книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Перейдем к рассмотрению линейной одномерной системы, харак­ теризуемой, например, линейным интегральным оператором

Полагая g (t, т) и X (t) независимыми и применяя к выражению (8.5) операцию математического ожидания, при заданных математи­ ческих ожиданиях гпу (t, т), пгх (т) получим

Как частный случай формулы (8.4) для корреляционной функций выходной переменной Y (i) линейной системы имеем

Ку(*• Г) = 1 J {Щ (t, т) mg(/', т') Кх (т, т') +

тт

где Кх (т> "O'. Kg (t, т, t', т') — корреляционные функции соответ­ ственно функции X (I) и весовой функции g (t, т). Если входная слу­ чайная функция представляет собой белый шум интенсивности G (t) с корреляционной функцией Кх (т, "О = G (т) б (т— т'), то по фор­ муле (8.7) в частном случае получаем

Ку (t, t') = j G (x) [mg (t, т)me (t,'x) +

T

+ Kg (t, t, f , t)] dx -f- J | tnx (т)mx (t')Kg(t, t, f , t')dx-dx'. (8.8)

T T

Формулы (8.6)—(8.8) также легко обобщаются на многомерные си­ стемы, имеющие оператор вида

где gLi (t, х) — случайные весовые функции многомерной системы; Х[ (т) — случайные компоненты векторной входной функции системы.

будем считать коррелированными. Применим операцию математи­ ческого ожидания к выражению (8.9). В результате получим

Ш

201

Для определения взаимных корреляционных функций

Если входные случайные функции X t (t) есть коррелированные между собой белые шумы, то из формулы (8.11) получим более про­ стое выражение, представляющее собой обобщение формулы (8.8):

+ Ke!pelq( х>*’’ х)[ dx + J J "hp (t ) mXq CO x

T T

X K RipZlg ^>T>Г’ Т') dT-dl:'J>

•где Gpq (x) — взаимные интенсивности белых шумов

Приведенные формулы дают возможность опредить также дис­ персии и корреляционные моменты выходных переменных, если по­ ложить в них ? = t.

8.3. Системы со случайными параметрами

Для~ описания работы реальных устройств широко используется модель динамических систем со случайными параметрами. Эта мо­ дель учитывает свойства инерции, ограничение скорости протекания процессов в системе и наличие флуктуирующих или постоянных, но случайных параметров. Примерами задач, для решения которых не­ обходимо использовать модель систем со случайными параметрами, являются исследование прохождения сигналов в каналах с флуктуи­ рующими характеристиками, оценка точности прецизионных изме­ рителей, работающих в условиях вибраций при учете конечной жест­ кости конструкции, анализ устойчивости инженерных сооружений с учетом конечной жесткости при действии случайных сил, исследо­ вание работы маятниковых устройств при ускорениях точки подвеса, изучение устройств как объектов контроля и т. п. Из приведенного, далеко не полного перечня задач очевидно, что модель систем со случайными параметрами является весьма общей, поэтому методы вероятностного анализа систем со случайными параметрами нахо­ дят широкое применение в практике инженерных расчетов.

202

При анализе систем со случайными параметрами рассматривают две модели. В первой модели параметры описываются как случай­ ные функции времени. Строго говоря, вместо термина «параметры» следует использовать в данном случае термин «параметрические возмущения», более точно отражающий сущность явлений. Если параметрические возмущения являются сомножителями переменных системы, то такие возмущения называют мультипликативными по­ мехами.

Во второй модели параметры системы рассматриваются как слу­ чайные величины. Возможен и смешанный случай, когда имеют место как случайные величины, так и параметрические возмущения.

Рассмотрим класс автоматических систем, описываемых нелиней­ ными дифференциальными уравнениями вида

коррелированными гауссовскими процессами, которые можно аппрок­ симировать белыми шумами с математическими ожиданиями mfk (t),

т% (t) и интенсивностями Gfkpq (t), G^h (t), Gf£jt (t). Если слу­

чайные функции Zik (i), Hk (t) не являются белыми шумами, а свя­ заны с ними дифференциальными уравнениями, то увеличением числа переменных и соответствующим увеличением числа уравнений вновь можно прийти к описанию системы в форме уравнения (8.12) (понятие формирующего фильтра см. гл. 2, п. 6).

Рассмотрим вначале случай, когда параметры системы фиксиро­ ваны, т. е. являются неслучайными. При этом условии выходные пере­ менные системы (8.12) образуют марковский случайный процесс.

Марковский случайный процесс имеет полное вероятностное опи­ сание в форме уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова [37]:

это уравнение определяет плотность вероятности f перехода, если начальным условием является 6-функция, или одномерную плотность вероятности переменных, если в качестве начального условия для уравнения (8.13) является плотность вероятности начальных значе­ ний переменных системы (8.12).

