Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4342 43 > Следующая >>>

Приложение

Характерные параметры плазмы

Теория плазмы имеет дело с рядом характерных пара метров. Исследование зависимости этих параметров от свойств системы представляет интерес не только для чис ленных расчетов, но также и для приближенных теоре тических методов. Поэтому в дальнейшем мы рассмотрим некоторые из этих характерных параметров и приведем их взаимные соотношения и численные значения.

С точки зрения применений, по-видимому, целесообраз но подробнее рассмотреть характерные параметры плазмы. С этой целью исследуем характерные времена и харак терные длины отдельно при взаимодействии пробной ча стицы определенной скорости с каждым сортом частиц системы.

Рассмотрим равновесную, нейтральную систему, со стоящую из двух сортов частиц с плотностью п+ = п_ = п при заданной температуре 0. Пусть частицы являются однозарядными и характеризуются массой т^. Величины, свободные от индекса, относятся к исследуемому сорту частиц.

Очевидно, что характерные параметры взаимодейст вия пробной частицы с каким-либо сортом частиц должны выражаться только через п и © . Это означает, что их внутреннюю связь можно выразить через один удобно выбранный параметр, например Л.

Характерные частоты и длины

При исследовании кулоновской системы в от .утствие корреляций имеется единственная характерная частота — это частота плазменных колебаний

(П.1)

Характерные параметры плазмы

415

Соответствующей характерной длиной для плазмы в от сутствие корреляций является дебаевский радиус

=	_0__	(П.2)
	4 п п е 2

Если учитываются слабые корреляции, то дополни тельной характерной частотой является частота столк новений

vc = 3	In Л	(П.З)
У 2	~	'
У 2

Характерная длина, соответствующая этой частоте столк новений, есть средняя длина свободного пробега

(П.4)

V т vc

Помимо средней длины свободного пробега, для описа ния плазмы с учетом корреляций используются класси ческий радиус взаимодействия

rw = ~W

(П-5)

и среднее расстояние между частицами

г „ = ( ^ р .

(П.6)

Частота столкновений и средняя длина свободного пробега характеризуют довольно грубым образом явле ние релаксации, обусловленное корреляционными эффек тами. Для более точного различия эффектов релаксации имеется бесконечное число релаксационных времен, зави сящих от рассматриваемых физических процессов. Ниже мы дадим общую формулировку этих времен релаксации для произвольной цилиндрически симметричной комби нации моментов скорости. При вычислениях (см. [55] к гл. 4) обычно используются следующие три эффектив ные частоты: характерная частота изменения скорости направленного движения

vs ( u ) ~

и d t u\b

(П.7)

416	Приложение

характерная частота рассеяния импульса

чч(и) = - ^ - ^ - и %±,

(П-8)

характерная частота изменения энергии

(П.9)

где и — скорость пробной частицы, а и0 соответствует скорости, для которой du2/dt = 0. Кроме того, определим также средние времена и длины, характеризующие проб ную частицу с данной скоростью:

>=	j 1м (и) —^	4яп2 du,	(П.10)
ih ) =	\1 м (и)	4яи2 du,	(П.11)

где /м (и) — функция распределения Максвелла. Здесь мы предпочитаем использовать средние времена, по скольку средние частоты при т /тц -»• 0 стремятся к бес конечности. Этот эффект обусловлен в силу расходимо сти кулоновского поперечного сечения вкладом от очень малых скоростей.

Общий формализм

Разложим функцию распределения по скоростям для

пробной частицы / (v)	по сферическим	гармоникам:
/ (V) =	S (г>/(Ь>) Рг (сO S0),	(П.12)
	i

где cos 0 =(v*u)/vu. Рассмотрим произвольную функ цию s (v), которую также представим через сферические гармоники:

* W = S * / M P j ( c o s 0 ) .

(П.13)

Тогда изменение во времени скорости, усредненной по дан ной функции, обусловленное соударениями с частицами сорта р, определяется следующим выражением:

оо

( ж ) г '4" 2	2 I T T 1 Л ‘ и 1w I Ы * • (П-Н)
I	о

Характерные параметры плазмы

417

Член столкновений Фоккера — Планка в случае цилин дрически симметричных возмущений имеет вид (см. [20]

гл.

<<»/1М =

I (I ■+1) °v "

(ft. <■>/) +

(

d <*>/ \

(П.15)

\ ^

)

Здесь

величины а д,

Ри

Ym. определяются

следующим

образом:

ln A [ т г i

dVl ~~ 2v

Vlf* ^

dVl —

— 3 j

V% (Vi) dv^ ,

(П.16)

P, = ^ l n A

(П.17)

Tb= x

(

)2 ln л [ т

to)dVi+ y2 j

V^U (vi) <to] •

(П.18)

Используя выражение (П.15), из (П.14)

после интегри

рования по частям получаем

( ^ ) ^ = 4 я 2 I T T l D (Z + 1)

“

( y » £

) <»/*] •

(П.19)

Чтобы исследовать задачу пробной частицы, будем счи тать, что распределение / (v) имеет вид

7(v) = S(v—и)	(П.20)
с коэффициентами разложения
(0/ И = - д а - ^ - и ) .	(П.21)

27 —012 9 1

418 Приложение

Подставляя это	выражение	для коэффициентов <г>/ (v)
в (П.19), получаем
(-jr<®(u)>)n= 2	+	Д О -

Определим следующие величины:

Учитывая то, что у2 = тиг!2 0, а ж2 == т ^ /т , в резуль тате находим

+ vsuu

V s £ ] si («)• (п -24)

Из этого уравнения следует, что все релаксационные ча стоты могут быть составлены из четырех характерных частот: частоты vltl, описывающей главным образом эф фекты рассеяния, v2M,, описывающей эффекты изменения величины по модулю, и частот v3(i и v4|l, которые учиты вают поправки за счет движения частиц, взаимодейст вующих при столкновении с пробной частицей.

