книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

зиции п состоит в том, что результат действия линейного оператора на любую линейную комбинацию заданных функций является линей­ ной комбинацией от результатов его действия на каждую функцию в отдельности с темн же коэффициентами. Линейные системы можно определить как такие системы, для которых справедлив принцип суперпозиции. Примерами линейных операторов являются оператор дифференцирования

y(t) = ^Lx(t)

иинтегральный оператор общего вида

пt

У(!) = 2 J Sr(t,T)xr{t)dT,

г=1 to

где gr (/, т) — некоторые известные функции.

Оператор решения линейных дифференциальных, интегральных, разностных для алгебраических уравнений является также линей­ ным. Уравнения, описывающие поведение линейных систем, всегда линейны. Для систем, поведение которых характеризуется уравне­ ниями, можно дать другое частное определение линейности. Оно состоит в том, что если все уравнения, описывающие поведение си­ стемы, линейны, то такая система линейна.

Заметим, что из справедливости принципа суперпозиции для ли­ нейных систем при любом числе слагаемых и любом выборе функций xv (i) и чисел Су следует применимость его не только к суммам, но и к интегральным формам.

Оператор А называется нелинейным, если для него принцип супер­ позиции не выполняется или справедлив только при некоторых вполне определенных функциях x^i), . . ., хп (t) и числах сь . . ., сп. Примерами нелинейного оператора являются дифференцирование нелинейной функции ср (х), т. е.

У(*) = 4т Ф ИО]»

иинтегрирование нелинейной функции

У(*) = J Ф [х (t)] dx, to

где ср (х) — функция нелинейная относительно х (/). Поведение не­ линейной системы описывается уравнениями, среди которых есть хотя бы одно нелинейное.

Оператор системы может быть стационарным и нестационарным.

В первом случае свойства оператора не зависят от времени, во втором случае он может менять во времени свои свойства и структуру. Если оператор системы стационарный, то такая система называется ста­ ционарной. Реакция ее на любой заданный тип возмущения зависит только от интервала времени между данным моментом времени и

10

моментом начала действия возмущения, т. е. реакция системы на сигнал х (t), приложенный в момент Д, представляет собой некоторую функцию у { t— t0) от разности аргументов t — ^0.

У нестационарных систем при сдвиге входного сигнала во времени без изменения его формы выходные переменные не только сдвигаются во времени, но и изменяют свою форму.

Если динамическая система описывается уравнениями, то харак­ терным признаком стационарности системы является постоянство всех параметров (коэффициентов) уравнений.

Системы автоматического управления и их операторы могут быть непрерывными и дискретными, т. е. работающими непрерывно или в дискретные моменты времени (в течение коротких интервалов времени). Эти системы могут быть линейными и нелинейными. Раз­ личают также полностью дискретные и дискретно-непрерывные си­ стемы.

Дискретные и дискретно-непрерывные системы применяют в слож­ ных системах со сложной программой управления или при наличии многих объектов. При этом в систему управления включается циф­ ровая машина, являющаяся типичной дискретной автоматической системой.

Дискретные системы управления применяют также в тех случаях, когда необходимо повысить помехозащищенность автоматических устройств. Дискретные системы управления, строго говоря, являются принципиально нестационарными. Однако при малом интервале диск­ ретности и при осреднении на интервале дискретности иногда эти системы можно рассматривать как стационарные.

Большинство объектов управления и систем управления в целом можно отнести к системам с сосредоточенными параметрами.

Строго говоря, почти все реальные элементы, входящие в состав систем автоматического управления, в известной мере имеют распре­ деленные параметры. Но в подавляющем большинстве случаев реаль­ ный элемент можно с достаточной степенью точности заменить упро­ щенный моделью— системой с сосредоточенными параметрами.

1.3. Уравнения динамических систем

Несмотря на разнообразие автоматических систем, математиче­ ское описание их функционирования имеет известную общность и может быть полностью осуществлено уравнениями процессов, проте­ кающих в них. Эти уравнения являются общей характеристикой лю­ бой динамической системы. При этом непрерывные системы с сосредоточными параметрами описываются обыкновенными дифференциаль­ ными, интегральными уравнениями и функциональными соотноше­ ниями линейного и нелинейного типов. Динамика дискретных си­ стем полностью характеризуется разностными уравнениями и соот­ ветствующими функциональными соотношениями.

Уравнения непрерывных динамических систем можно записать в форме следующего полинома относительно оператора р =

\ \

с переменными параметрами:

( / = ! , . . . ,п)

гдеУ^, . . У„— случайные функции, характеризующие поведение системы, Х ъ . . ., Х т —• входные случайные функции или величины; ft (•) — нелинейные функции.