203

Полным вероятностным описанием системы (8.12) является также уравнение В. С. Пугачева относительно характеристической функ­ ций g переменных

П

В уравнениях (8.13), (8.14) величины A t называются коэффициен­ тами сноса (переноса). Эти коэффициенты определяются как скорости изменения условных математических ожиданий приращений пере­ менных системы (8.12):

Величины Btj в уравнениях (8.13), (8.14) называются коэффициен­ тами диффузии и определяются как скорости изменения условных корреляционных моментов приращений переменных системы (8.12):

Коэффициенты сноса и диффузии полностью определяют марков­ ский случайный процесс.

Вычислим коэффициенты сноса и диффузии уравнения (8.13), пользуясь уравнением (8.12) [26]. В соответствии с определением коэффициент сноса равен пределу отношения условного математиче­ ского ожидания приращения вектора координат к приращению

Функцию ф (* (Y (т)) м о ж н о выразить через ее значение в точке времени t и приращения. Представим компоненты векторного аргу­ мента нелинейной функции в виде

204

Предполагая дифференцируемость нелинейной функции и учиты­ вая, что при t ^ t At второй член аргумента мал, представим нелинейную функцию рядом Тэйлора, сохранив только линейный' член:

Значение дифференциала dYp получим из уравнения (8.12):

П( + A t

Вычислим условное математическое ожидание приращения i - й переменной при фиксированном значении вектора переменных в мо* мент t: Y (t) = у (t). В результате получаем

и I*

205

Поделив полученное выражение на At и перейдя к пределу при A t —>0, получим следующую формулу для /-й компоненты вектора сноса:

х 1Фр, (у) Gfkpq (0 +6wGfftS(/)] + 2 btk [i) т% (t). (8.23)

A=I

(t = 1 , 2 , . . . , /;)

Для вычисления i/-x компоненты матрицы коэффициентов диф­ фузии составим произведение A Y iA Y j, пользуясь соотношением (8.21). Применив к этому произведению операцию условного матема­ тического ожидания при фиксированном значении вектора коорди­ нат в момент t, поделив результат на А( и перейдя к пределу при At —> —>0, получим

П

( / , / = 1 , 2 , . . ., /г)

Полученные формулы для коэффициентов сноса и диффузии яв­ ляются точными, несмотря на то, что в разложении нелинейной функ­ ции в ряд Тэйлора учтен только линейный член. Если учесть допол­ нительно квадратичный член ряда, то при вычислении предела At —>О

поэтому формулы для коэффициентов сноса и диффузии принимают вид

206

Частные выражения (8.26) при mfk = 0 получены в работе [76].

Если мультипликативные возмущения отсутствуют, то Gz — GZN = = 0 и коэффициенты сноса и диффузии принимают вид

Если нелинейные функции недифференцируемы в обычном смысле, то для вычисления производных следует использовать обобщенные функции или применить статистическую линеаризацию. Статис­ тическая линеаризация многомерной нелинейности дает следующее выражение (см. гл. 1, п. 8):

где ср0(./, — статистическая характеристика ik-й нелинейности, kikq-^~ статистический коэффициент усиления Иг-й нелинейности по слу­

чайной составляющей; Y°q— центрированное значение q-й пере­ менной. Параметры статистической линеаризации cp0(/i, kikq зависят от векторов математического ожидания и дисперсии входных пере­ менных в нелинейные элементы (см. гл. 1, п. 8).

Для получения формул коэффициентов сноса и диффузии с при­ менением статистической линеаризации можно повторить вывод, аналогичный предыдущему. Однако значительно проще восполь­

зоваться полученными соотношениями (8.23), (8.24). Полагая Y°q =

Подставляя это выражение в соотношение (8.23), получаем сле­ дующую формулу для коэффициента сноса в случае существенно нелинейных функций ср/й (у):

Как следует из выражения (8.24), коэффициенты диффузии не зависят от производных нелинейных функций, поэтому формула (8.24) остается справедливой и для случая существенно нелинейных функ­ ций ср (у). Таким образом, коэффициенты сноса вычисляют по фор­ муле (8.31), а коэффициенты диффузии — по формуле (8.24). Заме-

207

тим, что поскольку статистические коэффициенты усиления по слу­ чайной составляющей зависят от математических ожиданий и диспер­ сий входных переменных нелинейных элементов, то коэффициенты сноса являются также функциями первых двух моментов переменных системы.

Если теперь принять, что фиксированные ранее параметры яв­

и рассматривать эти уравнения как условные.

