книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

нения электромагнитной энергии в среде, которую можно охарактеризовать комплексной диэлектрической прони­ цаемостью еш(г) со слабой зависимостью от пространст­ венной координаты. Точнее говоря, потребуем, чтобы выполнялось основное условие применимости геометри­ ческой оптики

Здесь L — характерная длина изменения величины е<о (г). Из уравнений Максвелла для сплошной среды

В рамках приближения геометрической оптики мы можем (локально) задать решение в виде плоской волны, распространяющейся в направлении s, и, учитывая усло­ вие (5.1), опустить третий член в выражении (5.3). Тогда

С помощью метода Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) найдем приближенное решение в виде

для электрического поля и соответственно

для магнитного поля. Из этих решений получаем абсо­ лютную величину вектора Пойнтинга

по сравнению с периодами всех колебаний, дающих вклад

406 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц

в выражение (5.7), приводит к формуле

Здесь мы ввели показатель преломления па и коэффи­ циент пространственного поглощения ха:

Рассмотрим теперь волновой пакет, содержащий ча­ стоты (Dj и со2, близкие к со. Тогда можно использовать

и описывает перенос энергии излучения данным волновым пакетом в заданном направлении.

Суперпозиция таких волновых пакетов, распростра­ няющихся в направлениях, близких к s, дает узкий пучок лучей в пределах небольшого телесного угла AQ. При

408 Гл. 6. Взаимодействие электромазн. полей с сист. многих частиц

[Соотношение (5.19) учитывает два возможных направле­ ния поляризации.]

Если в уравнение переноса также включить эффекты рассеяния, то — по аналогии с уравнением Больцмана — можно представить вклад этих процессов рассеяния в виде дополнительного «члена столкновений» в правой части

Здесь аШ' (со, Й' — й) — дифференциальное сечение рас­ сеяния, определяемое формулой (4.27).

5.2. Замечания по поводу граничных условий

Уравнение переноса, рассмотренное выше, следует дополнить граничными условиями. Получение этих гра­ ничных условий — довольно сложная задача. Предполо­ жим, что плазма ограничена объемом V. Тогда распре­ деление полей излучения вне этого объема дает граничные условия для решения уравнения переноса.

Обычно в плазме вблизи границы образуется особый пограничный слой. В таком пограничном слое параметры плазмы меняются настолько сильно, что это исключает возможность описания поля с помощью полученного уравнения переноса. Наличие подобного пограничного слоя и представляет основную проблему при формули­ ровке граничных условий, которая в общем случае до сих пор еще не может быть решена. Однако существуют два случая, которые могут быть рассмотрены и в то же время представляют принципиальный интерес: случай поверхности разрыва и случай нормального падения волны. Если поверхностный слой можно рассматривать как поверхность разрыва, то данная проблема решается тривиальным образом с помощью формул Френеля для отражения волн. В случае же нормального падения волн

щью комплексной диэлектрической проницаемости, урав­

Здесь р и т — коэффициенты отражения и прохождения для амплитуд (но не интенсивностей!) полей.

Чтобы найти решение уравнения (5.21) в интервале значений х [0, а], используем несколько модифицирован­ ный по форме обычный метод медленно меняющейся фазы (см. [11]), в соответствии с которым будем искать решение в виде

Это приводит к дифференциальному уравнению Риккати для ф (х):

Можно ожидать, что величина ф (х) в большинстве случаев мала, поскольку при ф (х) = 0 решение (5.23) переходит в решение, совпадающее с приближением ВКБ. Логарифмическое дифференцирование выражений (5.22) и (5.23) с последующим их приравниванием при х — а дает граничное условие

а при х = 0 — коэффициент отражения

_ < Н 0 ) _ _

(5.26)

н 2к0-ф(0)

Таким образом, рассматриваемая задача будет решена, если с помощью уравнения (5.24) и условия (5.25) мы смо­ жем определить ф (0).

В общем случае найти решение дифференциального уравнения Риккати Э явном виде невозможно, поэтому

ференциальный коэффициент отражения умножается на

слое плазмы.

Конечно, рассмотренное линейное приближение не может учитывать влияние на коэффициент отражения В

Vr

Ф и г . 34. Коэффициент отражения R как функция толщины погра­

эффектов отражения внутри пограничного слоя. Учет многократного отражения требует использования полного выражения (5.27) для ф.

В общем случае оказывается более удобным использо­ вать численные решения дифференциального уравнения

10.Rostoker N ., Rosenbluth M. N., Phys. Fluids, 3, 1 (1960).

11.Geffcken W., Ann. Phys. (Leipzig), 40, 835 (1941).

Дополнительная литература

Bekefi G., Radiation Processes in Plasmas, W iley, New York (1966) (см. перевод: Дж. Бекефи, Радиационные процессы в плазме, изд-во

«Мир», 1971).

Dawson / . , Lecture Notes, Princeton University, Princeton, N. J.,

(см. перевод в сборнике «Физика высокотемпературной плазмы»,

изд-во «Мир», 1972).

Dupree Т. Н„ Phys. Fluids, 6, 1714 (1963).

Dupree Т. Н., Phys. Fluids, 7, 923 (1964).

Birmingham T., Dawson J., Oberman C., Phys. Fluids, 8, 297 (1965).

Bernstein I. B., Trehan S. K., Nucl. Fision, 1, 3 (1961).

Ramsden S. А., в книге Physics of Hot Plasmas (eds. B. J. Rye, J. C. Taylor), Oliver and Boyd, Edinburgh, 1970.

Kofink W„ Ann. Phys. (Leipzig), 1, 119 (1947).

Rawer K., Ann. Phys. (Leipzig), 35, 385 (1939). Margenau H ., Phys. Rev., 109, 6, 1958.