книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

4.1. Задачи анализа нелинейных систем

Динамические процессы в нелинейных системах существенно слож­ нее процессов, происходящих в линейных системах. Это опреде­ ляется наличием нелинейности и структурой системы. Нелиней­ ности, имеющие безынерционные нелинейные функциональные за­ висимости между переменными на входе и выходе, в отличие от ли­ нейных элементов преобразуют характер случайных процессов, изменяют их законы распределения.

При наличии нелинейностей в замкнутых системах при опреде­ ленных начальных условиях возможно возникновение и устойчивого колебательного процесса, называемого автоколебаниями. Автоко­ лебания имеют определенную частоту повторения. При случайных возмущениях автоколебания в нелинейной системе нарушаются, движения приобретают сложный хаотический характер.

Динамические процессы в нелинейных системах при действии случайных возмущений претерпевают сильные качественные и коли­ чественные изменения. Чтобы охарактеризовать эти процессы, не­ достаточно знать только математические ожидания и корреляцион­ ные функции входных и выходных переменных. Для исследования нелинейных преобразований случайных функций и нелинейных ди­ намических систем, находящихся под воздействием случайных воз­ мущений, используют законы распределения входных и выходных сигналов. Эта задача достаточно сложна и сводится к интегрирова­ нию дифференциальных уравнений в частных производных относи­ тельно функции плотности вероятности. В практических инженер­ ных оценках она может быть заменена определением числовых ха­ рактеристик — вероятностных моментов высших порядков перемен­ ных системы.

Задачи анализа нелинейных динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений, состоят в определении за­ конов распределения или вероятностных числовых характеристик всех или только выходных переменных, в исследовании зависимости этих характеристик от параметров системы, а также числовых ве­ личин входных сигналов, в определении точности воспроизведения или преобразования полезных сигналов. Одной из основных задач среди перечисленных является задача оценки математических ожи­ даний и корреляционных функций выходных переменных. Эта задача включает также оценки математического ожидания и . корреляцион­ ной функции ошибки воспроизведения системой полезного или задан-

Ш

ного сигнала, т. е. основную задачу точности. Общая постановка этой задачи аналогична постановке, сформулированной в гл. 2, п. 1 для линейных систем. Однако решение задачи для нелинейных замкну­ тых систем связано со значительными трудностями вычислитель­ ного характера. При этом для произвольных нелинейных систем не существует общего точного метода определения интересующих нас вероятностных характеристик. Поэтому большое значение имеют приближенные методы решения задач анализа, в том числе и задач определения точности нелинейных систем, основанные на применении обычной и статистической линеаризации функциональных зависимо­ стей. Если функциональные зависимости линеаризованы, то прибли­ женно анализ нелинейных систем может быть проведен методами ли­ нейной теории. К приближенным методам относится также метод эк­ вивалентных возмущений, основанный на аппроксимации выходных переменных любой динамической системы полиномами по случайным параметрам, если входные случайные возмущения представлены в па­ раметрическом виде через случайные параметры [23, 31].

Приближенные методы дают возможность определить числовые характеристики случайных процессов в нелинейной системе — ве­ роятностные моменты, основными из которых являются математиче­ ские ожидания и корреляционные функции.

4.2. Преобразование случайных функций нелинейностями

Простейшей нелинейной системой является безынерционная не­ линейность. Значение функции Y на выходе безынерционной нели­ нейности ср определяется только значением функции X на входе в тот же момент времени t:

Нелинейное безынерционное преобразование случайного процесса, так же,как и линейное пропорциональное, не вносит дополнительных вероятностных связей. Это означает то, что, если процесс на входе безынерционного преобразования полностью характеризуется «-мер­ ным распределением, то процесс после преобразования (на выходе нелинейности) также характеризуется распределением /г-го порядка. Например, если случайный процесс на входе в нелинейность пред­ ставляет собой белый шум, то на выходе он также является белым шумом. Однако в отличие от линейного безынерционного преобразо­ вания при нелинейном преобразовании изменяется вид закона рас­ пределения.

Задача анализа применительно к заданному преобразованию (4.1) состоит в определении закона распределения функции Y (t) при заданном законе распределения функции X (t). Для опреде­ ления закона распределения функции Y(t) необходимо существова­ ние обратного функционального преобразования

112

Если обратное преобразование (4.2) однозначно и задача функции плотности вероятности f (х, t) распределения процесса X (t), то плот­ ность вероятности к {у, t) процесса Y (t) определяется на основании

ность вероятности не может быть отрицательной, в формуле (4.3) необходимо учитывать модуль производной. Окончательно формула для плотности вероятности выходной переменной принимает вид

h{y, = t) ~dy (4.4)

Если обратное преобразование неоднозначно, то в формуле (4.4) необходимо осуществить суммирование по каждой ветви неоднознач­ ной характеристики ф (у).

