Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1308 вузов, 5224 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
22.10.2023
Размер:
12.01 Mб
Скачать
☆

344 Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полей с сист. многих частиц

Входящ ая в выражение (1.21) величина Е} представляет собой полное электрическое поле, создаваемое /- й части­ цей у i-й частицы.

Подставляя (1.22) в уравнения (1.16) — (1.19) и ком­ бинируя их с уравнением (1.11), получим следующую

систему

уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

dfj (*r, Ч;

t) .

i

dfi

 

 

 

et

d

•{[(E )1(r =

{r, {r, *▼; <) +

dt

 

V - - r ^

+

'

—

—

 

 

d

<r

 

 

mi

d 4

 

 

 

+

4

 

/ n \

/ „ _ i „

i „ .

 

(1.23)

V

X (B)4 (r =

‘r, *r, *v; 01 h ({Г, 4 ; 0 } = 0,

^ X <B>, ( г ,

Г ,

V ;

t) —Pq ^ ]внешн “b

 

 

 

 

+

-yy2

ej

\

’v h (ir>*v>r >4 ;

0 d Jv +

 

+ f\ { d t

+ 1у' d ir

+

mt

Евнешн‘ УЧ ) (/l^E )l) +

 

+ 7 Г - k

2

’ j

ASE>‘

• d

r h Cr, 4

'r, ' v; t) X

 

 

 

 

 

X (E >2 (r,

{r,

4 , Ч , 4 ;

0<*Ч } f

(1.24)

T x ( E ) , ( r , ' r , ' . ; i ) = - i ( A + 4 4 +

i

 

 

 

'v .'r . 'y ; o x

 

 

 

 

 

 

 

x (B)2 (г, гг,

4 , 3T ,

4 ;

(1.25)

V .(E>i (г, *г, Ч ;

t) =

 

 

 

 

= e~1 [рвнешн+

-yj- 2 eJ j

/ а (*r»

<v> r.

4 ; i ) d ?v j ,

(1.26)

 

i

 

 

 

 

 

V.<B>4 (г,

‘r, 4 ;

0 = 0.

(1.27)

Уравнения (1.23) — (1-27) являются системой уравне­ ний в частных производных и служат для определения

функции /i (l r, Ч ; t) и величин (E )j (г, Ч , Ч ; t) и

< В >1 (г, Ч , *v; t).

§ 2. Решение при наличии многочаст, коллект. корреляций

345

Разумеется, эта система не замкнута, поскольку она содержит парные функции / 2, ( Е ) 2 и ( В ) 2. Д ля их опре­ деления необходимо сформулировать следующую систему уравнений, которая будет уж е содержать тройные функ­ ции / з, ( Е ) 3 и ( В ) 3. В результате по аналогии с методом, использовавшимся при выводе уравнений ББГК И , мы опять придем к некоторой цепочке уравнений. Однако мы воздержимся здесь от выписывания подобной системы уравнений высших порядков, поскольку они весьма сложны по структуре и не будут использоваться в даль­ нейшем.

§ 2, РЕШЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ЛИШЬ МНОГОЧАСТИЧНЫХ КОЛЛЕКТИВНЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ

2.1. Основные уравнения и их линейное приближение

В рассматриваемом приближенном методе выполняются следующие соотношения, позволяющие упростить цепочку уравнений для функций /, (В ) и (Е ):

fs (Ч-, . . . , sv; t) = П ft (vr,

Vv; t),

где

s =-- 2,

,N,

V=1

 

 

 

(2. 1)

 

 

 

 

( Е ^ Е И г ; * ) ,

(B )1 =

(B )1(r;

t),

( 2. 2)

 

 

 

 

(2.3)

Соотношения (2.3) можно получить из формулы (1.20), используя (2.1) и (2.2), а также теорему Лиувилля для случая отдельной частицы. С помощью данных упрощаю­ щих соотношений получим вместо уравнений (1.11) и (1.16) — (1.19) следующую систему:

■ £ + ' - W + ^ [ ® - + 4 x <В Ы -Й И О .

(2-4)

v X <B)t = Цо [1внешн + 2 'е1 j* v/l (Г’ }у; {^ }у +

 

+ eo~W ~j

(2.5)

346 Гл. в. Взаимодействие' электромагн. полей с сист. многихчастиц

Vx < E> 1=

—

 

(2. 6)

v •<Е>! — е"1 [ р ВНешн+ 2

eJ J /i (r>

0 d?v] »

(2-7)

3

 

 

 

V.<B>t = 0.

