книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

В некоторых случаях полезные и требуемые сигналы также яв­ ляются случайными. Тогда выражение для математического ожида­ ния ошибки (2.2) принимает вид

mEi (*) = mul (t) — muir(t).

(i = 1, • • n)

Случайная составляющая ошибки для t-ro выхода в этом случае

в определении ее систематических ошибок и вероятностных харак­ теристик случайных ошибок — корреляционных, взаимных корре­ ляционных функций (или дисперсий и корреляционных моментов связи) выходных переменных. При этом критерием качества системы можно считать второй начальный момент ошибки для каждого вы­ хода

(i = 1, • • •. «)

В некоторых случаях вычисляют среднюю квадратическую ошибку

= 4[ ' . ( / ) + Д е . (2 O f

или в частном случае при mEi= 0 среднее квадратическое отклонение

Ч (0 = рЕ/ (0]1/2.

Записанные формулы характеризуют также одномерную систему при i — 1.

Средний квадрат ошибки системы или математическое ожидание и дисперсия просто вычисляются и достаточно хорошо характери­ зуют ее качество. На практике большое распространение имеет нор­ мальный закон распределения переменных и ошибок, который для одномерных систем полностью определяется математическим ожида­ нием и дисперсией. В многомерном случае для определения нормаль­ ного закона распределения необходимы еще корреляционные мо­ менты связи между переменными.

40

Таким образом, основные элементарные задачи исследования авто­ матических систем при действии случайных возмущений, в том числе и оценка точности, приводятся к определению математических ожи­ даний и корреляционных функций выходных переменных. Для опре­ деления этих величин необходимо знать оператор системы. Тогда на основании вероятностных характеристик выходных функций могут быть вычислены вероятностные характеристики выходных переменных.

Однако не для всех задач средний квадрат ошибки или компо­ ненты могут служить подходящей оценкой качества системы. В ряде случаев за критерий качества динамической одномерной системы принимают вероятность попадания в заданный интервал выходной переменной или ошибки системы, а для многомерной системы — вероятность попадания выходных переменных или ошибки в задан­ ную область. При нормальном законе распределения ошибки вы­ числение этих критериев также сводится к определению первых двух вероятностных моментов случайных функций. В задачах опре­ деления качества фильтров, усилителей и некоторых других систем находит применение критерий, оценивающий отношение мощности полезного сигнала к мощности шума на выходе системы при неко­ тором заданном сигнале на входе. В системах обнаружения сигналов, для которых имеет значение не величина ошибки, а лишь качествен­ ная оценка наличия или отсутствия ошибки, пользуются критерием вероятности принятия ошибочного решения о наличии или отсут­ ствии сигнала, или критерием условной вероятности ошибочного решения.

В данной главе рассмотрим решение основной элементарной за­ дачи статистического анализа линейных систем, которые заданы детерминированным оператором и на которые действуют аддитив­ ные помехи.

2.2. Линейное преобразование случайных функций

Теория линейных преобразований случайных функций наиболее полно разработана. Она основывается на рассмотрении зависимости

где индекс у оператора указывает текущий аргумент действия опе­ ратора.

В частном случае при безынерционном линейном пропорцио­ нальном преобразовании изменяется только масштаб преобразуемой случайной функции. При этом закон распределения ее не изменяется. Линейное инерционное преобразование общего вида (2.5) изменяет закон распределения входного процесса, приближая его на выходе к нормальному. Это утверждение базируется на следующем. Случай­ ный процесс Y (i) на выходе линейной системы является пределом суммы в среднеквадратическом смысле, т. е.

K + i- t; i-»o

41

где г* ^ %и sg. g (t, г,,) — весовая функция линейной системы. Зафиксируем момент времени t и оценим возможное значение вы­ ходного сигнала. Это значение является суммой большого числа сла­ гаемых случайных величин с произвольными законами распределе­ ния. Чем инерционнее система и чем меньше интервал корреляции случайного процесса X (t) по сравнению с временем затухания весо­ вой функции, тем больше соизмеримых по величине и слабо корре­ лированных (или совсем не коррелированных) слагаемых, которые образуют величину У (/). На основании центральной предельной теоремы [56] можно считать распределение процесса Y (i) на выходе системы приближающимся к нормальному. Отсюда следует, что если входные сигналы имеют нормальные законы распределения, то вы­ ходные процессы линейной системы имеют также нормальные законы.

Если законы распределения входных сигналов отличны от нор­ мальных, то определение законов распределения выходных пере­ менных линейной системы является сложной задачей. Однако законы преобразования вероятностных моментов для линейных систем до­

Вычитая почленно выражение (2.6) из выражения (2.5), получим для центрированных составляющих случайных функций следующую

и применим к полученному выражению операцию математического ожидания:

где K„(t, Г) = М [7° (t) 7° (/')],_

Кх (х, т') = М[Х°(т)Х°(т')].

Ty (t, f) = M [ Y {t)Y (01; Г* (т, г') = М [X (т) X (т')1. !

42

Аналогично могут быть получены формулы для вероятностных моментов высших порядков выходной переменной любой многомер­ ной системы [55], причем для определения k-ro вероятностного мо­ мента любой выходной переменной необходимо k раз применить данный линейный оператор к k- щ вероятностному моменту входной переменной.

Это важное свойство имеют только системы, характеризуемые линейным оператором.

