книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем
.pdf0,? |
0,6 |
0,6 |
0,8 |
Т,с |
Рис. 3.10. Графическое решение уравнений
сечения этих кривых дает искомые коэффициенты.
Система стабилизации лета тельного аппарата по крену рас сматривалась как линейная. В действительности угол откло нения элеронов ограничен. По этому необходимо проверить вы полненный выше расчет по вели чине отклонения элеронов. Ча стотная характеристика системы от входного возмущения к углу отклонения элеронов в соответст вии с рис. (3.9) имеет вид
Ф (/со) = ___________________ к 4- шт___________________ |
(3.137) |
|
Т (/со)3 + (1 + а х х Г ) |
(,W)2 + (аЛЛ- + ядэт) 1(0 + Яд-э* |
|
Дисперсия угла отклонения элеронов |
|
|
D6 — |
Дсоб, |
(3.138) |
где эффективная полоса пропускания системы от входного возмуще
ния к углу отклонения |
элеронов |
|
|
|
||||
Acoj = J |
|
|
|
|
| к + |
Tfсо |2 rfco |
(3.139) |
|
| T (ico)3 + |
(!-{- axxT) (ico)2 + (axx 4- ахэт) ко 4- ax3k |2 |
|||||||
Вычисляя этот |
интеграл, |
получаем |
|
|
||||
|
Дсо. = л — |
к (1 + |
axxi) + ax3i- |
(3.140) |
||||
|
° |
а.. |
,[(14 |
аххТ) (ахх 4- ахэт)—ахзкТ] ' |
|
|||
Рассмотрим |
числовой |
пример |
при |
следующих данных: |
ахх — |
|||
= 4 с -1; ахз = |
40 с-2; Т — 0,05 с; |
S.v = |
0,2 с-3. По формуле (3.134) |
строим зависимость коэффициента усиления от коэффициента демп фирования (кривая 1 на рис. 3.10). На этом же графике строим зави симость коэффициента усиления от коэффициента демпфирования, вычисляемую по формуле (3.136) при различных значениях £0 — = 0,5, | = 0,7 (кривые 2 и 3 на рис. 3.10). Точки пересечения кривых дают оптимальные значения параметров. Результаты расчетов све
дены |
в таблицу. |
|
|
|
|
|
|
|
£о |
*0 |
То, с |
с3 |
Дсо6, с3 |
Dy , рад2 |
D6. рад2 |
аг |
*6’ |
град |
град |
|||||||
0,5 |
3,0 |
0,17 |
5,64-Ю-3 |
6,04Х |
1,12- 10-3 |
1,21 • 10~2 |
1,92 |
6,31 |
|
|
|
|
X 10'2 |
|
|
|
|
0,7 |
5,0 |
0,40 |
1,91 -Ю" 3 |
6,95Х |
3,80-10~4 |
1,39-10-- |
1,12 |
6,76 |
|
|
|
|
XI О’2 |
|
|
|
|
100
3 .7 . С истем а са м о н а в ед ен и я ракеты
Рассмотрим задачу оценки точности самонаведения ракеты в од ной плоскости. Линеаризованные относительно теоретической траек тории уравнения процесса наведения ракеты имеют вид
11 = ^ —»щ£ц; |
|
|
t = Aa {a — аТ); |
(3.141) |
|
а -f- С^а -j- Сасс = С0 С^б; |
||
|
б= — £це — X (t)) -f- koj -}- /ез©г,.
