книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

в крупномасштабном и вязком интервалах. Несмотря на это, про­ стота аналитических выражений этих функций служит веским осно­ ванием для широкого использования их в практических расчетах. Обычно значения параметров в формулах для корреляционных функ­

3.3.Элементарные звенья

Вданном параграфе рассматривается часто встречающаяся при расчетах задача определения вероятностных характеристик выход­ ных сигналов элементарных звеньев, перечень и характеристики которых приведены в приложении 1. На вход элементарных звеньев действует случайный процесс типа белого шума с нулевым математи­ ческим ожиданием и интенсивностью G. В качестве вероятностных характеристик выходных переменных звеньев вычисляют корреля­

ционную функцию и дисперсию, а в установившемся режиме —соот­ ветствующую корреляционной функции спектральную плот­ ность.

Для вычисления используется метод весовых функций. В соответ­ ствии с этим методом корреляционная функция

Так как входной сигнал есть белый шум, то его корреляционная функция является S-функцией: Кх (х, т') = G6 (т— т'). Если под­ ставить это выражение в формулу (3.36), то можно воспользоваться свойством 6-функции (см. п. 1.4). Причем применение этого свойства

80

возможно как по одной, так и по другой переменной. При этом возни­ кает двухзначное решение:

О

V

Ky (t, l') = G \g (t, Y)g{t',x')dx'.

о

Неоднозначность решения можно устранить, если учесть обяза­ тельное требование симметрии корреляционной функции относи­ тельно ее аргументов Ку (t, t') — Ку {t‘, t). При учете свойства симметрии формулы (3.37) можно объединить в одно выражение

min (I, V)

о

где функция, стоящая в верхнем пределе интеграла,

Дисперсия выходного сигнала является корреляционной функцией при равных значениях аргументов. Спектральную плотность можно вычислить как преобразование Фурье от установившегося значения корреляционной функции или по формуле

где Ф (i(o) — частотная характеристика звена; S 0 = G/2n —• уровень спектральной плотности белого шума.

При входном сигнале в виде белого шума элементарные звенья можно рассматривать как формирующие фильтры. Поэтому спек­ тральные плотности выходных сигналов звеньев могут служить неко­ торым набором типовых характеристик, по которым можно легко решать обратную задачу построения формирующего фильтра.

Усилительное звено. Входной и выходной сигналы усилительного звена прямо пропорциональны, т. е.

Y (t) = k X (t).

Весовая функция усилительного звена g (t, т) = k8 (t — x).

Подставляя весовую функцию в формулу (3.38), получаем

Дисперсия выходного сигнала равна бесконечности, т. е.

Dy (t) = k8 G8 ( t — i) = oo.

Спектральная плотность в соответствии с формулой (3.40) при

| CD (гео) |2 = /г2

(3.42)

и= *2Л

Из полученных формул следует, что выходной сигнал усилитель­ ного звена есть случайный процесс типа белого шума с увеличенной

в /г2 раз интенсивностью входного шума.

Интегрирующее звено. Входной и выходной сигналы интегри­ рующего звена связаны выражением

Спектральная плотность выходного сигнала обратно пропорцио­ нальна квадрату частоты:

(3-45)

Из формул для корреляционной функции и дисперсии следует, что выходной сигнал интегрирующего звена представляет собой неста­ ционарный случайный-процесс с линейно возрастающей во времени дисперсией. Интегратор является формирующим фильтром, который служит для получения случайного процесса с корреляционной функ­ цией (3.43).

Дифференцирующее звено. Входной и выходной сигналы диффе­

Дисперсия выходного сигнала Dy — оо. Спектральная плотность выходного сигнала пропорциональна квадрату частоты:

82

Звено запаздывания. Входной и выходной сигналы связаны соотношением

Y (t) = kX (t — т3),

где т3— время запаздывания. Весовой функцией звена чистого за­ паздывания является 5-функция, сдвинутая на время т3: g (t, т) =

Данный интеграл в области t < Д ' не равен нулю, если выпол­ няются условия 0 •< t — т3 < t, 0 < V — т3 <Д t, из которых следует

определяется свойством звена чистого запаздывания. При подаче на вход звена запаздывания в нулевой момент времени белого шума выходной сигнал будет равен нулю для моментов времени, меньших времени задержки.

Дисперсия выходной переменной звена запаздывания при дей­ ствии на входе белого шума равна бесконечности при t, t' > т3 и нулю при t, t' < т 3.

Апериодическое звено. Входной и выходной сигналы апериоди­ ческого звена связаны соотношением

T Y + Y = kX (t).

