книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf384 Гл. 6.'Взаимодействие злеКтрймазн. полей с сист. многих частиц
Эта формула отличается от дисперсионного соотношения для системы, в которой отсутствуют корреляции частиц, только наличием мнимой части. Коэффициент поглоще ния при этом определяется мнимой частью частоты
|
Im (со±) = |
2 \ Vs |
w|_vc |
(3.91) |
|
|
( 4 ) |
А-2с2 + а)|,_ |
|||
|
|
|
|
||
Однако, |
поскольку |
из формулы (3.90) следует, что |
|||
I |
| ^ |
сор_, то это |
нарушает наше исходное предполо |
||
жение относительно условий применимости уравнения Ландау. Поэтому данный результат представляется недо статочно обоснованным.
§4. УЧЕТ КОЛЛЕКТИВНЫХ ЭФФЕКТОВ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ
ИПРОЦЕССОВ ИЗЛУЧЕНИЯ В ОДНОЧАСТИЧНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ. РАССЕЯНИЕ СВЕТА
В§ 2 настоящей главы процессы, связанные с динами кой частиц и их излучением, рассматривались как коллек тивные эффекты. В этом приближении тензор диэлектри ческой проницаемости описывает когерентные эффекты реакции системы на воздействие электромагнитных волн,
асама система рассматривается в виде некоторой непре рывно распределенной среды.
В§ 3 тот же метод описания с позиций коллективных эф
фектов использовался для электронов и динамики их движе ния и излучения. Однако ионы при этом рассматривались
ввиде совокупности отдельных частиц, причем учитыва лись корреляции электронов, связанные с распределением ионов.
Данный параграф отличается от предыдущих глав ным образом тем, что излучение, обусловленное элек тронами, будет описываться как одночастичный процесс (по сравнению с которым излучение от ионов является пренебрежимо малым). Это позволит нам учесть процессы рассеяния света. Динамика же частиц в тех случаях, когда это потребуется, будет учитываться лишь через коллективные эффекты. Вследствие этого обсуждавшееся
впредыдущем разделе тормозное излучение окажется вне рамок рассмотрения данного параграфа.
388 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Тогда, используя формулу (4.11), перепишем выражение
(4.15) в виде
в _ Ро |
е2 |
Ер XX |
|
|
4пс |
m_ |
х2 |
|
|
|
|
Х е х р |г к - х '^ — ^-) — г (г — |
со°} . |
(4.17) |
(Следует |
заметить, что здесь величина t |
— х/с |
является |
|
аргументом функции х'.) |
|
|
||
Отсюда видно, что в рамках рассматриваемого прибли жения амплитудный множитель не содержит каких-либо поправок первого порядка, зависящих от координаты электрона. Однако такие поправки входят в фазовый множитель, играющий основную роль в явлениях интер ференции.
Очевидно, что волновой вектор к состоит из двух рав ных по величине векторов, угол между направлениями которых образует угол рассеяния тЕКАбсолютная величина
волнового вектора равна |
|
| к | = 2-^р- sin -j - . |
(4.18) |
Само собой разумеется, что в формулу (4.17) следует под ставить траекторию пробного электрона и'(t) с учетом воздействия электромагнитной волны и микроскопических полей среды.
При простой траектории пробной частицы смысл выра жения (4.17) довольно прозрачен и легко интерпрети руется. Если, например, пробная частица представляет собой свободный электрон, движущийся с постоянной ско ростью v, то по характеру экспоненциального множителя в выражении (4.17) нетрудно увидеть, что в этом случае магнитное поле совпадает с полем дипольного излучения со смещенным значением частоты со0 — k *v. Это смещение частоты можно интерпретировать как результат двух эффектов. Согласно разложению волнового вектора (4.16), один эффект связан с движением пробной частицы отно сительно электромагнитной волны, а другой — с движе нием пробной частицы (как источника излучения) относи тельно точки наблюдения. Оба упомянутых эффекта дают соответствующие допплеровские сдвиги.
§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц |
389 |
Если же траектория пробной частицы вследствие на личия флуктуирующего электрического микрополя более сложна, то в этом случае следует ожидать появления не только смещения частоты, но и дисперсии. Кроме того, имеющееся различие в скоростях частиц рассматриваемой плазмы, конечно, приводит к разбросу частот по целому спектру.