Вэтих уравнениях приняты следующие обозначения: г) — от клонение центра массы ракеты Р по нормали от вектора теоретиче
ской дальности DT\ = v cos (ет — 0T) — проекция вектора ско рости ракеты на вектор теоретической дальности; v — модуль век тора скорости ракеты; ет — угол ориентации вектора теоретической
дальности; |
0Т— угол наклона вектора скорости при теоретическом |
||
движении; |
ц1ц = vч cos (ет — 0ЦТ) — проекция вектора |
скорости |
|
цели на вектор теоретической дальности; |
■— величина |
скорости |
|
цели; 0ЦТ—■угол наклона вектора скорости |
цели в теоретическом |
движении; £, — соответственно вариации углов наклона векторов скорости ракеты и цели; а — угол атаки; а т — угол атаки в теорети ческом движении; С0— величина, зависящая от ускорения силы тя
жести и ее производной; б — угол отклонения руля; е — угловая скорость вектора дальности D\ X (t) — помеха; j — составляющая нормального ускорения, измеряемая акселерометром; со21 — угловая скорость корпуса ракеты относительно центра массы.
На рис. 3.11 показана схема, иллюстрирующая кинематические соотношения. Ракета наводится по методу параллельного сближе-
Р
Рис. 3.11. Кинематика самонаведения ракеты
101
ния, поэтому угловая скорость вектора дальности е является основ ным сигналом ошибки в законе управления [последнее уравнение в системе (3.141)]. Закон управления записан в идеализированной форме без учета инерционности измерителей, усилительных устройств
ирулевой машины.
Вуравнениях (3.141) величины Аа, Са, Са, Сб являются пара
метрами ракеты, определяющими ее динамические свойства. Вели
чины k lt |
/га, к3 являются параметрами системы управления. |
Первое |
|||
уравнение в |
системе |
(3.141) описывает |
кинематику движения |
||
центра |
массы |
ракеты, |
второе— динамику |
центра массы, |
третье |
уравнение характеризует кинематику и динамику движения корпуса ракеты относительно вектора скорости (по углу атаки), последнее выражение описывает закон управления.
Закон управления в системе уравнений (3.141) записан в полных выражениях. Запишем его в вариациях. Измеряемое акселерометром
ускорение |
|
|
j = |
vAaa. |
(3.142) |
Угловая скорость корпуса ракеты есть сумма угловых скоростей |
||
угла атаки и угла наклона вектора скорости: |
|
|
coZi = a -j- 0. |
(3.143) |
|
В свою очередь, величина |
|
|
0 = Аар. + |
, |
(3.144) |
где gy — составляющая ускорения силы тяжести на ось у. |
|
|
Следовательно, угловая скорость ракеты |
|
|
= ос -|- Ааа -j——. |
(3.145) |
Угловую скорость вектора дальности представим в виде разности теоретического значения и вариации:
е = ет — бе. |
(3.146) |
Подставляя соотношения (3.142), (3.145), (3.146) в закон управ ления, запишем его в следующем виде:
б == —■kx(ет — бе — X (t)) -j- Аа (k2v -)- к3) <х-}- k3a -f- k3 • (3.147)
С целью получения аналитических выражений для вероятностных характеристик промаха примем два допущения: вторая производная
угла атаки а = 0; скорость сближения
\Ь | = vr = const. |
(3.148) |
Следовательно,
D = 0; D (t) = D0— vrt\ D0 = vrT, |
(3.149) |
102
где Т — полное время полета; vr — относительная скорость;
D 0— начальная дальность стрельбы.
