374 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с систп. многих частиц
Зависимость, приведенная на фиг. 27, оправдывает при менимость асимптотической формулы (3.37) вплоть до частоты со » сор_. Подстановка соответствующего выра жения для / (со) в (3.43) приводит к следующему соотно шению для коэффициента поглощения продольных волн:
с- > 4
, (3.45)
2 In Л
или к соотношению
(3.46)
Полученный результат вполне закономерен, поскольку время между столкновениями тс есть время релаксации
возмущений, создаваемых в плазме. Вследствие сохране ния импульса при электрон-электронных взаимодейст виях они не могут давать вклада в механизм релаксации возмущений. Поэтому постоянная затухания продоль ных волн практически равна величине, обратной времени релаксации процессов при электрон-ионном взаимодей ствии.
Не удивительно, что в области больших длин волн затухание Ландау не проявляется. Дело в том, что в этой области длин волн мы пренебрегли «диффузионным чле ном» в уравнении (3.29), который в основном и отвечает за эффект затухания.
Для коэффициента поглощения поперечных волн имеем
|
/ 2 \ 1/г «р- |
In [о)р_Л/со] |
с-1» 4 -I |
(3.47) |
|
2 In [(Юр_Л)/ш] _ |
|
а ± "" \ 27я ) м2 |
Л |
|
|
Поскольку мы интересуемся в общем областью плотно стей плазмы, достаточно низких по сравнению с критиче ской плотностью, должно выполняться условие In Л 1. Поэтому
Таким образом, при рассмотрении электромагнитных волн в плазме, где в первую очередь интересны области
§ 3. |
Решения |
с учетом электрон-ионных корреляций 375 |
и > с и |
со >• сор_, |
затухание поперечных мод колебаний |
меньше затухания продольных мод. Из дальнейшего будет ясно, что этот эффект зависит от частоты, причем физиче ское происхождение такой зависимости уже объясня лось при обсуждении выражения для удельного сопро тивления.
Теперь, получив необходимое представление о коэф фициенте поглощения, вернемся к исследованию вопроса о коэффициенте излучения. При этом мы будем интере соваться главным образом поперечными волнами.
В соответствии с законом Кирхгофа мощность, излу чаемая из единицы объема, связана с произведением плотности энергии на коэффициент поглощения. Это соотношение базируется на принципе детального равно весия для каждой моды колебаний. Кроме того, оно может быть получено исходя из флуктуационно-диссипацион- ной теоремы.
Таким образом, при вычислении коэффициента излу чения используем выражения для ocj и плотности энер
гии |
поперечных мод колебаний. Чтобы найти выражение |
для |
плотности, рассмотрим |
число поперечных |
мод dnk |
в интервале {к, к + |
dk), приходящееся на единицу объема. |
Оно определяется |
формулой |
|
|
|
|
dnh = |
л -Wdk. |
(3.49) |
(Здесь к — возможные значения волновых векторов в ку бическом элементе объема V = L3, образующие в про странстве k-векторов решетку с постоянной 2n/L. Попе речные волны имеют два направления поляризации.)
Плотность распределения поперечных мод, приходя щаяся на единичный интервал частот, описывается фор мулой
<3-50>
в которой следует учитывать дисперсионное соотношение для поперечных волн
Поправки к данному дисперсионному соотношению, свя занные с эффектами поглощения, имеют порядок сот0.
376 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полейссист. многихчастиц
Чтобы найти плотность энергии, приходящейся на единицу объема и единичный интервал угловой частоты, нужно приписать каждой моде колебаний некоторое опре деленное значение энергии. Допустим, что для плазмы, близкой к равновесию, эта энергия равна 0. Грубым обос нованием такого допущения могут служить следующие соображения.
