книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

“ (/) да

(5.61)

Ji,k = \ z ( t ) z [ t ) d t .

имеет вид

______________1

1

L[z{t)\

( Р) =

КР" + К-\Р"~І + ■• •+ ^ l P + K

t

\ p

l

i=0

Действительно,

применяя

преобразование

Лапласа

к

(5.62)

уравне­

нию

(5.59) и учитывая

его

начальные условия

(5.60),

находим

L [Х„ 2

(t)

Хп_, 2 (t) + . . . +

Хі 2 (f) +

Х0

Z(t)] =

= K \ P n z { p )

- 2 ( 0 ) ]

+

К

-

І р л ~ 1 г { р )

+

. . . + \

p z { p )

+

Х0г(/>)=

Рп г(Р) — \

1

+

Хл_, рп~' z{ p) + . .. + \ p z (р) +

Х0z(p)=

= 2 (р) \ъврп +

Хл_1/7"-1+

. • . +

Xj р +

X0J — 1

=

о,

откуда получаем для

z(p)

выражение

вида (5.62).

Отметим

также, не приводя доказательств, ряд свойств моментов

У,-,*

функции z(t):

моментов

с симметричными

индексами

а)

равенство

Ji,k — Jk,h

(5.63)

б)

положительность моментов

с одинаковыми индексами

0;

(5.64)

в)

свойство моментов с четной суммой индексов

Уі, к == У(й+2і)), к == (

1 )1' У(*+т|), (Я-т)) >

(5.65)

г)

свойство

моментов

с

нечетной

суммой индексов,

если

і + k < 2га— 1:

Уг, А — о,

(5.66)

і + k < 2п — 1 — нечетное число;

д)

свойство момента У,-,*

= У(П-і),л

У(л -1),„=

(5.67)

Л / =

Ап, (/+п

(5.68)

2ХЛД

Х„Ул,і + ^,і-і-Ал- d. 1+ • •

•

Уі, 1+ Х0Л>, 1“ 0; (5.71)

Х„ /л.(л—1) + \ - 1 У(л-1), (л-1)

+• ■• +^іУі,(л-1)-|-0,(л-1)= 0;

уравнений относительно У/,

^0 У), О— X, -А, 1Н~ ^4 J%2 —Xß Уз, 3

+ Xg -У. 4 —

.......................... =

ОУо,о + Xt Уl, 1 — Х3 Уг, 2 + ^5 Уз,з

—^7 Уі, 4 + ........................

= 0;

О Уо, 0 — \ К х + X, У*. 2 -- ^4 Уз, 3

+ У),4 — .............................

= 0 ;

^Я-1 У(Л-1),(П-1)--- —— •

^Ал

(5.72)

уравнений с и неизвестными

У/, решение

которой определяет­

ся формулами Крамера:

У .,=

\

(5.73)

Д

где Д — детерминант системы (5.72):

^0

^2

- > - С

Х 8

•

. .

0

0

^3

\

- х 7 .

. .

0

0

~~ ^0

^'2

- к

V

• .

0

А

(5.74)

£

\ р 1

ЧІР)

і-0____

x,„ Р т +

*т- 1 Рт 1 +

•

•

■ +

*1 Р +

хо, т<.п,

£

\ р ‘

*„/>" +

\j- l і0,1-1

+

•

•

• +

Р +

\

і- о

то,

учитывая вид изображения z(£)

(5.62),

можно записать

т

т

т (у) =

S

^

"н--------= 2

Z7' * (/>)>

і—О

£

^ У*

/=0

і=0

откуда находим связь -[(7)

с z(t):

l ( t ) = L

£

-'чР12{Р)

і=О

™

(О

.

(m—1)

(т)

=

£

*і 2 (0 = *о Z (0

+ У-! 2 ( 0 +

• • • +

хт-1

2 (0 + xmz (0- (5-76)

/-0

Выражение (5.76) позволяет с учетом (5.61),

(5.63) — (5.67)

за­

писать:

/ =

[ т 2{ t ) d t =

\[y.Qz[t) + *,z(0 + .-H- xm- U ( b + xmz(OJ2^

=

6

О

=

~

[V z2(O + 2^

.

. . .

im)

j

1z(0 z ( / ) + 2x0x2z(i)

2(O+... + 2*0*eiz(/) z(*) +

o

+

.

. ..

