книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем
.pdfГ л а в а 3 |
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ |
3.1. Входные сигналы
Характерной особенностью работы сложных автоматических систем является использование предельных режимов. Максимальные или минимальные значения скоростей и ускорений, температур и давле ний, токов и напряжений, времени работы и уровней полезных вход ных сигналов — таков далеко не полный перечень условий, при ко торых роль случайных факторов становится все более заметной и су щественной. Отсюда следует, что общей моделью входных сигналов, описывающих действующие возмущения, является случайная функ ция. В частном случае, когда роль случайных факторов становится пренебрежимо малой, входные сигналы можно рассматривать как детерминированные (неслучайные) функции.
Все многообразие входных сигналов можно разделить на полез ные сигналы и помехи. Полезные сигналы — это такие сигналы, пре образование которых является задачей автоматической системы. По мехи — это мешающие сигналы. Влияние помех проявляется в воз никновении случайных сил и моментов в механических системах и случайных токов и напряжений в электронных системах. Различают внешние и внутренние помехи. Примерами внешних помех могут служить турбулентность атмосферы, приводящая к болтанке лета тельного аппарата, шумы в радиоприемном устройстве, обусловлен ные физическими условиями распространения и отражения электро магнитных волн. Внутренние помехи возникают от флуктуаций но сителей заряда в элементах электронных схем (лампах, резисторах и т. п.), от трения в механических соединениях и на границах раз личных сред.
Разделение входных сигналов на полезные и помехи является условным и зависит от решаемой задачи. Например, с точки зрения общего движения летательного аппарата или пассажира влияние турбулентности атмосферы рассматривается как помеха. С точки зрения системы стабилизации летательного аппарата относительно центра массы турбулентность атмосферы рассматривается как полез ный сигнал, на который система стабилизации должна вырабатывать компенсирующий сигнал в виде поворота рулей. Отклонение рулей создает моменты, парирующйе моменты от турбулентности атмосферы. С точки зрения работы системы стабилизации помехами будут все возможные ошибки измерения фактического положения летатель ного аппарата.
70
Входной сигнал в общем случае представляет собой некоторую комбинацию полезного сигнала и помехи. Математически это записы вается в виде функциональной зависимости
|
X (/) = (р (S |
(О, N (0). |
(3-1) |
|
где X (0 — входной |
сигнал, |
ср (•) — нелинейная |
функция полез |
|
ного сигнала S (/) |
и помехи |
N |
(t). |
|
Наиболее часто встречаются аддитивная, мультипликативная и смешанная комбинации сигнала и помехи. При аддитивной комби
нации полезный сигнал и помеха складываются: |
|
||
X (t) |
= S (I) + N |
(I). |
(3.2) |
Аддитивность сигналов |
обусловлена |
независимостью источников |
полезного сигнала и помехи.
Мультипликативная комбинация означает перемножение полез-,
ного сигнала и помехи: |
|
X (0 = S (() Z (t), |
(3.3) |
где Z (t) — мультипликативная помеха. Мультипликация сигналов возникает при прохождении полезного сигнала через флуктуирую щую среду.
Смешанная комбинация сигнала и помехи включает аддитивную и мультипликативную помехи, т. е.
X (/) = 5 (0 Z(t) + N (t). |
(3.4) |
Часто встречается другое представление для смешанной комби нации
X (/) = 5 (0 [1 + Z(l)} + N (t). |
(3.5) |
Кроме перечисленных возможны и другие комбинации |
сигнала |
и помех, но они встречаются весьма редко. |
времени, имеющая |
Полезный сигнал — это случайная функция |
|
в общем случае регулярную и нерегулярную части: |
|
5 (t, U) = ср (/, U) + 5° (/). |
(3.6) |
Нерегулярная часть полезного сигнала 5° (t) есть случайная функция времени с нулевым математическим ожиданием. Регулярная часть полезного сигнала ср (t, U) представляет собой нелинейную функцию известной структуры и вектора случайных параметров U. Во многих практических задачах регулярная часть полезного сигнала может быть представлена в виде линейной функции параметров
Ф(*. U ) = |
t Ur4>r(t), |
(3.7) |
|
r= 1 |
|
где cpr (/) — известные функции |
времени; |
Uг — случайные вели |
чины. В частном случае, когда cpr (t) = tr~l |
, получаем полиноми- |
нальную модель регулярной части полезного сигнала. Такого рода модели используют, например, при описании элементов движения летательных аппаратов на ограниченном интервале времени.