В соответствии с определениями характерных частот (П. 7), (П. 8) и (П. 9) релаксационные частоты, опреде ляющие изменение направленного движения, рассеяние импульса и изменение энергии, можно записать в виде

— ' ’ i p , + — V 2m, +	V 3(i ,
m\l	(П.25)
%гц = 2vltl,	(П.25)

Характерные параметры плазмы

419

Результаты

Более полная информация о полученных результатах представлена на фиг. 36—39. На фиг. 36 и 37 приведены характерные релаксационные частоты и длины для проб ного электрона, движущегося в электронном газе (или для пробного иона в ионном газе). На фиг. 38 и 39 даны соответствующие величины для электронов, рассеянных протонами. Результаты для релаксации ионов в элек тронном газе здесь не приводятся, так как эти эффекты пренебрежимо малы по сравнению с эффектами рассеяния ионов в ионном газе.

Зависимости, представленные на фиг. 36—39, отно сятся к области значений и vT . Однако на основании

изменения кулоновского поперечного сечения по закону и~4 легко получить соответствующие зависимости и для значений скоростей и > vT .

Можно ожидать, что релаксационные частоты одновре менного взаимодействия с двумя сортами частиц можно получить путем сложения соответствующих результатов, приведенных на фиг. 36 и 37 или на фиг. 38 и 39. Это справедливо только для процессов изменения скорости направленного движения и рассеяния импульса. Что же касается релаксации энергии, то легко видеть, что величина и0, определенная согласно (П.9), не является средней тепловой скоростью и, в частности, зависит от отношения масс т/тц. Это в принципе исключает воз можность сложения результатов для определения харак терной частоты изменения энергии. С другой стороны, время изменения энергии, представленное на фиг. 36, является определяющим, так как соответствующим вкла дом от ионной компоненты можно пренебречь, во всяком случае из-за большой величины отношения масс.

На фиг. 41 показана зависимость скорости и0 от отно шения масс т / т Следует отметить один интересный результат, что скорость и0, для которой нет изменения средней энергии, всегда меньше средней тепловой скоро сти, от которой она заметно отличается даже в случае

т = тц.

Для того чтобы облегчить вычисление релаксационных частот для других физических явлений, отличающихся

27*

Ф и г .	36.	Характерные частоты	Ф и г . 37. Характерные длины %s, kd	Ф и г .	38. Характерные	частоты
изменения		скорости направленного	и %г для электронов со скоростью и	vg, vd и ve для электронов		со ско
движения vs, рассеяния импульса vd			при столкновении с тепловыми элек	ростью	и при столкновении с тепло
и изменения энергии для электронов			тронами с температурой 0 .	выми протонами с температурой 0 .
со скоростью и при столкновении с
тепловыми электронами с температу
		рой 0 .

Ф и г . 39. Характерные длины Х3, Xd	Ф и г .	40.	Зависимость частот		v 11A,
и кг для электронов со скоростью и	v2 n’	v3\|X	и v4(1,	вычисленная	по
при столкновении с тепловыми про-	формулам		(П.23) и (П.24), от скоро
тонами с температурой 0 .	формулам		(П.23) и (П.24), от скоро
тонами с температурой 0 .		сти	пробной	частицы и.
		сти	пробной	частицы и.

Ф и г . 41. Зависимость скорости пробной частицы щ (при которой du.2ldt = 0 ) от отношения масс т/тц.

1 — столкновения с частицами только мас сы т; 2 — столкновения с одинаковым

числом частиц массы т и m .

422	Приложение

Ф и г . 42. Номограмма для вычисления значений некоторых харак терных параметров (Я0 , Л, In Л, а следовательно, и Хс).

Внешние шкалы номограммы непосредственно связывают величины гщ с тем пературой Г = б /И д и го, Юр- и о>р+ с плотностью п.

от тех, которые представлены на фиг. 36—39, на фиг. 40 приведена зависимость четырех частот v1(J,, . . ., v4|i от скорости пробной частицы и от отношения масс. На номо

Характерные параметры плазмы

423

грамме (фиг. 42) и в табл. 3 представлены также соот ветствующие усредненные характерные величины.

Таблица 2

Соотношения между характерными длинами

	rw	Го
Ги>	1	З1 / 3 Л—2/з	з л -1	9/,	1ПЛ
				12	Л2
го	3 - V 3 д 2/з	1	32/з Л_1/з	36/з In Л/2Л4/з

Xq	*/з л	З - 2 / з Л !/з	1	31п Л/2Л
		2 Л 4 /з/3 5/ з 1п л
К	2Л2/9 In Л		2Л/3 In Л		1

Таблица 3

Средние величины для столкновения электронов

Сорт частиц, с кото		< v			<т;> vC
Сорт частиц, с кото					<т;> vC
рыми сталкивается
пробный электрон	i — s	i — d	г = е	i = s i = d		i — 8
	i — s	i — d	г = е	i = s i = d		i — 8
Электроны .................	2,45	2,31	1,84	1,70	1,45	1,24
Протоны.....................	3,75	1 , 8 8	3,44-103	2,26	1,13	2,07-103
Электроны и протоны	1,43	1,03	1,84	0,91	0,63	1,24

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4342 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