 

(2.8)

Будем предполагать, что внешние источники полей нахо­ дятся вне рассматриваемого объема.

Далее вместо частных функций распределения Д удобно ввести общие функции распределения [см. (2.2.19)1

 

/I?3 (г, v; 0 =

2

/1 (7r,

Ч;

* )|д =г = N v.fu

(2.9)

 

 

 

j(H)

 

}v=v

 

 

где

индекс j (р) обозначает

совокупность

частиц

сорта

р, а

Иц — общее их

число в

системе.

 

 

Выполняя суммирование в системе дифференциальных

уравнений (2.4) — (2.7), получаем

 

 

dt

дг

( 4 - ) ,1 < Е > - + у>< (в >‘1 - т г - = 0 '

<2 -10>

 

V X (В ), =

ро { 2 evj v'A1’ dv' + e0

,

(2.11)

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

V X (E)1=

- ^

- ,

 

(2.12)

 

 

V .(E )1 =

e -1 2

ev j f vv dv',

 

(2.13)

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

V.<B>! = 0.

 

(2.14)

Уравнения (2.10) — (2.14) описывают функцию распреде­ ления частиц /£ ’ и поля < Е >4 и (В Д в пределе исчезающе малых корреляций отдельных частиц. Д ля простоты мы далее опустим скобки у величин Е и В , имея, однако, в виду, что Е и В представляют собой усредненные вели­ чины.

Теория в приближении малых амплитуд

Приближение малых амплитуд основано на предполо­ жении, что поля Е, В можно рассматривать настолько малыми, что они приводят лишь к небольшим отклоне­ ниям системы от положения равновесия (нулевое при­

§

2.

Решение при наличии многочаст,

коллект. корреляций

347

ближение). Примем далее,

что члены нулевого

порядка

в

разложении

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

(2.15)

не создают

каких-либо зарядов и

токов, т. е.

 

 

 

2

ev j

(<»/«> d\' = 0,

2 ev j

v' (0>AI> d\' = 0.

 

(2.16)

 

V

 

V

 

 

 

Если состояние в нулевом приближении является стацио­ нарным, то из уравнения (2.10) следует, что функция распределения нулевого порядка зависит только от v. Поэтому будем считать, что *)

“T ^ M v ) , “V F ^ M r . v ; t).

(2.17)

Перепишем рассматриваемую систему уравнений с учетом этих обозначений в виде

% T + ' " S£

+

Ц

) „ (

Е + ' ' х в ) . ^ _

о ,

(2.18)

V x B =

p0

{

2 ev j

v 7 lv d v'-f-e0- |f - }

,

(2.19)

 

 

Т х Е "

-

Ж ’

 

(2.20)

 

 

 

 

V .E =

e-1 2 ^ v

J/ i v dv ' ,

 

(2.21)

 

 

 

v . b =

o.

 

(2.22)

2 .2. Тензор проводимости и тензор диэлектрической проницаемости

Применяя преобразование Фурье к уравнению (2.18), получаем

i ( k - v — ©)Лц(к, со, v ) + ( ^ - ) (i{ l ( k , (o) +

+ v x l ( k , « ) } . ^ = 0 .

(2.23)

0 Обратим внимание на то, что здесь мы ради простоты ввели для общих функций распределения обозначения (аналогичные обозначениям, введенным на стр.138), которые, однако, не следует путать с обозначениями для частных функций распределения.

348 Г л. 6. Взаимодействие электромагн. полейссист .многих частиц

Отсюда находим

 

 

 

 

 

£

-(Е + Т Х В ) .

(2.24)

Здесь

использовано обозначение

 

 

 

 

 

 

и = - “- к .

(2.25)

Тогда плотность тока запишется в виде

 

Г =

2

cv j

V 7iv dv

- 1 2

mv

j k .(V/ _ u) X

 

 

v

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.26)

где

x

определяется

формулой

 

 

 

 

 

x - E =

E + v x B .

(2.27)

 

 

 

 

2

 

 

 

Из

уравнения (2.20)

получаем

 

 

 

 

 

 

ik X

E =

icoB

(2.28)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

- k x

i = - k x E .

(2.29)

 

 

 

 

u

 

c

 

Здесь

мы

ввели показатель преломления п =

с/и.