71
В радиоприемных устройствах регулярная часть полезного сиг нала представляется как модулированное колебание
Ф (/, U) = Uх sin (UJ + U3) sin U4t, |
(3.8) |
где и г — амплитуда; U.2— частота огибающей; U3— фаза огибаю щей; 0 4— частота несущей сигнала. Это случайные величины, опи сывающие разброс параметров полезного сигнала.
Помеха так же, как и полезный сигнал, является случайной функцией времени и может иметь математическое ожидание. Помеха в ряде случаев может содержать регулярную и нерегулярную части. Примером регулярной части помехи может служить случайное по стоянное смещение нуля измерителя.
3.2. Характеристики сигналов
Случайные полезные сигналы и помехи могут быть охарактери зованы лишь в вероятностном смысле. Детерминированные сигналы непосредственно определяются своей формой и параметрами.
Полное описание регулярной части полезного сигнала или по мехи дается законом распределения вероятности вектора случайных параметров. Полное описание нерегулярной части полезного сигнала или помехи осуществляется с помощью функционала распределения вероятности.
Как известно, наблюдаемые макроскопические явления, на пример флуктуации сил и моментов, токов и напряжений, являются следствиями многочисленных микроскопических событий. Это зна чит, что вероятностные характеристики макроскопических явлений можно получить, рассматривая совокупность отдельных актов взаимо действия частиц вещества. Достаточно общей моделью этих актов взаимодействия является наложение независимых элементарных им пульсов, имеющих случайные параметры (амплитуду, фазу, дли тельность) и возникающих в случайные равномерно распределенные моменты времени. Если число импульсов в единицу времени (интен сивность появления импульсов) мало и имеет порядок единицы, то закон распределения вероятности макроскопической величины, пред ставляющей результат действия импульсов, значительно отличается от нормального закона. Примерами таких случайных процессов являются атмосферные помехи, помехи зажигания, помехи от вспле сков излучения Солнца, подводные шумы от больших неоднородностей дна и среды и человеческая речь [47, 82].
Если интенсивность появления импульсов в единицу времени составляет 10—104, то закон распределения вероятности близок к нормальному. Примерами таких случайных процессов могут слу жить сильные ионосферные помехи, помехи от осадков (дождь, снег), шумы моря. Наконец, если интенсивность появления импульсов имеет порядок более 104, то закон распределения вероятности сум марного события язляется нормальным. Примерами случайных про цессов, относящихся к этому классу, могут служить тепловой и дро бовой шумы, фотонные шумы, турбулентность атмосферы, флуктуа-
72
ции радиолокационного сигнала, шумы фотоумножителя и фоторезнстора и т. п.
В дальнейшем будут рассмотрены лишь случайные процессы, законы распределения которых являются либо нормальными, либо близкими к ним. Как известно, нормальный закон распределения вероятности случайного процесса полностью характеризуется мате матическим ожиданием и корреляционной функцией. Поэтому в ка честве характеристик некоторых конкретных случайных процессов, рассматриваемых далее, принимаем математическое ожидание и кор реляционную функцию. Для стационарных случайных процессов кроме корреляционной функции рассматривается ее преобразование Фурье — спектральная плотность.
