flfx dxAx |
о |
(o |
L—== |
|
|
|
|
оо |
|
/ с о |
|
|
|
oo |
|
X^x, = j “^ £ (xi) e-/o>TJ |
|
|
(t2)e~Ja~> j /^(x+x,—x,)e-W'+,--,>Wx X |
0 |
1 0 |
|
|
—cc |
|
|
} |
|
CO |
|
oo |
|
Xrfx2jd x j= |
J |
gE{t2) |
dtr j1g-£ (xj) e^-rfxjX |
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
X |
J |
|
( x -(-Xj— |
x2) e ~ J°> (* + и --,) ^ |
|
Учитывая,что |
— oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
J |
S e ^ 2) ^ |
d t 2— S { p ) p —jui— S |
(/to) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
— частотная характеристика для ошибки; |
|
|
j |
е;Ц П :‘ |
|
[P)p= —ja>= 5 ( |
/ ч і ) |
о
— комплексно-сопряженная частотная характеристика;
причем |
S(j<ß)S(- ju>) = |
15 ( » I2; |
|
|
|
|
00 |
|
' |
|
оо |
|
j |
Кх (-с + тгі—т2) е_“,ш1‘+т'_Тз) d i= |
j |
Кх {і') |
dx'= Sx (ш) — |
— оо |
|
|
— оо |
|
— спектральная плотность x(t)\ |
|
|
для |
5 £(ш) находим выражение вида (5.102): |
|
|
s EИ = 5 (jw) s ( - » |
|
п ~ s x П I О ) 1 2. |
Справедливость выражений (5.103), (5.104) вытекает из вы |
ражения (5.102) |
из связи КЕ(р) |
и DE с SE (ш), |
определяемой |
соотношениями (5.86) и (5.87): |
|
|
|
|
|
оо |
|
оо |
|
|
^ ( ' г) = ^ |
do) = ^ |
( 5 Л.(и))|5(у'й))|2е^йГш, |
|
|
оо |
|
ОО |
|
|
|
Г SE{u>) іУш= — |
|
Sx (ш) I 61(у’ш) |5 öfo). |
|
|
7Г |
о |
|
|
|
о |
|
|
4. Определение дисперсии сигнала ошибки |
|
методом формирующего фильтра |
|
Метод формирующего фильтра является удобным расчет ным методом вычисления дисперсии сигнала ошибки линейной стационарной системы в установившемся режиме, если на си стему воздействует стационарный случайный сигнал. В основе этого метода лежит возможность вычисления дисперсии стаци онарного сигнала ошибки линейной системы при действии слу чайных сигналов типа «белый шум» с помощью интегральных квадратичных оценок. Идея этого метода состоит в следующем.
Линейная стационарная система (рис. 5.18,а), |
подвержен |
ная |
действию стационарного |
случайного сигнала x(t) с задан |
ной |
спектральной плотностью |
Sx (ш), |
дополняется |
некоторым |
линейным стационарным звеном с |
передаточной |
функцией |
ѴРфХ (р), называемым формирующим фильтром, в результате чего образуется некоторая эквивалентная система с передаточ ной функцией Фэ х(р) (рис. 5.18,6). Формирующий фильтр выбирается из условия, чтобы при действии на эквивалентную систему случайного сигнала х э (t), представляющего собой «бе лый шум» с единичной интенсивностью, спектральная плотность
ее сигнала ошибки |
Еэ (t) была равна |
спектральной плотности |
сигнала ошибки E(t) |
исходной системы, т. е. из условия |
|
S e3 Іш) = S E (<u), |
(5.105) |
что, очевидно, обеспечит и равенство дисперсий:
Условие (5.105) на основании (5.102) принимает вид:
S x э(“)I Фэ Л- О) I2= S x (ш) I ^ (Уш) Р>
б)
Р и с. 5.18. К определению дисперсии сигнала ошибки методом формирующе го фильтра:
а — исходная структурная схема систе мы для ошибки; б — эквивалентные структурные схемы
что с учетом Фэх(Р)= х(Р) ^(Р) н ^ э ( ш) = 1 дает условие определения передаточной функции формирующего фильтра
I Ф э X О) Іа= I |
X О) г-15 ( » г- = S x (ш) 1S (уш) I» - |
И ^ Ф . ѵ ( > ) 1 2 |
= = • $ > ) , ѴГфги») ~ѴГфх(р)р^ ш. ( 5 . 1 0 7 ) |
Итак, выражение (5.107) определяет передаточную функцию эквивалентной системы
Ф эх ( Р ) = Ж фх(Р)3(Р).
Поскольку эквивалентная система подвержена действию «белого шума» с единичной интенсивностью, то дисперсия ошибки и, следовательно, равная ей дисперсия сигнала ошибки исходной схемы определяются на основании (5.101) с помощью интегральной квадратичной оценки:
|
|
оо |
где |
|
с |
|
|
Тэ * (0 = |
gs X (() = |
ь~ Чфэ X ‘.р)\; |
T»x(P) — |
g s x ( P ) = |
ф в Л Р ) - |
5. Примеры анализа точности линейных стационарных систем, подверженных действию случайных сигналов
П р и м е р 1.
Для системы, структурная схема которой показана на рис. 5.19, определить статистические характеристики сигнала ошиб ки в установившемся режиме, если x(t) и f(t) — независимые стационарные случайные сигналы с заданными характеристика ми:
т х = 0 ,5 ; /СДт) = 2е-'Ч;
mf = |
0,1; |
|
|
|
Kf{y) = |
0,5 о (т ). |
Р и с. 5.19. |
Структурная |
схема |
. 1 |
|
линейной |
стационарной |
систе- |
Р е ш е н и е . |
|
|
мы |
|
I. Определение статистических характеристик составляющей Ex (t) сигнала ошибки от действия x(t).
1. Определение передаточной функции для ошибки:
|
s { P ) - . ë d É - . |
|
|
10 |
|
р ( р + 1) |
|
|
|
р{р+ 1 )+ 10 |
|
|
|
х(р) |
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
2. |
Определение |
тпЕх. |
р(р +1) |
|
|
|
|
|
|
|
шЕх = |
mx J gE (т) dt = |
т х S ( р ) р = 0 = |
т, • 0 = С. |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
3. |
Определение |
SE х (ш) = |
S x (ш) | S (у а>) р: |
а) |
определение S х {<&)\ |
|
|
|
|
|
|
Кх (т) = Dx е~а^ = 2е- |и, |
|
|
|
|
с |
, ч |
20 |
а |
4 |
|
|
|
|
5. » = - 7 , ., = |
2 і_ 1 ; |
|
|
|
|
|
|
ш- -f- а- |
со* -р 1 |
б) |
определение |
[ 5 (у‘ш) р: |
|
|
|
I ^(/а: |
|
S [р)р—>ъ |
|
— у<0 (/со + 1) |
со2 (cP2 -f I) |
|
|
I |
|
Р —— со2 -р /со -{- 10 |
(10 - со2)2+со5 |
в) |
определение |
5 £ j,(<u): |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
co2(co=-fl) |
|
4со2 |
|
S ex (ш) — |
|
|
|
|
ш2] |
(10— ш2)=—со2 |
|
|
|
+ 1) ( ( Ю - 0)2р + |