С учетом сделанных допущений систему уравнений (3.141) можно
представить в следующем виде: |
|
|
£ = |
(сс ССТ), |
( (3.150) |
та -)- а — — /г0 (бе + X) |
k0&T-j- /г0 |
— ф ) >j |
где т — эквивалентная постоянная времени; /г„ — коэффициент уси ления, характеризующий динамику движения ракеты относительно центра массы:
Cd +
Сц 4- |
{к-р + |
/;з) ’ |
(3.151) |
k0= ______ Сб^1______ |
|
||
Со + |
С(,Аа (k2v |
/г3) |
|
Промах самонаводящейся ракеты описывается формулой |
|||
^ = 1/т + 'Ч + 'Пд*. |
(3.152) |
||
где г/т — промах в теоретическом движении; At |
— время полета |
||
до встречи с целью |
после выключения |
координатора на |
расстоянии |
DB от цели. |
|
Учитывая, что rj |
= D5e (см. рис. 3.11), представим формулу |
|
(3.152) в следующем виде: |
|
|
У = |
ут-j- D5e—губе At -f- D6e At. |
(3.153) |
При постоянной скорости сближения время полета после выклю чения системы управления
At = D/vr. |
(3.154) |
Подставляя At в формулу (3.153), получаем
У — Ут уут бе. |
(3.155) |
Определим отсюда вариацию угловой'скорости вектора дальности, подставив которую в третье уравнение системы (3.150), получим
та -j- а = —- /е0 ( ^ У + * ) +
+ /?08т+^о1 |
Со |
^з8у |
(3.156) |
Cfi/ei |
крг |
103
Из второго уравнения системы (3.150) определяем угол атаки и подставляем его в уравнение (3.156), тогда
Я + i = - М а |
г + х ) + м Я Н- |
<зл57)
Представим значение промаха в следующем виде:
У = Ут |
(3.158) |
|
vr |
и продифференцируем уравнение (3.158) по времени:
У = Уx + + |
— |
+ |
(3.159) |
Дифференцируем первое уравнение системы (3.150) в предполо жении постоянства скоростей:
“Л= °iS — ищ£ц- |
(3.160) |
Подставляя это соотношение в формулу (3.159), получаем
|
Y = |
|
|
vr |
|
(3.161) |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
£ = |
|
|
и1ц^ц~) > |
(3.162) |
|
у- _ |
vr I |
|
Dvm V |
и1цСц D + |
|
|
S ~ v^D- I У — Ут — |
- Vr |
£ц + |
|
|||
|
|
У Ут |
|
D |
|
(3.163) |
|
Ь |
|
Vr ^ 1ц ?ц \ . |
|||
Подставляя Си |
С в уравнение (3.157) |
и преобразовывая, |
полу |
чаем уравнение для текущего промаха самонаводящейся ракеты:
тY + ( l + ^ f ) y + k ^ Y =
= ~ (Т—5Г" Я ^Vr^ ) Я /т (^)> (3.164)
где приняты следующие обозначения: k — обобщенный коэффициент
усиления, |
|
|
|
(3.165) |
k = k 0Aav J v r\ |
|
|||
У т— проекция нормального |
ускорения |
цели |
на вектор |
теоретиче |
ской дальности, |
|
|
|
|
jlu, --- /ц COS (бт |
9цт) |
(®т |
®цт) > |
(3.166) |
104
/т — функция, учитывающая влияние теоретического движения на промах,
/т — хУт + |
+ т _ ^ ') У т + ^ _5 'Ут + |
|
+ |
+ |
<3167) |
Уравнение (3.164) является линейным дифференциальным урав нением второго порядка с переменными коэффициентами и случай ными начальными условиями. Как известно (см. п. 2.3), начальные условия в линейной системе можно выразить в виде эквивалентного входного сигнала. Часть входного сигнала, обусловленного случай ными начальными условиями, представим в виде выражения
Z1(t) = xY06(l) + Y0 т6(0 + ( 1 + 7 г ) б ( 0 ’ . |
(3.168) |
|
Обозначая правую часть уравнения (3.164) через сигнал |
|
|
z 2 (0 = - |
(*Лц + Лц + kvrX) + /т, |
(3.169) |
запишем полный входной сигнал в виде суммы |
|
|
Z (i) = |
Z ^ t ) + Z2 (t). |
(3.170) |
Таким образом, случайный промах самонаводящейся ракеты в рам
ках сделанных допущений описывается уравнением |
|
т К + (l + ^ Y + k ^ Y = Z(t), |
(3.171) |
где т, vr, k — постоянные величины;
D (i) — известная функция времени; Z (7) — случайная функция времени.