Для линейных одномерных систем распространенной формой записи является одно уравнение п-то порядка вида

причем ог (/) и bt (t) — известные функции времени, а для стационар­ ных систем — постоянные величины.

Уравнения (1.2) или (1.3) можно преобразовать к нормальной форме Коши, т. е. к системе дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно входящих в нее производных от искомых функций. Для этого надо перейти к фазовому простран­ ству, введя новую систему функций. Отвлекаясь от конкретного вида уравнений, будем считать, что после перенумерования получим новую систему функций Y ъ . . ., Yq. Тогда эти уравнения принимают вид

характеристики которых заданы; ф( (■) — в общем случае нелиней­ ные функции своих аргументов. Дальнейшие преобразования свя­

-мени, имеющими дробно-рациональные спектральные плотности. Эта задача является обратной по отношению к задаче получения из белого шума случайной функции с заданными вероятностными характери­ стиками, которая решается с помощью формирующего фильтра [46, 56]. Система (1.5) представляет собой уравнения формирующего

12

b (/) — неслучайные функции. Таким образом, получаем систему уравнений относительно искомых переменных с аддитивными белыми шумами в правых частях. Такие уравнения описывают многомерный марковский процесс.

Если исходные уравнения содержат случайные параметры или внешние возмущения представляют собой многочлены со случайными

( r = l , . . . , k )

где url (t) — неслучайные координатные функции; Vn — случайные коэффициенты.

В частных случаях, когда функции срг линейны, уравнения (1.7) принимают вид

пNr

i=i i=i

где an{t) — неслучайные функции времени.

Для иллюстрации процедуры преобразования уравнений покажем, как уравне­ ние /t-го порядка может быть заменено системой я уравнений первого порядка, не содержащих производные от входной функции в правой части. Пусть исходное урав­ нение имеет вид

-М О - М О М О + МО-

Вобщем случае для уравнения я-го порядка вида

+ . . . + апУ = 60Х(Л) + . . . + ЬпХ,

следуя изложенной процедуре, можно получить систему я дифференциальных урав­

13

Как видим, для приведения уравнения п-го порядка с переменными коэффициен­ тами к канонической форме системы уравнений первого порядка при применении изложенного метода необходимо потребовать существования производных от пере­ менных коэффициентов до /i-го порядка включительно.

Рассмотрим нелинейное уравнение

у + fli (0 Y + a9U )Y + с0 (О Z + с, (О Z = Ь0 (/) X + А, (/) X + Ь2(/) X;

где ср (К) — произвольная нелинейная функция. Заменим уравнение (1.13) системой

так же, как и в предыдущем случае. В результате для ft ([) получаем формулы (1.11). Аналогично преобразуются нелинейные уравнения /i-го порядка. При этом функ­ ции ft (/) вычисляют по формулам (1. 12).

Если функция X (/), входящая в правые части исходных уравне­ ний (1.9) и (1.13), является белым шумом, то рассмотренные выше преобразования являются окончательными. В противном случае необходимо еще выразить функцию X (t) через белый шум.

Динамика дискретных систем характеризуется разностными урав­ нениями. В достаточно общей форме для нестационарных нелинейных систем эти уравнения имеют вид [58, 73]

где Yt — переменные, характеризующие поведение системы; Х г — случайные возмущения; А, (■) — нелинейные функции; Д — опера­ тор разности вида

ДКД/г, e) = Y '( h + 1, в ) - К , (Л, в).

Если е принять равным нулю, то переменные определяются только

14

где

Если в уравнении (1.16) коэффициенты а,, и Ь/ постоянные, то дискретная система стационарна.

Если случайные функции Х г (t), . . ., X s (t) в уравнениях (1.15) связаны с составляющими (t), . . ., VN {t) некоторого векторного белого шума системой дифференциальных уравнений, то уравнения (1.15) также могут быть преобразованы к уравнениям с аддитивными дискретными белыми шумами в правых частях. Рассмотрев дополни­ тельные уравнения в дискретной (разностной) форме и пронумеровав подряд переменные, запишем систему разностных уравнений, ана­ логичных уравнениям (1.6):

(г = 1, .... п)

Уравнения (1.17) определяют переменные Уг (/г) как дискретный марковский процесс.

Совокупность уравнений является исчерпывающей характери­ стикой любой динамической системы. Однако линейная система может быть также полно охарактеризована совокупностью весовых передаточных и частотных функций.