2.3. Метод весовых функций

Если известны весовые функции линейной системы, то для ее анализа может быть применен метод, основанный на использовании формулы (1.38). На основании этой формулы выходная Y (t) и вход­ ная X (/) случайные функции для одномерной системы связаны ли­ нейным интегральным оператором

Пусть заданы математическое ожидание и корреляционная функ­ ция случайной функции X (t). Пользуясь формулой (2.6), в рассма­ триваемом случае определим математическое ожидание выходной переменной:

Для стационарной системы в формулу (2.11) вместо g (t, т) сле­ дует подставить w (t — т).

Систематическую ошибку линейной системы определяют по фор­

Пользуясь формулой (2.8), определим корреляционную функцию

Для определения дисперсии выходной переменной линейной си­ стемы достаточно принять в формуле (2.13) V = t. В результате по­ лучим

43

Подставляя весовую функцию и тх (/) в формулу (2.11), получим

Из полученного результата следует, что апериодический фильтр воспроизводит линейную функцию времени mx (I) с ошибкой, уменьшающейся с ростом t. Характер изменения my (t) с течением времени представлен на рис. 2. 1.

Подставляя выражение для корреляционной функции в формулу (2.14), опре­

Из этой формулы следует, что дисперсия выходной переменной и дисперсия ошибки изменяются с течением времени. После завершения переходного процесса

Изложенный метод исследования точности применим также к много­ мерным линейным системам, Для многомерной линейной системой, имеющей пг входов и п выходов, должна быть задана матрица весо­ вых функций G (/, т) размерности (п X т) с компонентами gkh (t, т)

45

чайными функциями определяется линейным интегральным опе­ ратором вида

тt

= 1, • • •> П)

Применяя операцию математического ожидания к левой и правой частям выражения (2.17), получаем

тt

Центрированные случайные функции на всех выходах системы получим, если из формулы (2.17) почленно вычтем формулу (2.18):

тt

Y l(t)= 2 J'£*/.(', x)Xl(T)dx.

/1 = 1 /о

{k — 1, . . n)

Для вычисления корреляционных п взаимных корреляционных функций выходных переменных используем формулу

мами со взаимными интенсивностями Ghp (т) и взаимными корреля­ ционными функциями

Xxhxр (т, т') = G„р (т) б (т — т').

(/г, р = 1, . . ., т)

Подставляя эти выражения для корреляционных функций в фор­ мулу (2.19) и пользуясь свойством 6-функции, получим

46

Формулы (2.19) и (2.20) могут служить также для оценки взаим­ ных корреляционных функций, корреляционных функций и диспер­ сий ошибок системы, так как по предположению случайные ошибки

К(() = Y°k (i).

Из изложенного следует, что для оценки вероятностных момен­

тов выходных переменных необходимо иметь все весовые функции системы. Для системы первого порядка весовая функция может быть определена достаточно просто. В общем случае необходимо восполь­ зоваться любыми приближенными способами или вычислительной машиной, причем так как интегралы в вышеприведенных формулах вычисляют по второму аргументу весовых функций, целесообразно воспользоваться сопряженной системой уравнений или сопряженной структурой для определения весовых функций. Это особенно удобно, если дисперсии и корреляционные моменты связи выходных пере­ менных вычисляют для фиксированного момента времени tk.

В качестве примера рассмотрим применение способа моделирова­ ния сопряженной системы для определения весовых функций сле­ дующей системы уравнений:

На рис. 2.2 приведена структурная схема системы, соответствую­ щая системе уравнений (2.21). Пусть необходимо определить вероят­ ностные характеристики выходных переменных и ошибок системы только для момента времени tk. Воспользуемся сопряженной систе­ мой. Как известно [46, 58, 64], структурная схема сопряженной си­ стемы получается из структурной схемы основной системы (рис. 2.2) путем следующих преобразований: 1) направление сигналов изме­ няют на обратное; 2) интеграторы и дифференциаторы сохраняют свои функции; 3) узлы заменяют сумматорами и наоборот; 4) пере­ менные коэффициенты пересчитывают в обратном времени. Структур­ ная схема сопряженной системы изображена на рис. 2.3. При этом 6-функции следует подавать в точки, соответствующие прежним выходам системы, а точки приложения возмущений в сопряженной системе являются выходами для получения соответствующих весо­ вых функций как функций второго аргумента gih (tk, t) при фиксиро­ ванном первом аргументе tk.

Подавая на один из входов системы (рис. 2.3) 6-функцию, напри­ мер на вход /г, после интегрирования получаем на всех выходах ве­ совые функции как реакции системы на входное воздействие gih (tk, i). Меняя поочередно входы и выполняя интегрирования, получаем всю матрицу весовых функций системы по второму аргументу при фиксированном первом tk. Заметим, что вместо подачи 6-функции на вход системы можно1задавать начальное условие на ближайшем По ходу сигнала интеграторе. Далее для вычисления математических ожиданий корреляционных и взаимных корреляционных функций следует воспользоваться вышеприведенными формулами.

47

Рис. 2.2. Структурная схема системы

Изложенный метод исследования’ точности применим также для динамических систем, которые имеют отличные от нуля начальные условия. В этом случае предварительно необходимо преобразовать начальные условия в эквивалентный входной сигнал [64]:

Пусть линейная система характеризуется уравнением первого порядка

при случайном начальном условии в момент I = t0, Y (t0) — Y 0. Перейдем от переменной Y (t) к переменной Y* (t), удовлетворяющей уравнению

48

Рис. 2.3. Структурная схема сопряженной системы

при нулевом начальном условии в момент t = t0, Y* (t0) — 0. Опре­ делим Z (t, t0) таким образом, чтобы Y* (t) и Y (t) совпадали при t ^ t. Однако функция 7 (t) удовлетворяет уравнению (2.22), а функ­