•Тепловой шум. Этот шум обусловлен случайными движениями электронов в кристаллической решетке вещества. Закон распределе ния вероятности шума является нормальным с нулевым математиче ским ожиданием. Спектральная плотность напряжения на концах
некоторого проводника |
[9] |
|
|
|
|
|
Su(f) = - j r ^ , |
(3.9) |
|
|
|
|
t kT - 1 |
|
где R — сопротивление |
проводника; f — частота; Т — абсолютная |
|||
температура |
проводника; |
1г = 6,62-10 - 31 Д ж -с— постоянная |
||
Планка; k = |
1,38-10_23 |
Дж-град-1 — постоянная |
Больцмана. |
|
При Т = |
295° К и / < |
1012 Гц отношение hf/kT |
= 1,63-10"13 f, |
что значительно меньше единицы. Поэтому показательную функцию в знаменателе спектральной плотности можно разложить в ряд
Тейлора и ограничиться только линейным членом |
ehf/kT |
1 + |
+ hf/kT. Подставляя это разложение в формулу (3.9) |
и выполняя |
|
несложные преобразования, получаем формулу Найквиста |
|
|
Su (/) = AkTR, f < 1012 Гц. |
|
(3.10) |
Таким образом, в полосе частот от нуля до 1012 Гц спектральная плотность теплового шума постоянна. Это означает, что в данной полосе частот тепловой шум можно рассматривать как белый и считать корреляционную функцию 6-функцией:
ku (x) = Gu8( т), |
(3.11) |
где G„ = 8яkTR — интенсивность теплового шума. При темпера туре Т = 295° К и сопротивлении R = 106 Ом интенсивность теп лового шума G„ = 1,27-10'13 В2-с.
Дробовой шум. Этот шум есть проявление дискретности носителей электрического заряда в электронных лампах. Поток электронов, излучаемых нагретым катодом лампы, непрерывно изменяет свою плотность за счет флуктуаций температуры катода и напряженности поля между электродами лампы. При среднем токе 20 мА и анодном напряжении 200 В интенсивность импульсов тока составляет 108, поэтому закон распределения вероятности дробового шума является нормальным. Математическое ожидание дробового шума равно нулю.
73
Для плоского диода в режиме насыщения спектральная плотность дробового шума, проявляющегося в виде флуктуаций тока, имеет вид [9, 47]
5<(/) = д |Щ г [(2я//п)2 + 2 (1 - со 8 2яДп- 2 я / / п51п2я/и], (3.12)
где е — заряд электрона; I — среднее значение тока, протекающего через диод; tn — время пролета электроном участка катод—анод; О < Г < 1 — коэффициент депрессии дробового шума. Корреля ционная функция дробового шума, соответствующая спектральной плотности 5 (- (/), имеет вид
|
4е/Г3 |
A |
ITl I |
М 3 |
N < 4 , |
|
3/п |
||||
ki (т) = |
2 ' |
<п |
21\ |
(3.13) |
|
О |
|
|
|
||
|
|
|
|
М > *п- |
Время пролета электроном межэлектродного расстояния состав ляет tn ;=« 10~9 с, поэтому при /< 1 0 ° произведение 2яД, < 1. Рассматривая предел выражения (3.12) при 2я/7п, стремящемся к нулю, получаем следующую формулу спектральной плотности
дробового шума, справедливую для |
106 |
Гц (формула Шоттки): |
5,- (/) = |
2е/Г2. |
(3.14) |
Постоянство спектральной плотности в определенном диапазоне частот позволяет трактовать дробовой шум в этом диапазоне как белый шум. Корреляционная функция, соответствующая спектраль ной плотности (3.14), имеет вид 6-функции с интенсивностью Gt- = = 4ле/Г2. При среднем токе 20 мА, Г = 1 интенсивность дробового шума Gi = 4,02-10'20 А2-с. На резисторе с сопротивлением 106 Ом флуктуации тока от дробового шума создадут случайные изменения напряжения с интенсивностью Gu = 4,02-10'8 В2-с. Сравнивая эту величину с интенсивностью теплового шума, можно констатировать, что дробовой шум дает значительные флуктуации.