. ( m )

'^і22Г" (t) +

2Xj x2z(/) Z (£)+ - . ■+

2xtv.mz (t) Z (0 +

+

x22 2:2 (0 +

■-

(m)

• + 2*2 y-mz {t)z {£)+••■

[m)

+ *т*- (*)] dt

V

-7o,о +

2-/-0

/о, 1 +

2x0 x2 У0, 2 -f-. • •

+

2'/.0 xm

y0, /л +

~Г y-\ J\, 1

2Xj x-2 J1, 2 +

■•

• +

2 x, y.m У!, m -f-

+

x22

Jt, 2

+

• . . +

2x2 xm У2,m + . •

■

+ X 2

jm, m—

3.

Примеры использования интегральных

квадратичных оценок

П р и м е р

1.

5 1/7 +

1)

х ,/7 +

х„

Р (2Р + 1) (0,5/7 +

1)

+

Ъ(р +

1 )

1'з/73+ ^2/?2 +

КР + К

где

х0 = 5,

т = 1,

Л0 = О,

л =

3;

хі =

5;

=

6,

Х2 =

2,5,

X =

1.

ß 0 =

x02= 25,

X2

5, =

x,* = 25,

0

~ 5' 1•25+2,5* 1*25 = 187.5

0

-X , =

Bo

Bl

0

J =

—

s

1 8

7 ,5

= 1 ,8 7 5 .

П р и м е р 3.

2Х3 Д

2 - 1

- 5 0

1

Для системы с передаточной функцией

Ф{р)

/?2 + 2 . ^ + 1

выбрать значение

5 =

50

из условия минимума интегральной

квадратичной оценки /,

если к (£) = Н (t) —

7/(оэ)- 1(f),

а)

определение L[H{t)\.

L [H(t)\ —Н (р) =

Ф(Р)

1

р

/?(/72+ 2|/7+1)

б)

определение L [Н(со)-1(£)]:

1

L [Я(оо) - 1 (0] -

L [Ф (/7)р.о • 1 (0] = L

[1 • 1 (0]

= — ;

в)

определение т(р):

р

1

1

- 0 - 2 1

*1Р + у'0

7 (Р) =

1)

/7

/72+

2 5 /? + 1

Х*/72+ Х ,Р + Х с

где

/?(/72+ 2 $ /? +

т = 1,

*о = - 2 3 ;

Xq— 1>

Л = 2;

*і = — 1;

Xj =

25;

Х9 — Х„ = 1.

2.

Определение

J — \~^{t)dt==

2Х , Д

а)

определение

Д:

Д =

Ч)

г'2

=

Х0 Х1

= 2 |;

0

X,

б)

определение

Д0 =

ѵ

=

^ ,

ß i - V =

Ь

Xq

Х2 — Х0Д, +

Х2Д0 — 1+ 452;

д 0

в х

в)

определение J:

1 +

4?2

1 +452

J =

Aß

45

2 Х ,Д

2 - 1 - 2 5

18*

275

dJ(i)

(1 -f 4Е2)-4 — 4?-85

dl «-«.

Ш 2

1 +

4So2- 8 S 02 = O - So = 0,5.

т х (і) = тх = М [х Н)].

(5.78')

x{t)

= x { t ) -

mx {t),

(5.79)

M[x{t)]=-0.

(5.80)

К о р р е л я ц и о н н а я

фу н к ц и я

Кх (х)

случайного

ста­

ционарного

сигнала

x(t)

есть

неслучайная

функция,

характе­

ризующая

взаимосвязь последующего

и

предшествующего се­

чений сигнала х ( і ),

разнесенных

на

время

х,

и определяется

выражением:

K A ') = M[x(t)x{t + x)].

(5.81)

Д и с п е р с и я

D x(t)

случайного

стационарного

сигнала

x(t)

есть постоянная

величина, характеризующая степень

раз­

броса случайного сигнала

относительно его среднего значения,

и определяется выражением:

Dx {t) = Dx =

М [°2М].

(5.82)

Из

(5.81) и

(5.82)

можно установить важное свойство:

DX = K J 0),

(5.83)

т. е. дисперсия равна корреляционной функции при х = 0.

С п е к т р а л ь н а я

п л о т н о с т ь

(ш)

стационарного

случайного

сигнала

x(t)

есть неслучайная

функция,

характе­

ризующая мощность

составляющих

случайного

сигнала

x(t),

спектральный состав

‘которых

заключен

в

диапазоне

частот

<в -ь- to -f- d и,

и определяется

преобразованием

Фурье

от

кор­

реляционной функции:

оо

5

» =

j/C x ( x ) e - ^ d x .

(5.84)

оо

S x (a>) = 2 J Кх (^) cos сох dx.

(5.85)

Cl