Решение уравнения (3.171) можно записать с помощью весовой функции
т—ы |
|
У (0 = 1 g ( T - A t , s)Z(s)ds, |
(3.172) |
о |
|
где Т — At — tB— время полета ракеты до момента выключения си стемы управления; g (t, s) — весовая функция процесса наведения, определяемая решением следующего дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях:
+ (1 + i £ ) + ^ . g V , s) = 6{l _ s); (3.173)
это уравнение можно решить только численно.
Рассмотрим упрощенный метод определения весовой функции, заключающийся в отбрасывании второй производной в уравнении (3.173). Решение приближенного уравнения
dg(t, s)
dt + k "щту ё ifу s) — b{t — s)
105
при линейном законе изменения дальности, т. е. npuD (t) = |
D 0— vrt, |
|||
где D 0 = vrT, T — полное время полета, имеет вид |
|
|||
g V, s) = |
D(s) |
D(0 - v rt |
Y |
(3.174) |
D (s) -I- vrt |
D (s) -f vrt |
J |
|
В качестве критерия точности наведения ракеты выберем второй
начальный момент промаха: |
|
av = ml + Dy. |
(3.175) |
Для вычисления математического ожидания и дисперсии промаха рассмотрим следующие характеристики входного сигнала. Пусть нормальное ускорение цели является случайной величиной, матема тическое ожидание и дисперсия которой соответственно равны
т /'ш = т 'ц c o s (е-г — °ит); |
(3.176) |
|
== ^/ц *"0s2 (®Т 0цт). |
||
|
В этом случае производная от нормального ускорения равна
нулю.
Случайные начальные условия имеют математические ожидания тУа, тУо 11 дисперсии Dya, Dy,. Функцию /т считаем равной нулю.
Помеха X (t) содержит |
две составляющие — фединг и блуждание |
|
центра отражения (см. п. |
3.3): |
|
ХЦ) = Х фУ ) + % $ - . |
(3.177) |
Математическое ожидание помехи равно нулю. В полосе про пускания системы самонаведения фединг и блуждание можно рассма тривать как случайные функции с постоянной спектральной плот ностью. Поэтому корреляционная функция суммарной помехи
Kx (t, П = Сф + |
Об |
б ( / - О , |
(3.178) |
|
0*(OJ |
|
|
где Gф, G6 — соответственно интенсивности фединга и блуждания. Для вычисления математического ожидания и дисперсии промаха
воспользуемся методом весовых функций.
В соответствии с общей формулой математического ожидания про маха
Т—А1 |
|
|
|
тц = |
j g(T —At, |
s) mz (s) ds. |
(3.179) |
|
о |
|
|
Математическое ожидание входного сигнала |
|
||
тг (s) = хт-Ь (s) -f тУо тб (s) + |
^1 + |
|
|
D(s) |
ГП;ц cos (ет — 0цТ) Д fT(s). |
(3.180) |
|
v. |
|
|
|
106
Подставляя математическое ожидание входного сигнала в фор мулу (3.179) и выполняя интегрирование, получим
ту = — т,- cos (ет — 0ЦТ) fi (k, т, Т, At) -j-
+my.fr (k, r, T, At) + m-J3(k, x, T, Д*) +ф(А, T, At), (3.181)
где функции /у, f2, / 3, ф зависят от обобщенного [коэффициента уси ления /г, эквивалентной постоянной времени движения ракеты отно сительно центра массы т, общего времени полета Т и времени неуправ ляемого полета At. Указанные функции
|
|
T—At |
h(k, |
х, Т, Ai) = ~ |
j D (s)g (T — At, s) ds. |
|
Vr |
J, |
При D (s) = |
D q— vrs и k = |
1 этот интеграл |
fi = № + т) (Г - At - 2x In £ ± 1 ) + t2 (1 - ^ T) .
