книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Выполним статистическую линеаризацию нелинейной зависи­

Решая уравнения (5.95), (5.98) относительно угла крема, полу­

Для установившегося режима дисперсию угла крена вычисляют

где Gx — интенсивность входного белого шума X (t). Представляя числитель и знаменатель подынтегрального, выражения в виде поли­ номов

и сравнивая с общими выражениями этих полиномов, приведенными в приложении 2, получаем значения коэффициентов при п = 3:

а3 = (з:Дэ^6^ 1/г1.

Врезультате подстановки этих коэффициентов в формулу для

значения интеграла / 3 получаем следующее выражение для диспер­ сии угла крена при постоянном значении коэффициента статистиче­ ской линеаризации:

Для определения дисперсии угла крена учтем зависимость коэффи­ циента линеаризации (5.97) от среднего квадратического отклонения угла элеронов и выразим его через среднее квадратическое отклоне­ ние угла крена. Это удобно сделать, вычислив дисперсию угла откло­

нения элеронов.

Передаточная функция от входного возмущения X (t) к углу отклонения элеронов

ф(s) = ---------------------- + M — =-------------------- (5 .104)

Тs3 -j- (1 -(- аххТ) s'- -f- (ахх + ax3kьк-^к^) s Н~ ахэ^1^&к1

Вычислим дисперсию угла отклонения руля. Используя переда­ точную функцию (5.104), получаем

Коэффициент статистической линеаризации k 1 в этом выражении вычисляют по формуле (5.97), в которую входит среднее квадрати­ ческое отклонение угла элеронов. Таким образом, соотношения (5.97) и (5.106) образуют нелинейную систему уравнений относительно

коэффициента k-y и среднего квадратического отклонения элеро­ нов.

Решив эти уравнения относительно среднего квадратического от­

162

где параметр линеаризации

_ d

Подставляя выражение (5.112) в (5.109) и решая совместно по­ лученное уравнение с уравнением (5.108), получаем следующее урав­ нение работы замкнутой системы в операторной форме:

1ТТыр* + (Т + Т,)р* + р +

где п = kM 2k. Этому.-уравнению соответствует структурная схема, приведенная на рис. 5.12, на которой операторным уравнениям (5.108), (5.109) поставлены в соответствие передаточные функции.

Дисперсия отклонения температуры в установившемся режиме

Представляя числитель и знаменатель в виде полиномов по сте­ пеням (со, получаем

Рис. 5.12. Структурная схема системы стабилизации температуры

164

В частном случае, когда Тк < Т, можно пренебречь произведе­ нием постоянных времени. Тогда дисперсию вычисляют по более простой формуле

D N a [Т ы (“ + nk\) + Т -f тм]

(5.119)

~ (Т + Тм) {n/h + а [1 + а (Т + Тм)]}

Поскольку k y есть функция сто [см. (5.113)], то данное соотноше­ ние представляет собой нелинейное уравнение относительно вели­ чины D<>. Преобразуем соотношение (5.119) к виду

d2

* 2 / 2 я ( Г + .П З Г Ц - а С Г + Г м )]

Если d С 2kla\, то уравнение (5.120) превращается в кубиче­ ское уравнение относительно среднего квадратического отклонения температуры:

При известных параметрах данное уравнение легко решается. При условии Тм С Т можно пренебречь постоянной времени привода. В этом случае уравнение (5.121) превращается в следующее

соотношение:

среднее квадратическое значение колебаний температуры объекта Сто = 0,5 град. При а = 0,01 с-1 и тех же значениях остальных пара­

165

Г л а в а 6 М Е Т О Д Ы А Н А Л И З А Д И С К Р Е Т Н Ы Х СИСТЕМ

6.1. Преобразование случайных функций дискретными системами

К дискретным системам автоматического управления относятся си­ стемы, имеющие в своем составе импульсный элемент или цифровое вычислительное устройство.

Любая дискретная система преобразует непрерывные функции

впоследовательность величин, характеризующих состояние системы

вдискретные моменты времени. Это относится также к случайным процессам. Для описания случайных процессов в дискретных си­ стемах можно пользоваться теми же характеристиками, что и для непрерывных систем, если считать эти характеристики функциями дискретных аргументов. Так, математическим ожиданием случайной функции дискретного аргумента X (/г) будем называть такую функ­ цию тх (/г), которая при каждом значении аргумента А равна мате­ матическому ожиданию функции X (А) при данном А:

Корреляционной функцией случайной функции дискретного аргу­ мента X (А) называется функция, определяемая соотношением

Кх (А, Ах) = М ([X (А) — шх (А)] [X (А2) — mx (Ах)]).