В общем случае при определении «-мерной функции плотности вероятности на выходе безынерционной нелинейности получаем фор­

dipi

дУп

дфп

дуг дуп

суммирование осуществляется по всем ветвям обратного преобразо­ вания. При этом, если определяют m-мерный закон распределения на

Вычисление плотностей вероятности по приведенным формулам достаточно просто для однозначных обратных преобразований. Однако на практике часто обратное преобразование многозначно пли в некоторых случаях имеет бесконечное число значений, а ее произ­ водные терпят разрыв. В этих случаях для определения одномерных функций распределения необходимы специальные приемы, а опреде­ ление многомерных функций распределения становится весьма гро­ моздким [24].

Практически валено, однако, определение одномерных моментных функций любого порядка, а также второго двумерного центрального момента — корреляционной функции на выходе нелинейности. Эта задача более простая для определения одномерных моментных функ­ ций, причем для определения одномерного момента любого порядка случайной функции на выходе произвольной нелинейности необ­ ходимо знать закон распределения входной функции:

СО

В частном случае полиноминальной характеристики ср (х) формула для k-ro момента переменной Y (t) выражает этот момент через мо­ менты переменной X (t) для того лее момента времени и может быть получена из формулы (4.6), если в нее подставить выралеение

для момента времени t. Из формулы (4.7) следует, что момент /е-го порядка выходной случайной функции выралеается линейно через высшие моменты входного процесса, начиная с момента /е-го порядка до момента kN-vo порядка.

Так как всякая однозначная нелинейность практически любым способом может быть аппроксимирована полиноминальной характе­ ристикой, то сформулированное выше правило для моментов выход­ ной переменной является общим для нелинейных безынерционных преобразований.

114

Более сложной является задача определения корреляционной функции или второго начального момента выходной переменной нелинейности:

— со — со

где / (xlt х2, t ! , t2) — двумерная функция плотности вероятности слу­ чайного процесса на входе. Из формулы (4.8) следует, что для опре­ деления второго начального корреляционного момента ( t lt t2) необходимо знать двумерный закон распределения входной перемен­ ной. Непосредственно вычислить интеграл (4.8) сложно. Для его вычисления разработаны два общих метода: прямой метод и метод контурных интегралов (Райса). Для нормальных случайных про­ цессов применяют метод производных, который по существу является

где / (х, t) — одномерная плотность вероятности; Q„ (х, t) — поли­ номы, которые удовлетворяют условию ортогональности

Коэффициенты апт t2) можно заранее рассчитать по формулам

CO CO

— 00——0000

n, m = 0, 1, 2, . . .

Подставляя выражение (4.9) в формулу (4.8), получаем

00

Метод контурных интегралов основан на преобразовании характе­ ристики нелинейности при определенных условиях [77 ] с помощью контурного интеграла вида

(4.10)

L

где

СО

q (iu) = J ф (х) е~'Л" dx

— переходная функция нелинейности [19, 77]. Подставляя вы­ ражение (4.10) в формулу (4.8) и производя преобразования, получим

где g ( u lt u 2, t lt t 2) — двумерная характеристическая функция про­ цесса на входе в нелинейность. Представляя характеристическую функцию в виде двумерного ряда по ортогональным полиномам, аналогично выражению (4.9) запишем

СО

g (M l, U-2 , t-2) = ё (Wli ^2) X ^ пт It ^2) X n, m= 0

—СО — с о

хр п (и1, t j p m(ut, ti)du1diu.

Подставляя соотношение (4.12) в формулу (4.11), после преобразований получим

L

Здесь L — контур интегрирования, соответствующим образом вы­ бранный в комплексной плоскости и [77].

В ряде случаев нелинейность в диапазоне изменения входной пе­ ременной можно линеаризовать, представив в виде отрезка ряда Тей­ лора относительно математического ожидания входной переменной

тх (см. гл. 1 п. 8):

cp (X) = ср (тх) + ср' (тх)Х°.

116

В этом случае для получения вероятностных характеристик про­ цесса на выходе нелинейности применима теория преобразования случайных функций линейным безынерционным элементом (см. гл. 2,

п. 1).

Приближенно можно также определить вероятностные характе­ ристики случайного процесса на выходе безынерционного элемента, если нелинейность линеаризовать статистически, т. е. представить в виде выражения

ф W = Фо + /гД 0.

