книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

356 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц

При выполнении условия (2.64) дисперсионное соотно­ шение для электромагнитных волн может быть записано в виде

Чтобы решить это уравнение, следует сначала записать интегралы Сп , С22 и С12 следующим образом:

и мнимую части в дисперсионном соотношении и из полу­ ченной системы уравнений определить действительную и мнимую составляющие частот или соответственно фазо­ вых скоростей волн. В результате это привело бы к слож­ ным численным расчетам. Мы же хотим получить лишь наиболее общие выводы, что можно сделать с помощью

Абсолютное значение волнового вектора /сэм рассматри­ ваемой электромагнитной волны много меньше величины волнового вектора к эс соответствующей электростатиче­ ской волны. Формула (2.72) дает весьма полезную инфор­ мацию для оценки величины связи электростатических

и электромагнитных волн. Для этого запишем дисперсион­ ное соотношение, сохранив в нем все члены, в виде

Рассмотрим вначале те волны, волновые векторы кото­ рых близки к кдс, где-А:1с » o)|,0/(i>2). Используя оценку коэффициентов по порядку величины, детерминант (2.73) можно переписать в виде

С помощью разложения к — кэс + Ак, где кэс представ­ ляет собой решение уравнения (2.75) с правой частью, строго равной нулю, мы получим

Полагая дС33/дк = О (С33/к) = О (1/к) и принимая во внимание (2.72), найдем, что в соответствии с исходным предположением

(2-77)

Отсюда следует, что связь электростатических и электро­ магнитных волн в плазме очень слабо влияет на диспер­ сионное соотношение для потенциальных волн и их ча­ стоты. С другой стороны, связь волн приводит к важным изменениям в соответствующем дисперсионном соотно­ шении для электромагнитных волн. Рассмотрим в каче­ стве примера волны, волновые векторы которых близки

для всех значений п. В частности, для изотропии давле­ ния нужно было бы потребовать выполнения условия (2.81) при п — 4. Тем не менее во всех практических слу­ чаях при выполнении условий (2.79) и (2.80) распределе­ ние по скоростям в плазме вряд ли будет анизотропным, если она не приготовлена каким-либо особым способом. В практических случаях трудно ожидать, чтобы функция распределения обладала таким свойством.

Исследования Кана не дают ответа на все вопросы. Из них не следует, что плазма заведомо будет устойчива, если ее функция распределения удовлетворяет условиям (2.79) и (2.80). Эти условия являются лишь необходимыми. Кроме того, они не дают возможности получить резуль­ таты, если распределение по скоростям не является цен­ трально-симметричным. Однако Кан утверждает, что все подобные распределения неустойчивы.

Чтобы проанализировать указанные результаты, вспом­ ним, что мы пренебрегли корреляцией. Следовательно, приведенные выше утверждения справедливы, когда рас­ сматриваемые интервалы времени малы по сравнению с временем между столкновениями, т. е. когда [см. фор­ мулу (П.З) в приложении]

а > «го • (2.82)

Поскольку мы приняли, исходя из соотношения (2.72), что | со1и | = О {(йр0/с), и предположили, что | и | = = О (vT), то рассматриваемые явления обусловлены вол­ нами низких частот. Поэтому с учетом неравенства (2.82) получим

Отсюда вытекает, что описанные выше неустойчивости могут проявляться только при достаточно низкой плот­ ности и высокой (но нерелятивистской!) температуре

плазмы.

Фрид [3] и Фюрт [4] исследовали физический меха­ низм усиления электромагнитных волн. Поскольку авто­ ров интересовал лишь основной механизм, а не проявле­ ние частных деталей, они изучали поведение системы электронов в простых экспериментальных условиях.

Отсюда следует, что начальное возмущение Вг нарастает по экспоненциальному закону с инкрементом (ор_а/с. Это согласуется с выводами, полученными Каном.

Выражение (2.91) не совпадает с результатами более общего исследования Вайбеля [5]. Тем не менее рассмо­ тренная грубая модель с ее частным случаем начального распределения все же может дать некоторое качественное объяснение неустойчивости.

