книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf364Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц
3.Магнитное взаимодействие частиц пренебрежимо мало, поскольку оно по порядку величины в c2/v2 раз меньше величины взаимодействия, определяемого элек трическим полем.
4.Движение электронов достаточно хорошо описы вается уравнением Власова. Поэтому на рассматриваемые частоты налагается требование
.V |
2 л |
In Л |
.г, . I |
® |
|
’ |
(З Л ) |
где те — время между |
столкновениями. |
|
|
В дипольном приближении электрон-электронные кор реляции не дают вклада ни в проводимость, ни в эффекты поглощения или излучения. В системе координат, свя занной с колебательным движением свободных электронов во внешнем поле, функцию распределения электронов в нулевом порядке можно рассматривать как максвел ловскую. Таким образом, вообще говоря, в данном рас смотрении электрон-электронными корреляциями пренебрегается лишь до тех пор, пока они не нужны, чтобы оправдать предположение о максвелловском распределе нии электронов.
Запишем уравнения Власова для электронов (т_ —
— т, е_ — — е)
3 / 1 1 ’ , |
д1<У |
ду |
О, |
(3.2) |
д% ^ |
дт |
|||
АФ = |
8"1(е j / ? > d v - * 2 6 ( r - r , ) ) . |
|
(3.3) |
|
з
Здесь через гj обозначены координаты ионов. Преобразуем теперь эти уравнения, перейдя к системе
координат, которая осциллирует синхронно с движением свободных электронов во внешнем электрическом поле. Соотношения, определяющие преобразование координат, имеют вид
R = r -----~ Е 0е~ш , |
V = v + — |
Е0е -’“‘. |
(3.4) |
т о ) 2 и |
таз |
1 |
' |
Соответственно соотношения для преобразования произ водных запишутся следующим образом:
§ 3. Решения с учетом электрон-ионных корреляций 365
( л ) г ,1 - ( е т ) в , г
(3,5)
a i M - k l ,
В результате уравнения Власова преобразуются к системе
|
|
<5/1 |
a / i 11 |
, |
е |
<5Ф |
а /! 11 |
= 0, |
||||||
|
|
|
dt |
|
aR |
|
т |
aR |
|
a v |
(3.6) |
|||
|
АФ = |
е~хе [ j /I1' d\ - |
2 |
б (R— %е~ш - |
||||||||||
|
г/)] . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь использована сокращенная запись |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 = |
|
|
|
Е„. |
|
|
|
(3.7) |
||
Линеаризация уравнений |
(3.6) сводит эту систему к виду |
|||||||||||||
[см. (2.15) |
и (2.17)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
df1- |
V- |
a/j_ |
|
|
е |
a<x>! |
а /0_ |
= 0, |
||||
|
|
dt |
|
aR |
|
|
|
aR |
|
av |
|
|||
Aa>1= -k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
|
'+ J A- |
|
2 |
6 (R - |
|
6e_to< -*>)]■ |
|||||||||
Предполагается, |
|
что |
|
|
3 |
|
/0_ |
имеет вид |
||||||
|
функция |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
п_ |
|
|
|
I |
|
V* |
|
|
(3.9) |
|
|
|
|
(2я)3/27у |
6ХР ^ |
|
2Vi |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где Fr —среднеквадратичная |
скорость |
|
электронов. |
|||||||||||
Применим теперь к уравнениям (3.8) преобразование |
||||||||||||||
Фурье |
по пространству R: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ah- |
|
■ ik• V/i_+ * ~ |
®ik • -щ - =0, |
|||||||||
|
|
dt |
|
|
'* |
' |
|
т |
|
|
|
|
|
|
*2Ф1 = |
— ^ |
{ (2я)3/2 и_6 (к) + |
|
|
|
|
|
|
(З.Ю) |
|||||
+ [ |
dV — (2я)_3/а 2 |
ехр [ — гк• (%e~ш + г,)] } . |
||||||||||||
з
(Вследствие предположения о нейтральности невозму щенной плазмы первый и третий члены в преобразованном
§ 3. Решения 6 учетом элёктрон-ионных корреляций |
36? |
Отсюда сразу получаем
оо
Ф 1 = — ft»p_ j exp [ |
—j |
( F t A:t) 2J |
(t — x) d t + |
|
o |
|
|
|
|
+ (2я)"3/2( |
^ ) |
2 ex p [ - ik .( le - ‘“‘+ rj)]. |
(3.17) |
|
|
|
i |
|
|
Строгое определение проводимости существует лишь для предельного случая Е 0 -*■ 0, т. е. для | ->■ 0. Это позволяет разложить последний член в правой части выражения