Весовая функция апериодического звена g (t, т) = ke~i-i~r^ T Подставляя это выражение в формулу (3.38), получаем

Эти выражения можно объединить, если учесть, что выражения в показателях вторых экспонент в обоих случаях не отрицательны. Поэтому, вводя знак модуля, получаем

63.

При значении переменных t + ? > 4Г первая экспонента близка к нулю, поэтому в установившемся режиме корреляционная функция

В установившемся режиме дисперсия имеет постоянное значение:

Dy = k2GI2T.

Спектральная плотность выходной переменной

Колебательное звено. Входной и выходной сигналы колебатель­ ного звена связаны уравнением

Т*У + 2\ТУ + Г = kX (/).

этой формы записи определяется формулой (3.54), в которой следует заменить Т на 1/ со 0. Подставляя весовую функцию (3.54) в формулу (3.38), получаем

Вычисляя этот интеграл и учитывая при этом, что — (t + t') + + 2min (t, t') = — 11— t' |, получаем

84

В установившемся режиме при g (f + t') > 47 получаем

При задании уравнения колебательного звена в форме выраже­ ния (3.55) корреляционную функцию удобно записать в следующем виде:

Ку (t, t') = Dy cos ©i (t —t')

где Dy — дисперсия выходного сигнала; шх = co0 ) / l — g2 — резо­

нансная частота корреляционной функции; а = g/71= g(o0Дисперсия выходного сигнала колебательного звена в соответствии

с формулой (3.56)

В установившемся режиме дисперсия имеет постоянное значение:

k-G

D„ (3.60) m

Для установившегося режима спектральная плотность выходной переменной

85

Спектральную плотность часто удобно представить в форме выра­ жения

Это звено является частным случаем колебательного звена при £ = 0. Поэтому все результаты можно получить из предыдущих формул, рассматривая предел при £ —>0. Вычисляя пределы, получаем корре­ ляционную функцию выходной координаты:

где со о = 1IT.

3.4. Колебательное звено

Колебательное звено является математической моделью большого числа различных устройств: измерителей, маятниковых устройств, радиотехнических цепей, простейших следящих систем и т. п. По­ этому представляет интерес определение вероятностных характери­ стик выходных переменных колебательного звена при различных типах входных случайных сигналов.

Рассмотрим уравнение колебательного звена в следующей форме:

где со о, £ — параметры звена; X (t) — случайный входной сигнал. Достаточно общей моделью входного сигнала является следующее

выражение:

86 ■ •

В формуле (3.67) N (t) — высокочастотная помеха с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией вида

лированные между собой функции.

Задачей анализа является вычисление математических ожиданий и корреляционных моментов координаты и ее производной и опреде­ ление моментов ошибки работы звена. Под ошибкой системы пони­

где Кт = A TS Ц) — требуемый выходной сигнал. Рассмотрим слу­ чай, когда требуемый оператор равен единице, а требуемый выходной сигнал равен полезному сигналу, т. е. рассмотрим следящую систему.

Математическое ожидание ошибки равно следующей разности:

буемого выходного сигналов, a DUt = Ds.

Математическое ожидание выходного сигнала колебательного

Математическое ожидание входного сигнала включает математи­

Для вычисления математического ожидания выходного сигнала вместо уравнения (3.73) можно воспользоваться соотношением

где t0 — момент начала работы системы; g (t, т) — весовая функ­ ция системы, определяемая решением при нулевых начальных усло^- виях уравнения (3.7^), в котором правая часть представляет собой

6-функцию:

f 21». + <4 g (t, т) = 8 (f - х). (3.76)

87

Решение этого уравнения эквивалентно решению однородного уравнения при начальных условиях: g (т, т) = 0; (dg (t, т)/dt)i=x — 1. Решая однородное уравнение при указанных начальных условиях, получаем следующее выражение для весовой функции:

88

Для вычисления дисперсии выходного сигнала воспользуемся принципом суперпозиции и условием некоррелированности входных сигналов. В данном случае удобно применить метод уравнений мо­ ментов (см. п. 2.6).

Представим уравнение (3.66) в форме двух уравнений первого

Учитывая, что помеха и полезный сигнал некоррелированы и система является линейной, рассмотрим прохождение одной помехи. В соответствии с уравнением (2.73) получаем следующую систему уравнений относительно корреляционных моментов выходных пере­ менных:

Эту систему уравнений следует решать при начальных условиях

0ц (0) = Dy„\ 022 (О) = Dyo; 012 (0) = 012о. Решая систему уравне­ ний (3.87) последовательно относительно 0Ш 012, 022, получаем сле­ дующие уравнения:

89