При k = 2 функция |
|
T + x |
|
|
|
fi — (At |
t)2 In |
|
|
|
At -{- t |
|
||
—2t(At |
At -)- x ) . |
x2 |
At + x\- |
|
t) 1 — T |
+ t J + |
Т Г 1 — |
T + x)] |
(3.182)
(3.183)
(3.184)
Для всех остальных значений коэффициента усиления k 4= 1, 2 функция /4
Функция /2 |
(k, |
х, Т, |
At) |
определяется соотношением |
|
|
|
|
|
г-д; |
|
h = |
( l + ^ - ) |
J 8 ( s ) g ( T - A t , s)ds + |
|||
|
|
|
T—At |
|
|
|
|
+ т |
J |
8(s)g(T — At, s)ds. |
|
|
|
|
о |
|
|
Используя |
свойство |
5-функции, получаем |
|
||
f, = ( i + 4 - ) g ( r - i t , 0 ) + Д а8|Т^ |
4 ,- , |
(3.185)
(3.186)
(3.187)
Подставляя значение весовой функции и учитывая, что при диф ференцировании не учитывается множитель в виде единичной функ-
107
цин [весовая функция уравнения (3.164) не имеет скачка при t = s], получаем
* |
(At + x)k Г'п I , ( * + 1) П |
(3.188) |
|||
' а — (Г + т) * + 1 L |
|
Т + х \ |
|
||
Соответственно функция |
|
|
|
|
|
|
|
T-AI |
|
|
|
f3(k,x, |
T,Al) = x |
J |
б (s) g (Т — At, s) ds = |
|
|
= x g ( T - A t , |
0) = |
Т х |
'Л/ -j- т' |
(3.189) |
|
у^р |
.Т + Ч. |
||||
|
|
|
|
|
|
В формуле (3.181) функция |
|
|
|
||
|
|
T—At |
|
|
|
Ф (к, х, |
Т, А0 = |
J |
g ( T - |
At, s) fT (s) ds. |
(3.190) |
|
|
о |
|
|
|
Считая, что случайный маневр |
цели, |
начальные ошибки пуска |
и помеха некоррелированы между собой, определим дисперсию промаха:
|
Dy — Djц cos2 (ет — 0ЦТ) f{ (k, х, Т, At) -f |
|
|||||
|
+ D j l ( k , |
х, |
Т, At) + Dyjl (к, т, |
Т, |
At) + |
|
|
|
+ |
G*o^(ft, т, Т, At) + G6f5 (k, x, |
T, |
At). |
(3.191) |
||
Функция /4 (k, х, Т, |
At) |
есть интеграл вида |
|
|
|||
|
T-At |
|
|
|
|
|
|
U = \ \ \ \ 8 { T - A t , |
l ) g { T - A t , t')k*D(Z)D(t')8(s- |
||||||
0 |
0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
— g) 6 (s' — I') бфб (s —s') ds ds' dl d g . |
(3.192) |
|||||
Учитывая свойство б-функции, получаем |
|
|
|
||||
|
|
|
T-Al |
|
|
|
|
|
f, = G ^ |
[ |
\ ± [ D ( s ) g ( T - A t , |
s))V ds. |
(3.193) |
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
Вычисление этого интеграла с учетом формул (3.149), (3.174) |
|||||||
дает следующее выражение, справедливое при к Ф 1,2: |
|
||||||
/.(*, т. |
т, |
= |
|
- ( - Т Т г Г |
4 |
||
|
|
|
|
2х2(ЗА2—1) |
|
||
|
|
о М -т £ Г ] + (2 * + 1)(Д* + т ) |
X |
108
ОС,М2
0 2 4 |
6 8 k |
Щ |
б) |
О |
2 4 6 8 к |
в) |
г) |
Рис. 3.12. Зависимость среднего квадрата промаха ракеты от коэффициента усиления при различных значениях параметров:
а — обобщенной постоянной времени; б — среднего квадратического отклонения ускоре ния цели; в — дальности выключения коор динатора; г — относительной скорости сбли жения ракеты; д — начальной дальности
пуска ракеты
О |
2 |
4 |
6 |
8 |
к |
д)
109