Из этого выражения при Аг = А получаем дисперсию случайной функции X (/г).

Корреляционная функция случайной функции X (А, е), наблю­

Аналогично могут быть обобщены определения для других мо­ ментов дискретных случайных функций. Функция плотности вероят­ ности дискретного случайного процесса также зависит от дискрет­ ного момента времени.

167

Для стационарной случайной функции дискретного аргумента, как и для непрерывной случайной функции, имеем

тх (/г) = const, Кх (/г, /гх) = 1гх (/г— /гх).

Спектральная плотность дискретной стационарной случайной функции определяется по формуле

си

£< “ >= & £

где Тп — период повторения импульсов (такт) исследуемой дискрет­ ной системы. Спектральная плотность стационарной случайной по­ следовательности равна интенсивности соответствующего дискрет­ ного белого шума Vd в интервале

СО

Интегральное каноническое представление стационарной слу­ чайной функции X (/г) выражается через Vd следующим образом [59]:

Дискретный стационарный белый шум X (h) так же, как и непре рывный, имеет постоянную интенсивность

Gd = ~ S dx = const.

* П

При этом корреляционная функция дискретного белого шума имеет вид

Gd при h1 — h2,

kx {hi — lb) — О^б/,,/,.

О при /г2 =?= /г2-

Преобразование случайных функций дискретными системами может быть описано формулами, аналогичными рассмотренным в предыдущих главах для непрерывных систем. В частности для линейных дискретных систем выходная векторная функция Y (т, е) связана с входной векторной функцией X (h) линейным операто­ ром А и выражается формулой

где Ah — произвольный линейный оператор, применяемый к аргу­ менту h. Так как операции оператора Ah и математического ожида­ ния М перестановочны, то, применяя операцию математического ожидания к выражению (6.1), получим

168

Для корреляционной функции выходной переменной также спра­ ведлива формула, аналогичная соответствующему выражению в не­ прерывных системах:

(2.6) и (2.8).

Преобразование начальных моментов второго порядка дискрет­ ными системами также характеризуется формулой, аналогичной выражению (2.9):

Д , (т, г, т±, в О = АкА„Гх (Л, / гД

Для нелинейных дискретных систем так же, как и для непрерыв­ ных, не существует общего точного метода определения вероятност­ ных характеристик выходных переменных по соответствующим вероятностным характеристикам входных переменных. Для опреде­ ления даже простейших вероятностных характеристик дискретных нелинейных систем— математического ожидания и корреляционной функции выходной переменной — необходимо знать законы распре­ деления или моменты высших порядков относительно входных пере­ менных, поэтому при вероятностном анализе дискретных систем так же, как и непрерывных, широко используются приближенные методы определения числовых характеристик случайных выходных переменных.

Общая постановка задачи анализа линейных и нелинейных си­ стем, изложенная соответственно в п. 2.1 и 4.1, может быть обобщена на случай дискретных систем, если все переменные рассматривать как функции дискретного аргумента. Поэтому нет необходимости пов­ торять постановку задачи. Следовательно, к дискретным системам могут быть применены все методы анализа, рассмотренные ранее.

6.2. Метод весовых функций

Для вероятностного анализа линейной дискретной системы может быть применен метод весовых функций, основанный на использова­ нии формулы (1.41), если известны весовые функции дискретной системы.

Для одномерной физически возможной нестационарной дискрет­ ной системы связь между входной и выходной случайными перемен­ ными на основании формулы (1.41) имеет вид

h

у (Л, В) = k=082 (Л, е, k) X (k). (6.4)

Применяя операцию математического ожидания к правой и левой частям выражения (6.4), получим

169

Если задан желаемый выходной полезный неслучайный сигнал //т (/), то систематическая ошибка системы вычисляется по формуле

Так как система линейна, на основании формулы (6.3) получаем выражение для корреляционной функции

Важное практическое значение имеет случай, когда входная слу­ чайная функция представляет собой дискретный белый шум с кор­

Если полезный сигнал является неслучайным, то формулы (6.7) и (6.9) определяют корреляционную функцию ошибки одномерной дискретной системы, а при h = 1гъ ех = е — дисперсию ошибки.

Изложенный метод применим также к многомерным системам. В этом случае должна быть задана или определяться из уравнений матрица весовых функций дискретной системы G (h, е, к) с компо­ нентами g;j (h, е, к), где j — один из входов, i — один из выходов. При этом справедливы формулы (2.17)—(2.19), которые для дискрет­ ной системы должны быть использованы с учетом зависимостей

(6.7)—(6.10).

Например, корреляционные функции для выходных переменных

170