В этом случае также применима линейная теория. Однако ста­ тистическая характеристика ср0 и коэффициент /ех зависят от параме­ тров одномерного закона распределения процесса на входе в нели­ нейность и определяются по формулам (1.78), (1.79), (1.80). При этом вероятностные моменты случайного процесса на выходе нелинейности вычисляют по следующим формулам:

Ку (^Ъ ^2) —^1 (^l)^1 0*2) Кх(^1, ^2) •

Изложенные методы определения законов распределения и вероят­ ностных моментов случайного процесса на выходе безынерционного нелинейного элемента требуют знания законов распределения для входного процесса или его вероятностных моментов высших порядков по сравнению с определяемым.

4.3. Метод передаточных функций

Как известно, любую нелинейную систему можно рассматривать состоящей из безынерционных нелинейностей и линейных инерцион­ ных частей. Для приближенного вероятностного анализа применим линеаризацию нелинейностей относительно центрированных слу­ чайных функций в соответствии с приемами, описанными в п. 1.8. При этом в общем случае уравнения системы останутся нелинейными относительно математических ожиданий переменных и линейными относительно центрированных случайных составляющих с коэффи­ циентами, зависящими от математических ожиданий (обычная линеа­ ризация) или от математических ожиданий и корреляционных мо­ ментов (статистическая линеаризация) переменных на входе в нели­ нейность. Линеаризация уравнений дает возможность применить для вероятностного анализа теорию линейных преобразований слу­ чайных функций, изложенную в гл. 2. Для стационарных устойчивых систем, находящихся под действием стационарных случайных воз­ мущений, при анализе только установившегося режима во многих случаях удобно применить метод передаточных функций (п. 2.4).

Рассмотрим прежде всего одномерную стационарную систему с одним входом и одним выходом (см. рис. 1.1). Пусть на входе си­

117

стемы задана сумма неслучайного полезного сигнала ти н стацио­ нарной случайной помехи № (/), имеющей равное нулю математиче­ ское ожидание:

U (0 = ти (t) + Я° (t).

Система управления должна удовлетворять определенным тре­ бованиям, например требованиям воспроизведения на выходе по­ лезного сигнала ти (t) в случае следящей системы или получения некоторой линейной функции этого сигнала и его производных, как в линейной системе. При этом систему в целом проектируют как линейную, а нелинейности типа ограничения, зон нечувствительности и другие учитывают при анализе динамики и точности ее работы. В некоторых случаях систему проектируют как нелинейную. Задача таких систем состоит в воспроизведении входного сигнала или в под­ держании постоянного значения выходной переменной. В установив­ шемся режиме рассматриваемая нелинейная система должна иметь некоторый выходной желаемый сигнал уТ (I), связанный с входным полезным сигналом некоторым идеальным оператором L (2.33). Ошибка системы управления при этом выражается формулой

Е = Y — Lmu.

Пусть нелинейная система содержит один нелинейный безынер­ ционный элемент и описывается уравнением вида

стоянными коэффициентами; ср — нелинейная функция. На рис. 4.1 изображена структурная схема рассматриваемой системы. Предпо­ ложим, что функция ср является гладкой дифференцируемой и воз­ можна ее линеаризация:

матические ожидания и центрированные составляющие, получим уравнения для математических ожиданий

Рнс. 4.1. Структурная схема одномерной системы

118

ствует, величина тх — const. Тогда уравнения (4.16) и (4.17) яв­ ляются стационарными. Пользуясь уравнением (4.16), определяем передаточные функции для ту и тх соответственно:

ф_________ Нi (s) 7/о (s) /г0 (тх)_______ .

W F, (s) F2(s) + Н, (s) Н2 (s) kB(тх) ’

Используя выражение для передаточной функции Ф0ЛГ (s), на основании формулы (2.31) получаем

со

тх = ^ тр Фсы (0, тх)т {иг) (/). г=о

Эту формулу следует рассматривать как уравнение относительно тх. Разрешая его любым способом, определяем тх, а затем величины /г0 (пгх) и cp' (m.v). Далее на основании той же формулы (2.13) опре­ деляем

где Фоу (0, тх) — г-я производная передаточной функции Фо,, (s,

тх) по s.

Математическое ожидание ошибки системы определяют на осно­ вании формулы (2.34). В данном случае

СО

Ше = £ СГт\Р (/), /■=0

где Сг — коэффициенты ошибок, определяемые формулами (2.34). Пользуясь уравнением (4.17), определяем передаточную функцию

для переменной Y 0:

Заменяя s = iсо в формуле (4.18), вычисляем частотную характе­ ристику линеаризованной системы в установившемся режиме. Для определения дисперсии выходной переменной применим формулу

(2.41):

Интеграл в формуле (4.19) вычисляют при помощи таблиц (при­ ложение 2), если спектральная плотность SN(со) представлена дробно­ рациональной функцией частоты, а подынтегральное выражение приведено к выражению (2.45).

Так как в рассматриваемом случае полезный сигнал является неслучайным, то дисперсия ошибки совпадает с дисперсией выходной переменной D в = Dy.

119