Шум мерцания (фликкер-эффект). Шум мерцания проявляется
вэлектронных лампах в виде медленных флуктуаций тока вследствие изменения эмиссии на больших участках поверхности катода. Уро вень мерцания ламп с оксидным катодом значительно больше, чем
влампах с металлической нитью накаливания. Спектральная плот ность тока шумов мерцания по экспериментальным данным имеет
вид [10] |
|
S,(/) = ^ . |
(3-15) |
где k — коэффициент пропорциональности; а «^2; р |
1; I — сред |
ний ток через лампу.
Шум мерцания, как это следует из формулы (3.15), имеет большую интенсивность на низких частотах. Следует заметить, что эта фор мула является эмпирической и не отражает физическую сущность явлений на частотах, близких к нулю.
74
Генераторно-рекомбинационный шум. Причиной возникновения шума является флуктуация числа носителей тока в полупроводниках при явлениях генерации и рекомбинации. Этот шум аналогичен дро бовому шуму в лампах.
Спектральная плотность тока генераторно-рекомбинационного шума в полупроводниках, близких к чистым, имеет вид
D,а 1
(3.16)
л а2-f- со2 ’
где а = \ИЖ— величина, обратно пропорциональная среднему вре мени жизни носителей заряда, a DL— дисперсия, определяемая формулой
D,.= |
4Jt/2 (b+ l)2np |
(3.17) |
{bn+ p)2 (я + p) |
||
В формуле (3.17) / — средний ток; Ъ |
— p j p p — коэффициент |
подвижности, равный отношению скоростей перемещения электронов и дырок соответственно; п — среднее число электронов; р — среднее число дырок.
Для чистых полупроводников п = р, поэтому формула для дис
персии упрощается и принимает вид |
|
Dt — |
(3.18) |
Корреляционная функция тока генераторно-рекомбинационного |
|
шума в соответствии с формулой (3.16) |
|
kt (т) = П(е —а |т1. |
(3.19) |
Среднее время жизни носителей в полупроводниках составляет tx = 10- 8 с. Поэтому для значений частот, удовлетворяющих усло вию 10"8 (о <§( 1, генераторно-рекомбинационный шум можно рас сматривать как белый шум.
Фединг. Этим термином определяют флуктуации амплитуды при нимаемого радиолокационного сигнала, обусловленные характером отражения электромагнитных волн от сложных поверхностей и из менениями плотности атмосферы. Основную роль в возникновении фединга играет первый фактор. Если отражающая поверхность имеет сложную конфигурацию и случайным образом изменяет свою ори ентацию в пространстве, то отраженный от нее сигнал будет иметь случайную амплитуду. Эта амплитуда есть модуль векторного сиг нала, представляющего собой результат наложения сигналов, от раженных от элементарных площадок поверхности.
Влияние фединга обычно учитывают в виде случайного измене ния угловой ошибки слежения радиолокатора. Спектральная плот ность фединга
5 Ф = "Jr [ а2+ (со — Р)а + (И + Р)3+ а» ] • |
(3 ,2 °) |
75-
О |
4 |
8 |
12 |
16 fju, |
|
Рнс. |
3.1. |
Спектральная |
плотность |
Рис. 3.2. Корреляционная функция |
|
|
|
фединга |
|
|
фединга: |
1 — эксперимент; 2 — аппроксимация
где Стф— среднее квадратическое отклонение; а, р — числовые пара метры.