Из принципа суперпозиции для электромагнитных волн следует, что величину магнитного поля, создавае мого всеми электронами плазмы, можно получить простым суммированием выражений (4.17) по всем частицам:
в _ Ро «2 |
Е0Х х |
4яс т_ |
х% |
X 2 |
ехР { ik *xi (* — т ) ~ ' ( * ~ т ) со°} ' (4Л9) |
з |
|
Обратимся теперь к анализу частот рассеянных волн.
В этой связи воспользуемся формулой (5.2.46), кото рая гласит, что излучаемая в единичном интервале частот энергия, приходящаяся на единицу площади, равна х)
Sa = Еи X Щ = J - Ёшх В5, |
(4.20) |
Ро
откуда, с учетом формулы (4.10), получаем
Чтобы приблизить результат к потребностям физического эксперимента, следует усреднить выражение (4.21) по ансамблю. Это дает
<8»> = 5ГТ <Й»-®&>- |
(4-22) |
И-о х |
|
Выразим, как это принято в литературе, произведение спектральных функций В в формуле (4.22) через автокор реляционную функцию величины В. Для случая стацио нарной системы это можно сделать в самом общем виде.
J) Заметим, что, поскольку мы не использовали представление полного решения в виде комбинации гармоник с положительными и отрицательными частотами, в данном выражении следует опустить множитель, равный 2,
390 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
Пусть В (t) является функцией статистических пара метров рассматриваемой системы. Тогда мы можем опре делить автокорреляционную функцию (во времени) как среднее по ансамблю:
Р(т) =< В (* + т).В(<)>. |
(4.23) |
Поскольку мы рассматриваем стационарную задачу, автокорреляционная функция не зависит от времени t. Поэтому выражение (4.23) можно переписать в виде
Т / 2
Р(т) = 4 " j (В(* + т)-В(*))сЙ =
-Т/2
Т /2
= ~ J < В (0 -В [-(т-*)]> Л . (4.24)
- Т / 2
Используя формулу (4.24), будем рассматривать предель ный случай Т -*■ сю. Применим теперь теорему о свертке
и найдем фурье-образ Р (со) от функции р (т). Напомним, что если / (со) является фурье-образом от функции / (т),
то / ( — со) представляет |
собой фурье-образ |
от |
/ ( —т). |
Кроме того, для действительной функции / |
(т) |
должно |
|
иметь место соотношение |
/ ( —со) = /* (со). В результате |
||
мы получаем |
|
|
|
Р (со) = -Цг— <В (со) «В* (со)). |
|
(4.25) |
|
Подставив полученный результат в выражение (4.22), найдем
+°° |
|
(Sm) = ^ - = ^ 7 i J ^ ( B r (^ + T).Br (i))dT. |
(4.26) |
—оо
Здесь индексом г обозначена действительная часть В.
Величина (Sa) равна интенсивности рассеянных волн, излучаемых единичным объемом в единичном интервале частот при данном значении со за единицу времени. Та ким образом, выражение (4.26) представляет собой фор мулу Винера — Хинчина,
§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц |
391 |
Если дифференциальное сечение рассеяния аш опре делить с помощью соотношения
(4.27)
то, подставив в это соотношение формулу (4.26) и выра жение для действительной части поля из (4.19), получим
(4.28)
(Здесь, поскольку мы рассматриваем стационарные про цессы, можно опустить член х/с, характеризующий вре менной сдвиг.)
Применим в (4.28) правило сложения для тригономе трических функций, тогда
cos [к • x'j (t + т) — со0 (t + т)] cos [к • х[ (t) — ю0<] =
= у cos (к • [х) (t + т) 4- X; (t)] — со0 (21+ т)} +
+ у cos {к• [х3- (£ + т) — х; (£)] — со0т}. (4.29)
Усреднение по ансамблю приводит к обращению в нуль первого из двух членов в правой части соотношения (4.29), поскольку вероятность любого состояния однородной системы не должна зависеть от смещения координат всех частиц на один и тот же вектор #. Отсюда следует, что
Полученный результат может быть использован в каче стве исходной формулы для вычислеция интенсивности излучения рассеянных волн.