(3.17):
2 exp [—ik‘(%e~iat + г;)] =
7 |
|
= (1 — ik.-\e~m ) 2 exp (— гк-r,). |
(3.18) |
i |
|
(Вообще говоря, правомерность такого приближения нуж дается в доказательстве, так как вследствие сингулярно стей, возникающих в ионных членах, оказывается суще ственным вклад от очень больших значений к . Детальное исследование данного вопроса показывает, что предполо жение Ik < 1 дает правильные результаты в низших поряд
ках разложения по |
справедливые для |
любых зна |
чений к . ) |
(3.18) состоит из |
постоянной |
Поскольку выражение |
и переменной по времени части, предположим для функ ции Ф4 аналогичное представление в виде Ф* = Фс +
+ Ф/ш (0- Подстановка этого выражения в (3.17) |
приво |
|||
дит к выражению для постоянного слагаемого в виде |
||||
Фс= |
е |
2 exp (— ik-rj). |
(3.19) |
|
(2я)3/2е0 (fc2 + £0|,_/F|) |
||||
3 |
|
|||
|
|
|
||
Из структуры уравнения (3.17) также очевидно, что функ
ция Фйш = С exp ( ~ ia t) должна удовлетворять осцил лирующей части этого уравнения. Используя это обстоя тельство, найдем
k'l е - ш 2 ехр(— г'к-Г;), (3.20)
Ф*ш (2л)3/2 г 0к2 Ако
370 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих Частиц
Дифференцируя его по времени и используя уравнение Власова, получаем
W = e W - J v) ( |
v |
ф 1) X |
|
х |
j ^ ) ( vdv- (3-29) |
В соответствии с предположением (1) здесь можно прене бречь первым членом в правой части. Тогда интегрирова ние по частям оставшихся членов дает
3j |
е2 |
аф4 |
\ |
(3.30) |
-rf = П- — |
dr |
j* |
||
dt |
т |
|
||
Усредняя по всем возможным ионным конфигурациям, как это было сделано при выводе формулы (3.27), полу чаем
^ = » - - £ ( Е0е - “Ч ( Е » . |
(3.31) |
Вспомним теперь, что коэффициент электропроводно сти а (со) связывает электрическое поле и плотность тока
j (со) = о (со) Е0 (со). |
(3.32) |
Сравнивая это соотношение с преобразованием Фурье уравнения (3.31), получим выражение для комплексной проводимости
ст = |
г'е° |
f1 — 7 И ) ’ |
(3-33) |
где |
|
|
|
Ь |
|
|
|
"мако |
|
|
|
1 № = 6я2е0тш2 | |
( |
к2+ ш2_/F^, ~ №Aka> ) к* d k |
(3 -34) |
— малая в рассматриваемой области частот величина по
рядка 1/(ОТс.
Удельное сопротивление плазмы описывается соотно шением
р = т = - г й т 1 1+ / М1- |
<3-35> |
В предельных случаях, когда со/сор_ <С 1 или соответствен но (о/(ор_ 1, величина р (3.35) может быть вычислена
372 Гл. 6. Взаимодействие электромазн. полей с сист. многих частиц
следует из формулы (3.36). Сравнение данных резуль татов с результатами, которые мы получим в следующем параграфе для низких частот со сор_, показывает, что на верхнем пределе частот они совпадают. Это вполне
понятно, |
так как |
наши результаты верны и в области |
|
1/тс < |
со |
< ш р_. |
|
Приведенная функциональная зависимость обнаружи |
|||
вает |
небольшое |
возрастание удельного сопротивления |
|
на частотах чуть |
выше плазменной. Даусон и Оберман |
||
Ф и г . 28. Реактанс плазмы 1ш [р (ш)] в области частот |
ы > vc |
(в тех же единицах, что и величина Re [р (со)] на фиг. 27) |
[6]. |
В приведенном графике ив величины Im [р (со)] вычитается реактанс свобод ных электронов—ш/еоИр-.
показали, что это возрастание связано с возбуждением продольных плазменных колебаний. Убывание удельного сопротивления в области высоких частот можно объяснить уменьшением эффективного поперечного сечения столкно вений: столкновения с большими значениями прицельного параметра представляют собой медленный процесс и не дают вклада в высокочастотные поля. Таким образом, максимальное эффективное значение прицельного пара метра составляет величину порядка VT/ со.
Формула (3.37) и соответствующая ей зависимость на фиг. 28 показывают, что изменение реактанса можно рас-