Спектральная плотность имеет максимумы на частотах со0 = = ±Р, равные по величине
Оа2 + 2р2
(3.21)
а 2+ 4|3-
График спектральной плотности приведен на рис. 3.1. Корреляционная функция фединга, соответствующая спектраль
ной плотности (3.20), имеет вид (рис. 3.2)
|
*ф(т) = а |е _ “ |T |cospt. |
(3.22) |
Значения |
параметров равны оф = 0,0625 рад; |
а = 24 с -1; |
р = 40 с - 1 |
[20]. |
|
Блуждание центра отражения (угловое мерцание цели). Этим термином определяют флуктуации принимаемого радиолокационного сигнала, обусловленные сложением фаз сигналов, отраженных от элементарных площадок поверхности. Данное явление приводит к угловым ошибкам определения мгновенного центра отражения. Блуждение центра отражения происходит в пределах ограниченной области, связанной с отражающей поверхностью. Вследствие этого угловые колебания отраженного сигнала существенно зависят от дальности. Обычно блуждание центра отражения выражают в виде стационарной случайной функции, поделенной на дальность D (t) до отражающей поверхности:
Х{1) = |
хб(0 |
■ |
(3.23) |
|
D(t) |
|
76
Случайная функция Х 6 (i) имеет спектральную плотность, ко торая, как следует из экспериментальных данных, хорошо аппрокси мируется формулой [16, 17]
|
2 |
|
|
|
Sa(ta)= - |
, яа!° |
---- г , |
(3.24) |
|
' |
а + (5ш- + усу1 |
v |
' |
|
где а2 — дисперсия блуждания |
центра |
отражения. |
|
|
Значения параметров в этой формуле соответственно равны:
а = 9,67; а = 483,1 с -1; (3 = 0,456; у = 0,001 с3. Среднее квадра тическое отклонение зависит от наибольшего размера L облучаемой радиолокатором цели и вычисляется по формуле
аб = 0,21 L, |
(3.25) |
где L измеряется в метрах.
Турбулентность атмосферы. Атмосфера всегда находится в непре рывном случайном движении относительно Земли. Это движение проявляется в виде ветра. Скорость ветра VK является случайной функцией времени и координат точки пространства R : W —
=W (R, 0-
Скорость ветра представляют в виде суммы двух составляющих:
постоянной и переменной. Составляющую скорости ветра считают постоянной, если за время движения летательного аппарата она мало изменяется по направлению и по величине. Модуль постоянной со ставляющей скорости ветра обычно рассматривают как случайную величину. Экспериментальные данные показывают, что эта величина имеет закон распределения вероятности Рэлея. Плотность вероят ности постоянной составляющей скорости ветра
_ |
|
f(W) — -^s-e 2аЕ . |
(3.26) |
В этой формуле среднее квадратическое отклонение постоянной составляющей скорости ветра зависит от высоты над земной поверх ностью. В приземном слое атмосферы среднее квадратическое откло нение выражается следующей зависимостью от высоты [22]:
<327>
где mWQ— математическое ожидание скорости ветра на некоторой
опорной высоте Я 0; Я — текущая высота; п — показатель степени! величину которого рекомендуется выбирать в пределах 0,15—0,20- При опорной высоте Я„ = 10 м рекомендуется принимать mu,Q=
= 3 -г-4 м -с-1.
Переменная составляющая скорости ветра W° (/?, i) характери зует турбулентное движение атмосферы, выражающееся в хаотиче ском случайном перемещении частиц воздуха. По масштабу разли чают три интервала турбулентного движения: крупномасштабный, инерционный и вязкий. Крупномасштабная турбулентность обуслов лена нарушением равновесного состояния атмосферы за счет нерав-
77
номерного нагревания Солнцем. Это движение носит асимметричный характер вследствие влияния поверхности Земли и ее вращения.
В инерционном диапазоне масштабов турбулентного движения происходит передача энергии от крупномасштабного движения сравнительно небольшим массам воздуха. При этом турбулентность носит изотропный характер. Предельные величины вихрей в этом диапазоне имеют порядок нескольких сотен метров.
В вязком диапазоне турбулентность также носит изотропный характер и охватывает наиболее высокие частоты движения воздуха. Размеры вихрей в этом диапазоне составляют несколько сантиметров.