Рассмотрим равновесную плазму, заключенную в ящик большого объема. Чтобы избежать существенного отраже ния энергии для лучей, проникающих в плазму, будем считать, что пограничный слой плазмы, с одной стороны, достаточно размыт. G другой стороны, пусть этот слой представляет собой резкую границу раздела, чтобы были справедливы законы преломления Снелля. Тогда очевидно, что ширина падающего перпендикулярно поверхности плазмы луча, описываемая в вакууме телесным углом dQv, будет внутри плазмы изменяться и описываться телесным углом dQp. При этом в соответствии с зако ном дифракции имеем
d Q p |
d Q y |
(3.52) |
и2 |
|
с2 |
|
|
Таким образом, выполняется соотношение |
|
fcj dQv — k2 dQp, |
(3.53) |
где k и k0 = со/с —волновые |
числа для волн в |
плазме |
и вакууме. Непрерывность потока энергии на границе можно в этом случае записать в виде равенства
dQv%y с — dQpMpiig. |
(3.54) |
Здесь %у ж %р — плотности энергии, |
приходящейся на |
единицу объема и единичный интервал частот, в вакууме
и йлазме, а величина |
ug — групповая скорость |
волн |
в плазме. Поделив равенство (3.54) |
на (3.55), получим |
%уС |
‘SpUg |
|
(3.55) |
k* |
~ fc2 |
|
|
|
Отсюда, учитывая тривиальное соотношение |
|
Ugdk — с dk0, |
|
(3.56) |
найдем, что |
|
|
|
§ 3. |
Решения с |
учетом |
электрон-ионных |
корреляций |
Ъ11 |
Величина |
к2 dk |
по |
существу определяет |
число мод |
nh |
в интервале волновых чисел (к, к + dk). |
|
|
Таким образом, из равенства (3.57) следует, что в рам |
ках принятых |
допущений |
энергия, приходящаяся |
на |
одну моду колебаний, одна и та же в плазме и вакууме и для каждой моды с заданным направлением поляри зации равна 0.
Из (3.57) с помощью формулы (3.51) найдем выраже ние для плотности энергии излучения, приходящейся на
единичный интервал частот, |
|
|
|
m2 / |
(0|_ \ 1/» |
|
|
M » ) = e i £ r ( i — |
w ) |
■ |
(3-58> |
Теперь, используя закон Кирхгофа, получим формулу для коэффициента излучения через произведение плот
|
ности энергии (3.58) на коэффициент поглощения: |
|
|
/ Н = ^ з - ( 1- - 5 ~ ) 1/2< |
(й1т |
|
|
|
1 |
СОр_0 / |
м£_ V1/2 |
(3.59) |
|
7 |
“ ~ |
) |
|
|
Найденный коэффициент излучения определяет интен сивность тормозного излучения, обусловленного элек- трон-ионными взаимодействиями при учете коллектив ных эффектов. Электрон-электронными взаимодействиями здесь пренебрегается. Это вполне оправдано, так как известно, что в рамках дипольного приближения элек тронные корреляции не дают вклада в тормозное излу чение.
3.2. Описание процессов с помощью уравнения Фоккера —Планка
Применимость рассматриваемого метода ограничена областью частот и скоростей
(О< (ор_, и vT.
Хорошо известно, что в системах с дальнодействующими силами эффект накопления большого числа малых откло нений, обусловленных дальними столкновениями, более
378 Гл. 6 . Взаимодействие электромат. полейссист. многихчастиц
важен, чем влияние нескольких столкновений, приводя щих к большим отклонениям. Этот эффект от дальних столкновений можно учесть с помощью интеграла столк
новений Ландау, |
применимость |
которого в соответствии |
с разд. 1.3 гл. 4 |
определяется |
неравенствами со < юр_, |
In А > 1. Уравнение первого порядка цепочки ББГКИ, включающее корреляционный член, записанный в форме Ландау [см. формулы (1.74) и (1.77) в гл. 4], в случае многокомпонентной плазмы имеет вид
3 /1 Р . |
d f< P |
d t ^ |
д г |
/( /:1>1 /Л =
е |
Е . |
а/11’ |
2 7 (/-’1/ П |
т_ |
д \ |
|
, _а_ Г g^ ~ gv) (gv / |
df - } |
m_/“ >df<v |
(3.60) |
|
v д\ ' J |
4 ' vv av |
m v d \ v |
|
|
|
|
e*(m_ + wv) , r 4ne0w_wv (4)A,D-i |
|
|
|
16jte§mlmv |
n L |
e2 (m_-)-mv) J |
|
Здесь в интеграле столкновений использованы обозна
чения, принятые в § 2 гл. 4. |
суммирование |
Содержащееся в данном уравнении |
по v распространяется на электроны и |
ионы. Величи |
ной gv = (v — vv) обозначена относительная скорость. Используемая нами для изучения «области низких
частот» физическая модель не отличается от использо вавшейся в предыдущем разделе модели для «области вы соких частот». Поэтому приведенные на стр. 363 предпо ложения (1) — (4) здесь сохраняют свою силу, с той лишь разницей, что вместо упомянутого в пункте (4) уравнения Власова мы используем теперь уравнение Фоккера — Планка, а вместо ранее рассмотренной области частот исследуем область частот со < сор_. Кроме того, в качестве функции распределения нулевого порядка ис пользуем распределение Максвелла в лабораторной си стеме координат.