Пренебрежение током смещения d E l d t в уравнении (2.90) эквивалентно пренебрежению единицей по сравне­ нию с величиной с2А:2/(о2 в дисперсионном соотношении. Это показывает, что токи смещения не дают вклада в раз­ витие рассматриваемой неустойчивости. Ее механизм заключается просто в том, что начальное возмущение магнитного поля приводит к такому ускорению электро­ нов, что возникающий поток импульса воздействует на начальное распределение токов в направлении усиления флуктуации поля. С физической точки зрения усиление начального возмущения поля можно рассматривать как сжатие (пинч-эффект) плазмы в токовые слои. Если при этом предположить, что компонента скорости vx не равна нулю, то должен возникнуть эффект суперпозиции, обусловленный движением частиц системы в направлении оси х. Этот эффект противодействует развитию неустой­ чивости, полученной в отсутствие движения в направле­ нии оси х.

§3. РЕШЕНИЯ С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРОН-ИОННЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ

Впредыдущем параграфе мы исследовали эффекты, возникающие в полностью ионизованной системе, без учета влияния корреляций отдельных частиц на распростра­ нение электромагнитных волн. Теперь мы займемся вопро­ сами излучения и поглощения этих волн. В таком слу­ чае, конечно, пренебрегать полностью корреляциями частиц уже нельзя,

362 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц

Выше мы уже обсуждали вопрос об излучении, свя­ занном с одночастичными взаимодействиями. В данном параграфе мы исследуем процессы излучения и поглоще­ ния, обусловленные той частью ускорения частиц, кото­ рая приобретается при взаимодействии одновременно со всеми частицами плазмы. Эффективное поле частиц плаз­ мы обычно представляется в виде суммы коллективного поля, входящего в уравнение Власова, и поля, обуслов­ ленного корреляциями отдельных частиц и представляе­ мого остаточным членом правой части цепочки уравне­ ния ББГКИ. В принципе эффекты от обоих этих сла­ гаемых могут быть названы «тормозным излучением». Разумеется, вклад в тормозное излучение, обусловленный коллективным полем, представляет собой явление, кото­ рое не может встретиться при одночастичном рассмотре­ нии. С другой стороны, вклад в тормозное излучение за счет полей, обусловленных корреляциями, должен при­ сутствовать в расчетах, относящихся к одночастичным процессам взаимодействия.

Нельзя доказать, что вкладом в излучение, обуслов­ ленным корреляциями частиц, можно пренебречь по срав­ нению с вкладом коллективных полей. Действительно, поскольку амплитуда коллективного поля может быть пренебрежимо мала во многих практически важных слу­ чаях, вероятно, будет правильным противоположное утверждение.

В принципе мы должны были бы вновь обратиться к об­ щим уравнениям, рассмотренным в § 1, чтобы составить цепочку уравнений для величин /2, (Е)2 и (В)2, сделав при этом ряд предположений относительно корреляций третьего порядка / 3, (В ) 3 и (Е )3. Однако громоздкие вы­ кладки, приведенные в § 1, показывают, что подобная процедура малопривлекательна.

Поэтому мы прибегнем к другому, более приемлемому методу. Определим насколько возможно точно тензор проводимости для рассматриваемой системы с учетом корреляций частиц и коллективных эффектов. Затем найдем коэффициент поглощения, который связан с тен­ зором проводимости, и из него, используя закон Кирх­ гофа, получим коэффициент излучения. Конечно, данный метод не строг, но он приводит к результатам, имеющим

§ 3. Решения с учетом электрон-ионных корреляций 363

достаточную точность для многих практических прило­ жений.

Если можно считать, что время взаимодействия двух частиц твз (см. разд. 1.3 гл. 4) много меньше всех других характерных времен, рассматриваемых в задаче, в част­ ности меньше периода колебаний поля, то эффекты, свя­ занные с корреляциями частиц, можно сравнительно про­ сто учесть с помощью уравнения Фоккера — Планка или иных сходных методов. В исследуемой модели плазмы это эффективное время взаимодействия двух частиц порядка величины обратной плазменной частоты, т. е. твз « WpL. Поэтому можно ожидать, что метод уравнения Фоккера — Планка и другие аналогичные ему методы применимы,

иметь дело с частотами со > сор_, что не позволяет исполь­ зовать уравнение Фоккера — Планка. Поэтому в ука­ занной области мы будем следовать методу, предложен­ ному Даусоном и Оберманом [6, 7].

3.1. Модель Даусона — Обермана

Приведем ряд предположений, которые лежат в основе этой модели.

1. Исследуемая система, как всегда, представляет собой неограниченную пространственно однородную среду, со­ стоящую из электронов и равного числа ионов противо­ положного знака заряда. В среде присутствует слабое однородное электрическое поле Еоб- *"*. Предположение относительно однородности электрического поля означает, что область рассмотрения ограничена достаточно большими