книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

принимающая конечное значение в точке р ~ 0 (система ус­ тойчива), может быть представлена в виде ряда Тейлора в ок­ рестности точки р — 0, следовательно,

Сравним коэффициенты разложения (5.32) с формулами для коэффициентов ошибок (5.31). Нетрудно заметить, что они со­ ответственно равны, тогда

Если разделим числитель передаточной функции Sx (р) столб­ цом на ее знаменатель, то получим выражение, равное правой части формулы (5.33), коэффициенты при соответствующих сте­ пенях будут искомыми коэффициентами ошибок.

С п о с о б III. Способ сравнения коэффициентов.

Пусть передаточная функция ошибки Sx [p) имеет вид:

258

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, найдем

Пусть задана САР (рис. 5.7). Входной сигнал x{t) = 2 1. Требуется вычислить установившуюся ошибку системы по входному сигналу

Р и с. 5.7. Структурная схема САР

Ре ш е н и е .

1.Запишем выражение для передаточнойфункции W (р) разомкнутой системы

Следовательно, по формулам (5.39) получим

4. Определим искомую установившуюся ошибку

<уст) (0 = S0x х (О + S lx X (t) + S 2x x ( t ) + . . .

Так как x(t) — 2t, то x(t) = 2, x(t) = 3. Следовательно,

с (У ст) (zf) =

k2

Найдем коэффициенты S 0x, «Su , S2x в] примере 1, пользуясь делением столбиком. Получим

П р и м е р 2. Пусть задана САР типа рис. 5.8, на которую действует возмущение f(t) = а, входной сигнал отсутствует. Требуется найти установившуюся ошибку системы по возму­ щению f(t). Определим эквивалентную схему и представим си­ стему рис. 5.8 в виде рис. 5.9.

iGO

Передаточную функцию для ошибки системы по возмуще­ нию запишем следующим образом:

Следовательно, установившаяся ошибка системы от действую­ щего возмущения f(t) равна:

$"*(£) = S0/f( t ) + S lff [ t ) + s 2f/ ( t ) = — ;

где С(р), А (р) — полиномы вида:

261

Нетрудно заметить, что:

если с0 — 0, Сі = 0, то SQx = 0; 5 1г = 0; S 2x ф 0 и S 2x= ----——

а-о

система астатическая II порядка.

Однако если с0 = 0, то полином С{р) равен:

и если со = Сі=0, то полином Р(р) имеет вид:

и т. д.

Следовательно, выражение для передаточной функции W{p) разомкнутой системы можно записать в виде:

(5.45)

Р [р) р- С*(р)

Таким образом, если имеет место обстоятельство

ношению к входному сигналу x(f)].

Общее определение порядка астатизма по виду структурной схемы системы, приведенной к одноконтурной, сводится к сле­ дующему: замкнутая САР имеет астатизм порядка ѵ по от­ ношению к задающему воздействию, если структурное пред­ ставление разомкнутой системы содержит ѵ последовательно соединенных интегрирующих звеньев.

Пример реакций системы на эталонные входные сигналы.

а) Входной сигнал x(t) имеет вид х(і) = ха = const.

б) Входной сигнал x(t) имеет вид x(t) — х0і, где х0 = const.

1.Статическая САР (рис. 5.10).

2.Астатическая CAP I порядка (рис. 5.11).

3.Астатическая CAP II порядка (рис. 5.12).

262

а)

Ри с. 5.10. Изменение ошибки статиче­ ской САР по входному сигналу:

а — x(t) = х о = const; б — x(t)=xot

Р и с. 5.11. Изменение ошибки астатической CAP I порядка по входному сигналу:

а — x(t) =.vo = const; б — * (/)= ,t0i

Р и с. 5.12.■ Изменение ошибки астатической CAP II порядка по входному сигналу:

а — x(t) = хо =const; б — х ( і )= х 0і

263

§ 5.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОЦЕНКИ

I

Интегральные квадратичные оценки являются некоторыми косвенными показателями, характеризующими качество линей­ ных стационарных систем.

1. Определение

Интегральными квадратичными оценками У, Ут, Ут1, . . т называются соответственно интегралы вида:

позволяет рассматривать их как относительные оценки качест­

264

A = J t22( 0 ^ ^ ъ {і) = H2(t) — HoA&z)-i(t)

о

астатической системы, имеющей при двух разных вариациях ее параметров соответственно переходные функции H\(t) и H-2 {t).

Р и с. 5.13. Интегральные квадратичные оценки I:

а— функции 7 (^): б — функции f2 (t) и J

Вэтом случае функции Ті (О и Тг(^) определяют отклонения переходных функций системы H\(t) и Н2{і) от некоторого же­

лаемого вида Ня. [t) = 1 (t), так как для астатических систем Их (с о ) = я 2 ( с о ) = 1, что иллюстрируется рис. 5.13,а. Заметим, что в рассматриваемом примере (см. рис. 5.13,а) качество системы существенно выше при второй вариации параметров, так как

ДЯт1 :=50о/0) ДЯт2 = 0; tpl > tp2-

265

Тогда интегральные квадратичные оценки / 1 и J2 будут оп­ ределяться площадями соответственно под кривыми (t) и 722(£), показанными на рис. 5.13,6. Из этого рисунка видно, что интегральная квадратичная оценка / 2 Для второй вариации па­ раметров системы существенно меньше интегральной квадра­ тичной оценки /і при первой вариации параметров. Отсюда следует, что интегральная квадратичная оценка / является не­ которой мерой отклонения истинного переходного процесса от желаемого вида и потому может рассматриваться как относи­ тельная оценка качества систем автоматического регулирова­ ния.

2. Вычисление интегральной квадратичной оценки / для линейных стационарных систем с передаточными

функциями рационального вида *

т

266

—элементы столбцов вверх от элемента главной диагона­ ли заполняются коэффициентами Хг, с чередующимися знаками и возрастающими индексами; элементы столб­ цов вниз от элемента главной диагонали заполняются коэффициентами Х/( с чередующимися знаками и убы­ вающими индексами;

Ад — детерминант п-то порядка, образованный из детерминан­ та А путем замены его последней строки строкой, эле­ ментами которой являются коэффициенты^:

В{— коэффициенты, определяемые коэффициентами xz чис­

лителя у (р) по формулам:

в 0 —V ;

рассмотрение некоторую функцию z(t), удовлетворяющую урав­ нению

267