Полученные выражения для коэффициентов сноса и диффузии позволяют проанализировать характер уравнений для одномерных плотности вероятности и характеристической функции вектора пере­ менных системы. Если функции ср (у) линейны, то, как известно [57], уравнение (8.14) в этом случае можно представить в следующем виде:

(8.32)

где функцию

Ф(%, t, d/idX) = i{K А (у))-(К, В(у)Ъ)

следует рассматривать как оператор, получаемый формальной за­ меной переменных ук оператором дифференцирования d/idX. Учи­ тывая, что переменные входят в коэффициенты диффузии во второй степени (8.26), можно констатировать, что уравнение относительно характеристической функции при действии мультипликативных воз­ мущений является линейным дифференциальным уравнением в част­ ных производных второго порядка параболического типа с комплекс­ ными коэффициентами. Заметим, что при отсутствии мультипликатив­ ных возмущений уравнение для характеристической функции имеет первый порядок.

Если нелинейные функции ср (у) представляют собой полиномы или целые функции своего аргумента, то вновь справедливо соотно­ шение (8.32) и порядок дифференциального уравнения относительно характеристической функции будет определяться наибольшей сте­ пенью переменных ук. Отсюда следует общий вывод, что порядок диф­ ференциального уравнения в частных производных для характери­ стической функции зависит от изменчивости нелинейных функций ср (у) от своего аргумента. Чем больше эта изменчивость, тем выше порядок полинома, необходимого для ее описания, и, следовательно, тем выше порядок будет иметь уравнение для характеристической функции.

Описанное свойство уравнения для характеристической функции проявляется и при отсутствии параметрических возмущений. Однако наличие мультипликативных возмущений еще более подчеркивает его.

Рассмотрение уравнения плотности вероятности для случая ли­ нейных систем, когда коэффициенты сноса и диффузии определяются формулами (8.25), (8.26), показывает, что оно является линей­ ным уравнением в частных производных второго порядка параболи­ ческого типа с действительными коэффициентами. Для нелинейных

208

систем порядок уравнения не изменяется, а усложняются лишь коэффициенты уравнения.

Таким образом, при исследовании систем с параметрическими воз­ мущениями определение одномерной характеристической функции вектора переменных системы является более сложной задачей, чем определение одномерной плотности вероятности этого же вектора переменных. Общие решения уравнений для характеристической функции и плотности вероятности вектора переменных произвольных динамических систем неизвестны. Разработаны приближенные ме­ тоды решения [33], которые могут быть применены при исследовании систем с параметрическими возмущениями.

8.4. Уравнения для моментов

Изложенный в предыдущем параграфе метод определения одно­ мерного закона распределения вероятности вектора переменных ав­ томатических систем, содержащих параметрические помехи, является сложным. Поэтому его применение эффективно лишь для решения простейших задач (см., например, гл. 9, п. 1). В связи с этим прак­ тическое значение приобретают более простые методы анализа, с по­ мощью которых можно проводить вероятностный анализ сложных автоматических систем. К таким методам, в частности, относятся методы, основанные на вычислении моментов переменных системы. В этом случае упрощение задачи анализа достигается за счет умень­ шения полноты получаемых вероятностных характеристик.

Уравнения для моментов переменных можно получить из урав­ нения, определяющего одномерный закон распределения вероят­ ности координат,' причем можно воспользоваться как уравнением для характеристической функции, так и уравнением для плотности вероятности. Вывод уравнений для моментов проведем, основываясь на уравнении для одномерной плотности вероятности:

П П

где коэффициенты сноса и диффузии определяются формулами (8.23), (8.24) и (8.31).

Получим уравнения относительно моментов первого порядка переменных [26]. Для этого умножим обе части уравнения (8.33) на yk и проинтегрируем по всем переменным в бесконечных пределах. В левой части, меняя местами порядок дифференцирования по вре­ мени и интегрирования по переменным, получаем

Вычислим первый член в правой части полученного выражения:

П оо со

и любой другой член при i =}=к и проведем вычисления, применяя интегрирование по частям:

СО ' со со со

где M — оператор математического ожидания; при i=j=h имеем:

Равенство нулю данного соотношения следует из условия обраще­ ния в нуль плотности вероятности при достижении любой из пере­ менных бесконечного значения. Таким образом, на основании (8.36) и (8.37) первая сумма в правой части уравнения (8.33) после умно­ жения ее на k-ю переменную и интегрирования по всем переменным в бесконечных пределах

П СО со

где оператор математического ожидания применяется к вектору переменных, от которого зависит коэффициент сноса.

Умножив вторую сумму уравнения (8.33) на ук и проинтегрировав по всем переменным в бесконечных пределах, получим нуль. В этом нетрудно убедиться, если провести выкладки, аналогичные рассмо­ тренным выше. В результате получаем следующую систему диффе­