Линеаризуем уравнение (3.60) [см. (2.15) и (2.17)], положив
(3.61)
§ 3. Решения с учетом электрон-ионных корреляций 379
Это приводит к разбиению интеграла столкновений на сла гаемые
/(/o -|/o -)+ /(/o -|/o +)+ /(/o -|/i-) +
+ / ( / 1_|/о-) + / ( / 1_ |/0+). (3.62)
Первые два члена определяют функцию распределения нулевого порядка и вследствие предположения о том, что / 0 —максвелловская функция распределения, обра щаются в нуль. Следующие два члена описывают влияние электрон-электронных столкновений на возмущение и в дипольном приближении не дают никакого вклада. По этому нас будет интересовать лишь последний член.
Левая часть уравнения (3.60) линеаризуется обычным способом.
Предположение (2) позволяет упростить интеграл
столкновений с |
ионами: |
|
|
|
|
I (fi- 1/о+) = |
^ |
- |
V)(V |
dh_ |
j fo+dv', |
Г+ d v |
|
v3 |
dv |
г+= |
|
/ 4ле0т_ (у*) Х р |
(3.63) |
|
)• |
16яе$лг! |
\ |
е2 |
|
|
|
Интегрирование по v' в результате дает ионную плот ность п+. Уравнение (3.60) с линеаризованной левой частью принимает вид
|
a/i_ _ |
_еЕ_ _э/о- у |
д |
j 1 v><v |
a/t_ |
(3.64) |
|
dt |
m_ ’ d\ |
+ + dv |
v3 |
dv |
|
|
Здесь вследствие ограничения, налагаемого на фазовую скорость сверху, мы опять опустили диффузионный член v-d/jJdr. Функция /о_ есть распределение Максвелла
/о- = |
п- ( ж ) |
3/2ехр ( - ^ Ж - ) |
• |
(3*65) |
Если ввести безразмерную |
переменную |
|
|
|
U = v |
( ^ ) Va, |
|
(3.66) |
то кинетическое уравнение преобразуется к виду |
|
dfi- ,( е 2 \ V * F |
ш - ( т - \ 3/гГ п д |
t/2? ~ |
U ) (dflU - |
380 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полейссист. многихчастиц
В правой части этого уравнения член столкновений запи сан в виде произведения безразмерного выражения типа дивергенции, представляющего диффузию в пространстве скоростей, на частоту столкновений
Будем искать решение уравнения (3.67) в виде
Б = E0e~i<ot, /j_ = Е0■VA (U) е~ш = /±_е- ш . (3.69)
Подстановка этих выражений в (3.67) приводит к урав нению
_ toU.ED+ (;i L ) 1,- U . E „ ^ =
< з - ™ >
Здесь мы воспользовались особым свойством тензора IPI — U)(U, состоящим в том, что он проецирует любой
2
вектор на плоскость, перпендикулярную U. Вследствие этого оказывается возможным вынести
скалярные величины IP, А (U) из-под дифференциаль ного оператора, определяющего диффузию. Используя равенство
|
• (Uzl — U)(U) = 2U — 3U — U = — 2U, |
(3.71) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ > - - Ч ^ Г |
М |
“ + ж Г ‘ - |
<3-72> |
Теперь мы можем найти плотность тока |
|
Гш— — е [ |
|
— е |
j UA (E/)E„-UdU = |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
= |
— l T e ( l ^ Y |
J |
U 'AW dU Eo. |
(3.73) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
Подставляя |
в эту |
формулу |
выражения |
(3.72) и |
(3.65) |
и учитывая |
определение проводимости о, получаем |
|
|
|
2 \Va |
|
|
|
Р dU |
(3.74) |
°<“ > = т ( 4 ) |
- ‘Т |
Р |
§ 3. Решения с учетом элеюпрон-иоиных корреляций 381
На фиг. 29 и 30 приведены частотные зависимости для действительной и мнимой частей удельного сопротивле ния р = 1/а, вычисленные по формуле (3.74).
Ф и г. 29. Удельное сопро тивление плазмы Re [р (со)) в области частот со < сор_, нор мированное на величину v c /e 0cop _ .
Штриховая кривая (область боль ших частот) соответствует низко частотному пределу зависимости, показанной на фиг. 27.
Ф и г . 30. Реактанс 1ш [р (со)] в области частот со <( сор_ (в тех же единицах, что и на фиг. 29).
