книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

в) построение асимптотических логарифмических частотных

То (ш) = ? (“ );

[построение выполнено на рис. 4.27: кривые І 0(й))и ср(о>)];

3. Определение критического значения коэффициента усиле­ ния k = k Kp.

248

Условием нахождения замкнутой системы на границе устой­ чивости по критерию Найквиста является:

и>с = ш,. или ®(од = — 180°.

Поэтому системе, находящейся на границе устойчивости, со­ ответствует логарифмическая амплитудно-частотная характери­ стика І КрНполученная смещением вниз параллельно самой себе Z.Q(<и) до выполнения условия:

В свою очередь LKр(ш) соответствует выражению:

-4 0 ] g i/o ,i 2»2 + i,

всилу чего 20 1g/j1(p определяет ординату первой асимптоты Z.K0(u>)

при ш = 1 (см. рис. 4.27). Из графических построений рис. 4.27 определяется

201g £кр = 38 дБ;

=79,43 [1/с].

4.Определение значения коэффициента усиления k = k b при котором запас устойчивости по фазе Д<р3=35°.

Так как запас устойчивости по фазе определяется ординатой

превышения <р(ш) линии — 180° при частоте среза, то устой­ чивой системе с запасом по фазе Д®3 М350 соответствует ампли­ тудно-частотная характеристика L|(<u), полученная смещением

5.Определение значения коэффициента усиления £= £,,, при

249

Г Л А В А V

'г КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЁМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ (САР).

ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА

§5.1. ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВА САР, ЗАДАЧИ АНАЛИЗА

ИСИНТЕЗА

Одной из важных характеристик САР, определяющих сте­ пень работоспособности системы, является качество. Если по­ лагать, что необходимым условием работоспособности САР яв­ ляется устойчивость, то достаточным необходимо считать ка­ чество.

Качество САР включает: точность системы в установив­ шемся режиме при постоянных и медленно меняющихся воз­ действиях; продолжительность и характер протекания переход­ ного процесса; точность при наличии случайных возмущений.

Оценка работоспособности'системы автоматического регули­ рования составляет задачу анализа. Построение САР, удов­ летворяющей заданным гактико-техничеоким требованиям, пред­ ставляет собой задачу синтеза САР. К задаче синтеза также относится проблема построения оптимальных, самонастраиваю­ щихся и т. п. систем, основные параметры которых определя­ ются в процессе функционирования автоматически или с уча­ стием человека. Б данной главе приведены некоторые основ­ ные инженерные методы оценки качества процессов автомати­ ческого регулирования и элементарные способы синтеза в не­ котором смысле оптимальных (желаемых) линейных стацио­ нарных систем, знание которых абсолютно необходимо авиаци­ онному инженеру.

Основное внимание уделяется анализу точности САР в уста­ новившихся режимах, инженерным методам оценки переход­ ных процессов и частотным методам синтеза линейных стацио­ нарных систем автоматического регулирования.

§5.2. ТОЧНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ САР

ВУСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

Точность линейной стационарной САР в общем случае ха­ рактеризуется вёличиной ошибки, определяемой равенством

251

Таким образом, величина Е(і) представляет собой отклоне­ ние фактического выходного сигнала у{і) системы от входно­ го сигнала x{t).

Вычислим ошибку системы. Нами изучается линейная САР, поэтому к ней применим .принцип суперпозиции. Это значит, что величина y(t) может быть найдена как сумма реакций, вы­ званных действием сигналов х(і) и /(f) независимо. Следова­ тельно,

252

При f(t), равном нулю, имеем

Пользуясь выражениями (5.7), (5.8), получим для составляю­ щей ошибки Ех (t)= — е (t) следующую эквивалентную схему рис. 5.2, на котором

Процедуру построения схемы рис. 5.3 'можно проследить по­ следующим операциям:

а) из определения Ef [t) следует, что Ef {t) представляет собой компоненту ошибки системы при x(t), равном нулю, т. е.

см. рис. 5.4;

Р и с. 5.4. Схема определения реакции си­ стемы на возмущение

б) перенесем знак минус к сумматору в точке, где прикла­

дывается {(р), получим рис. 5.5. Эквивалентная схема имеет вид рис. 5.6.

253

Вычислим ,(см. рис. 5.2) передаточную функцию S x (р) для ошибки системы при действии только входного сигнала x(t). По определению передаточной функции

х{р)

Из. рис. 5.2 следует

Аналогичным юбразом определим передаточную функцию Sj{p) для. ошибки системы при действии только помехи f(t). Из рис. '5.6

'Ш ~ т + ^ > '

функции S x{p) и Sf{p) полностью определяют составляющие

254

Функции Ex (t), Ef {t) полностью определяют составляющие ошибок системы с учетом, переходного процесса.

Вычислим ошибку линейной стационарной САР в устано­ вившемся режиме и введем понятие коэффициентов ошибок.

вуют бесконечно долго и переходные процессы закончились к рассматриваемому моменту времени t.

Тогда установившиеся составляющие погрешностей системы определятся следующими формулами:

Вычислим интегралы (5.21), (5.22). Для этого разложим функцию x ( t — v) в ряд Тейлора в окрестности точки t. Пола­ гая, что входной сигнал x(t) является полиномом степени k, получим

255

где

Skx— ' ( ~ х)к gX С-1) äx. k\

Введем понятие астатпзма и статнзма системы.

Если коэффициент Sn ошибки линейной стационарной си­ стемы не равен нулю, САР называется статической. Это зна­ чит, что при постоянном входном сигнале в системе имеется установившаяся ошибка. Если коэффициент S0 равен нулю, то САР называется астатической по отношению к задающему сиг­ налу.

Степень астатпзма определяется следующпмрі соотношения­

ми:

S0 = 0; 5 1 Ф 0— система астатическая I порядка;

So = 0; Si = 0; S2 Ф 0— система астатическая II порядка;

S0 = 0; Si = 0: S2 = 0; Sg^O —система астатическая III порядка

ит. д.

Сточки зрения возможного уменьшения установившихся ошибок желательно увеличение степени астатпзма. Однако по­ вышение степени астатизма системы приводит к увеличению погрешностей при наличии быстроменяющихся возмущений и к неустойчивости системы. Поэтому при проектировании САР не­

обходим разумный инженерный компромисс. Определение ко­ эффициентов ошибок по формулам (5.25) весьма громоздко.

Рассмотрим простые способы вычисления коэффициентов ошибок, пользуясь только передаточными функциями для оши­ бок.

256

С п о с о б 1. Передаточная функция для ошибки системы по задающему сигналу x(t) равна:

где р — комплексная величина.

Продифференцируем формально по аргументу р левую и пра­

Законность изменения порядка интегрирования и дифференцироівания, принятого при выводе (5.28), следует из устойчивости системы, передаточная функция которой 5 (р). Поскольку на­

dS,

^Ojr ,= Sx (0)» Six — 1! dp