1.4.Весовые функции линейных систем

Вобщей теории линейных систем широко изучается реакция ли­ нейной нестационарной системы на стандартное возмущение — импульсную 8-функцшо. Импульсной 6-функцией называется четная функция, равная бесконечности в начале координат, — нулю везде, кроме начала координат, и удовлетворяющая следующему условию: интеграл от этой функции по любому интервалу, содержащему начало

15

Введенную таким образом S-функцию можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции 1 (t), определяемой равенствами

На основании выражения (1.19) подынтегральная функция в фор­

в них х (т) заменить на х (t). Величину х (t.) выносим за знак интеграла и, используя формулу (1.20), получим

( — оо < t < оо)

Заметим, что формулы (1.25) и (1.27) справедливы также для функ­ ции х (0, имеющей в точке t разрыв первого рода, если ее значение

вэтой точке определить как среднее арифметическое значений справа

ислева.

Дифференцируя формально тождество (1.27) по t для функции х (t), имеющей непрерывные производные до п-то порядка, получим

( * = i ....... «)

где 6<ft) (t — t ) — производная 6-функции k-то порядка.

16

Формула (1.27) представляет собой разложение функции х (t) на бесконечно большое число бесконечно малых элементарных им­ пульсных слагаемых х (т) б (t — т) dr.

Рассмотрим линейную одномерную нестационарную систему с од­ ним входом и одним выходом, имеющую оператор А. Пусть в произ­ вольный момент т на вход системы будет приложено возмущение в виде 8-функции. Реакцию системы на выходе в момент t обозначим g (t,

где индекс t у оператора А показывает, что оператор выполняется над функцией б (t — т), рассматриваемой как функция t при фикси­ рованном т. Реакция системы в общем случае для нестационарной системы зависит от переменных t и т, т. е. от момента действия им­ пульса т и текущего момента времени t, в который изучается реакция.

Функция g (/, т) называется весовой, или импульсной переходной функ­ цией, и представляет собой реакцию на выходе системы в момент t на единичный импульс, действующий на вход системы в момент т.

Весовая функция любой реально существующей системы имеет то свойство, что она равна нулю при значении второго аргумента, большем значения первого:

g (t, т) = 0, т > t.

Это свойство называется условием физической возможности си­ стемы и отражает тот факт, что никакая реальная система не может реагировать в данный момент на возмущение, которое будет действо­ вать на нее позже. На рис. 1.3 изображена весовая функция физи­ чески возможной системы. Она представляет собой поверхность, определенную в области т ^ t. Весовая функция стационарной ли­ нейной системы зависит от интервала времени между моментом дей­ ствия импульса т и данным моментом времени t, т. е. зависит только от разности аргументов t — т:

и той же функцией одного аргумента | = I — т н изображается пло­ ской кривой, как показано на рис. 1.4.

Весовая функция дискретной нестационарной линейной системы представляет собой комбинацию 6-функцпй с весовыми коэффициен­ тами, зависящими от момента времени, в который определяется ре­ акция [21, 58]:

где gk (/) — весовые коэффициенты дискретной линейной системы. Они характеризуют долю, или удельный вес, значений входных переменных, действующих в различные моменты времени tk и фор­ мирующих выходную переменную системы в любой момент t. При

в дискретной системе определяется также в дискретные моменты времени t = IiTn, h = 0, ±1, ±2, . . . Для определения значений выходной переменной в интервалах между тактами принимаем мо­ мент времени

где для весовых коэффициентов введено обозначение gk [(/i + е) Т„] = g (h, е, /г).

Весовая функция физически возможной нестационарной системы в соответствии с формулой (1.32) имеет вид

Совокупность весовых коэффициентов g (/г, е, k) полностью опре­ деляет весовую функцию. Поэтому часто g (h, е, /г) как функцию пара­ метров /г, е, k называют весовой функцией дискретной линейной си­

стемы [43, 44, 73].

Если пренебречь интервалом времени, меньшим периода повто­ рения импульсов, и рассматривать только сдвиги во времени, крат­ ные периоду повторения импульсов, то можно ввести определение стационарной дискретной системы. Реакция стационарной дискретной системы не меняет формы при сдвиге на интервал, кратный пе­ риоду повторения импульсов. Весовые коэффициенты стационарных дискретных линейных систем представляют собой одну и ту же функ­ цию, сдвинутую во времени на интервалы, кратные периоду повто­ рения импульсов. Весовую функцию стационарной физически воз­

18