Зная выражение для а (3.74), из решения дисперсион ного уравнения
Ч " Т ' - ' ( 1+ т ё г ) ] = - 0 |
,3.75) |
мы можем определить коэффициент поглощения.
Частота продольных волн, полученная из этого урав нения, равна
|
|
|
|
|
|
|
(3-76) |
или, учитывая (3.74), |
|
|
|
|
|
0)|| |
1 |
/JL )1/2 |
со;р- |
(74ехр (—(72/2) |
dU. |
(3.77) |
3 |
\ л ) |
1 |
соц + ivc/i73 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
382 Гл. б. Взаимодействие электроламп, полей ccutm. многих частиц
Соответственно частота поперечных волн определяется выражением
= |
ico I а |
|
|
(3.78) |
|
|
|
или после подстановки (3.74) выражением |
|
|
|
coj_ = k2c2+ —■ |
Ui exp (—U2/2) |
dU. |
|
(3.79) |
1 + ivc/(Oj^t/3 |
|
Коэффициент поглощения |
выражается, как обычно, |
удвоенной мнимой частью о» с отрицательным знаком. |
Для асимптотических |
случаев |
со |
vc, |
со |
vc |
(со, vc <^(ор_) все вычисления можно провести в аналитиче ской форме. При анализе этих случаев используем для
краткости |
следующее обозначение: |
|
|
|
|
СЮ |
|
|
|
|
( ( т — 1) («г — 3) . . . 1 для четных |
т , |
(3.80) |
■—) |
/ О \ 1/2 |
( т — 1 ) ( т — 3) . . . |
2 длянечетных |
т. |
| |
( — ) |
Случай со <<с( vc. Проводимость а |
имеет |
вид |
|
Это выражение при со =0 приводит по существу к обычному соотношению для подвижности электронов, обусловлен ной эффектом близких соударений и определяемой фор мулой ц_ = а (со = 0)/ен_, т. е.
|
|
|
<3-82> |
Здесь (А,) — эффективная длина свободного |
пробега, а |
vT — тепловая |
скорость |
электрона. |
|
Для частоты продольных волн мы имеем |
|
|
|
ш|_С7ус |
(3.83) |
|
|
3v? + С10со|_' |
|
|
|
Поскольку vc |
сор_, можно приближенно записать |
|
СОЦ |
iaiL |
(3.84) |
|
|
2 ’ |
|
§ 3. Решения с учетом электрон-ионных |
корреляций |
383 |
откуда видно, что соц |
— чисто мнимая величина, |
a vc ха- |
рактеризует |
время |
релаксации |
возмущений, |
равное |
2/ct11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота поперечных волн определится формулой |
|
|
|
|
CDn_C0 I |
/ |
|
(ОI |
\ |
(3.85) |
Сo2± = k2c2— i — ^ ( C |
7 + i ^ C |
10) . |
В результате для |
мнимой частоты со± получим |
|
|
|
Im(<oJ = |
■1 |
со?,_ |
|
а I |
|
|
|
|
— |
|
|
----- (3.86) |
|
|
Напомним, |
что по предположению a>pJ \ c |
= In А/A |
1. |
Отсюда видим, что |
найденное решение не удовлетворяет |
нашему первоначальному |
требованию, |
согласно которому |
со vc. Поэтому |
можно |
заключить, |
что |
для описания |
рассматриваемого круга явлений уравнение Ландау ока
зывается непригодным. |
|
здесь |
записывается |
Случай со |
vc. Проводимость а |
в виде |
|
|
|
|
1 . со* |
( c . - ‘ -S -c .) = |
|
|
а = 3 ге° СО |
|
|
|
1 / 2 \ 1/2 |
СОр_ |
|
(3.87) |
|
= t ( i г ) |
Ро-^ - Vc -f- 1Ео |
В пределе, когда vc/co |
0, это выражение приводит к про |
водимости, определяемой свободными электронами. |
Частота продольных волн в рассматриваемом случае |
есть |
|
/ _2_ \ !/з JVg_ |
|
|
cof| = со |
(3.88) |
|
I Я / |
со,, )• |
|
|
|
Если частота столкновений vc -> 0, то это дисперсионное уравнение дает для рассматриваемой системы при vT
<^ со/к решение coj) = С0р_.
Мнимая часть соц определяет коэффициент поглоще ния, обусловленного затуханием за счет столкновений:
Im (соц) = — т ( т ) /2vc= • (3‘89)
Частота поперечных волн в данном случае равна