При статистическом описании турбулентности обычно прини маются гипотезы о неизменности поля скоростей по отношению к ле тательному аппарату (гипотеза «замороженностн» Тейлора), а также об однородности и изотропности в вероятностном смысле поля скоро стей. В соответствии с первой гипотезой считается, что вследствие большой скорости, летательного аппарата время пролета этим аппа ратом интервала корреляции турбулентного движения очень мало. Поэтому за это время мгновенное значение поля скоростей практи чески не изменяется: оно остается как бы застывшим, замороженным. На основании этой гипотезы вероятностные характеристики турбу лентности, полученные как функции координат для одного момента времени, можно использовать для любого момента времени.
Вторая гипотеза об однородности и изотропности позволяет огра ничиться при статистическом описании лишь одной корреляционной функцией проекции вектора скорости ветра на направление, со единяющее две точки пространства: kr (г), где г — расстояние между двумя точками пространства. Вследствие условия изотропности и однородности эта корреляционная функция зависит лишь от модуля расстояния между двумя точками. Корреляционная функция про екций вектора скорости ветра на нормаль к направлению между двумя точками kn (г) связана с корреляционной функцией kr (г) соотно шением, полученным в общей теории турбулентности [8]:
Ш = кг{г) + ± - г ^ . (3.28)
Аналитические выражения для кор реляционных функций, полученные ап проксимацией экспериментальных кри
вых, имеют следующий вид (рис. |
3.3): |
||
|
|
_ l£i |
|
kr(r) — a2we |
r ; |
|
|
bn(r) = <&( l - ^ |
|
I r I |
|
j |
j e ^ , |
(3.29) |
|
Рис. 3.3. Корреляционная |
функция турбулентности. |
78
где <т^— дисперсия переменной составляющей скорости ветра;
L , L,j — продольный и поперечный масштабы турбулентности соот ветственно.
Масштабы турбулентности характеризуют длины интервалов, иа которых сохраняются корреляционные связи случайного процесса. Эти масштабы определяются как интегралы от нормированных кор реляционных функций:
со |
оо |
(3.30) |
Lr = ~ \ k r{r)dr, L |
: — /г„(/-) dr. |
|
|
о |
|
Между масштабами турбулентности |
имеется соотношение |
Lr = |
= 2Ln. Нетрудно проверить, что соотношение (3.28) для приведен ных формул корреляционных функций выполняется.
Для перехода от корреляционных функций, зависящих от коор динат, к корреляционным функциям, зависящим от времени, следует воспользоваться соотношением, вытекающим из гипотезы заморо
женное™ поля скоростей |
|
|
|
||
|
|
г = vт, |
|
|
(3.31) |
где |
v — скорость полета летательного |
аппарата. Подставляя это |
|||
выражение |
в формулы (3.29), получаем |
|
|
|
|
|
|
M O = c £ e -“ |T!; |
Т| |
|
|
|
|
|
и I |
|
|
|
|
kn(x) = ol(l —а |т |) е |
2 |
, |
(3.32) |
где |
введено |
обозначение |
|
|
|
|
|
а = v/Lr = v/2Ln. |
|
|
(3.33) |
|
Корреляционным функциям (3.29) соответствуют |
спектральные |
плотности, аргументом которых является пространственная ча стота й:
Sr (Q) = ^ |
1 |
|
1~j~(QL/-)2 > |
||
|
(3.34) |
|
Sn(й) — |
l+3(QLn) 2 |
|
[L + (QL„)2]2 |
||
|
Графики спектральных плотностей приведены на рис. 3.4 и 3.5. Корреляционным функциям (3.32) соответствуют_спектральные
плотности временной угловой частоты со = ай:
2сг.а |
|
2о2а |
а2 + |
Зсо- |
(3.35) |
5 Дсо) = |
а2 -f- со2 |
SnИ = п |
(а2 |
со2)2 |
Рассмотренные экспериментальные корреляционные функции и спектральные плотности достаточно хорошо описывают характери стики турбулентности в инерционном интервале и значительно хуже
79