Прежде чем перейти к конкретным вычислениям, свя жем результат (4.30) с плотностью частиц, как это обычно
392 Гл. 6. Взаимодействие электромазн. полей с сист. многих частиц
делается в литературе по данному вопросу и в некото рых случаях может оказаться полезным. Рассмотрим с этой целью микроскопическую плотность частиц
п- (х\ 0 = 2 б [х' —ХН01- |
(4.31) |
Суммирование здесь проводится по всем частицам, заклю ченным в единице объема. Преобразование Фурье от
(х', t) по пространственной координате дает
(к, t) — (2я) 8/* 2 |
ехР (— £к«х)(£)), |
(4.32) |
|
откуда получаем |
|
|
|
(n_ (k, t -f-т) гс* (к, t) e+ia>ot) — |
|
|
|
= (2я)_3 2 |
(cos {к •[х/ (t + T) — x[ (<)] — ю0т}) — |
|
|
— i (2я) 3 S |
<sin {к * |
-f- х) — х/ (£)] —- coqt:}). |
(4.33) |
Первый член в правой части соотношения (4.33) пред ставляет собой четную, а второй — нечетную функции т. Это можно установить с помощью формального соотно шения
М (t; —т) = М (t -j- т ;—т) = ± М (£; т), |
(4.34) |
которое вытекает из рассмотрения аргументов тригоно метрических функций в (4.33), при учете независимости операции усреднения по ансамблю от времени и переста новки индексов суммирования.
Перепишем теперь формулу (4.30) в виде
х [ е г(ш -ш о)т_[_е г(и + а)о)т] ^ т _ |
( 4 . 3 5 ) |
С помощью соотношений (4.23) и (4.25) мы можем теперь преобразовать формулу для ашк следующему выражению:
/ |
е2 |
\ 2-/ Е0 х х \ 2 2л2 |
V4яе0т_с2 / \ Е0х ) Т |
||
|
X К | |
(к, (о — со0) |2> + ( I п. (к, со9 + со)/ 2)|. (4.36) |
§ 4. Учет коллективных эффектов движения частиц |
393 |
Это и есть искомый результат для дифференциального сече ния рассеяния, выраженный через флуктуации плотности частиц. Отметим то обстоятельство, что автокорреляцион
ные функции (| n_(k, со + соо) | 2) зависят от волнового вектора к = к0 — со0х/сх [см. (4.16)].
Из выражения (4.36) следует, что, если плотность элек тронов п_ постоянна, рассеяние в среде отсутствует, по скольку в таком случае мы имеем
и_ (к, со ± со0) = (2л)2 б (к) б (со + со0) = = (2л)2б (к 0— ^ ) б ( с о + со0). (4.37)
Это означает, что электромагнитные волны излучаются лишь в направлении волнового вектора падающей волны и на той же частоте.
Итак, мы видим, что рассеяние волн обусловлено только флуктуациями. Нетрудно убедиться из формул (4.36) и (4.16), что флуктуации плотности с волновым вектором kj на частоте Гоу дают вклад в рассеяние только тех волн, частоты и волновые векторы которых удовле творяют условию
к° = к' + - ^ ’ где ®0 = |*> + Ы |
(4.38) |
Так же как при рассмотрении комбинационного рассеяния, эти два условия, если их умножить на постоянную План ка, можно интерпретировать как законы сохранения импульса и энергии соответственно для системы световых квантов и плазмонов. [В действительности, однако, со гласно закону сохранения импульса, вместо а»0 в правой части первого соотношения (4.38) должно было бы стоять со. Это отличие связано с тем, что мы пренебрегали чле
нами порядка хх'/сЪ.] Обычно флуктуации плотности имеют частоты, мень
шие или почти равные плазменной частоте. Поскольку, согласно исходному допущению, ю0 Э* wpo> вряд ли можно ожидать, что спектр флуктуаций может дать суще ственный вклад в рассеяние на частотах a>f > (о0. По этому нетрудно заключить, что при положительных зна чениях частоты можно пренебречь вторым членом в квад