 

Подставив (2.29) в (2.27), найдем выражение для тен­

зора х

 

 

 

 

 

 

 

 

р =

( !

 

 

<2-30>

Определим теперь новую функцию распределения / 0 по­ средством соотношения

§ й. Решение при наличии многочаст,. КоллеКт. корреляций

349

которая

отличается от / 0v тем, что она нормирована

на

единицу,

поскольку

 

 

 

« * = S

J

<2-32>

 

 

V

 

Согласно (2.26), (2.30)

и (2.31), тензор проводимости

записывается

следующим

образом:

 

. „

f

VA iv

,

 

o = teo(o|0 j

jf.(V_ u) • * & =

 

— ie0(oPQ

 

d \

 

^ - ) • (2-33)

M v - u )

 

Подстановка соотношения j = a -E в (2.19)

приводит к урав-

нению

 

 

2

 

 

 

 

 

i k x В =

р0ео{ — i(oE + e-1o .E } =

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

f2-34)

отсюда сразу получаем

выражение

для тензора диэлект­

рической проницаемости

 

 

в =

Ц — -— о.

(2.35)

22 е 0® 2

2.3.Дисперсионное соотношение

Итак, уравнение (2.34) сводится к виду

Ь х В =

-----^ 8 - Е ,

(2.36)

 

с 2

 

а уравнение (2.29) можно переписать в форме

к х S = — к[к) (к — I] •Е .

(2.37)

с2

Вводя обозначение 1^ = 1 — к) (к , найдем

2 2

[п И ± -

в (к, Ш)].Ё = 0.

(2.38)

350 Гл. 6. Взаимодействие электромйгн. полейссист. многих частиц

Отсюда получаем дисперсионное уравнение

det{n2Ix — б (к, со)} = 0 ,

(2.39)

22

вкотором тензор диэлектрической проницаемости, согласно

(2.35) и (2.33), равен

(2.40)

Анализ дисперсионного уравнения труден по двум причинам. Одна из них объясняется сложным видом этого соотношения, а вторая связана с расходимостью, обу­ словленной знаменателем подынтегрального выражения (2.40) для действительных значений и.

Вряд ли можно что-нибудь сделать с первой трудно­ стью, за исключением разве того, что в конце концов мы можем ограничиться рассмотрением частных случаев рас­ пределений. Что ж е касается второй проблемы, то сущ е­ ствуют две области, представляющие принципиальный и практический интерес, для которых подобной проблемы расходимости не возникает. Первая область относится к большим фазовым скоростям и > с, где указанная проблема отпадает, поскольку мы не рассматриваем реля­ тивистских частиц. Эта область интересна тем, что она позволяет судить о реакции плазмы на падающие электро­ магнитные волны. Вторая область относится к фазовым скоростям с конечной величиной мнимой части ut. П лаз­ менные волны, обладающие таким свойством, вообще говоря, непригодны для передачи сигналов. Н о они пред­ ставляют интерес вследствие возможности появления неустойчивых нарастающих мод, приводящ их, как пока­ зал Бунеман [1] для электростатических волн, к пере­ группировке скоростей частиц. В этом смысле комплекс­ ные волновые решения приводят к тем ж е эффектам, что

имолекулярные столкновения в обычном газе.

1.Случай иТ>с. Предположим, что реальная часть фазовой скорости равна или больше скорости света, что,

естественно, означает v

и.

§ 2. Решение при наличии многочаст, коллект. корреляций

351

В этом пределе

 

 

 

 

 

 

 

х =

1

 

(2.41)

 

 

2

2

 

 

и имеет место соотношение

 

 

 

 

Г !

+ ^ Н

( -

ж Н

У-

<2 -42)

Интегрирование по

частям

в

данном

случае

приводит

к простому виду тензоров диэлектрической проницаемо­ сти и проводимости

< 2 ' 4 3 )

При этом дисперсионное соотношение записывается сле­ дующим образом:

= det { ( 1 - -J - - it2) I + » < )( £ } - 0.

(2.44)

Если координата z выбрана в направлении вектора к, то

дисперсионное соотношение имеет вид

0

0

= 0.

0

0

юр0

1

 

 

(О2

(2.45)

Тензор, входящий в соотношение (2.45), является диаго­ нальным. Это означает, что продольные и поперечные волны не связаны между собой. Поскольку компоненты тензора, соответствующие поперечному полю, одинаковы и отличаются от компонент, связанных с продольным полем, решения для поперечных волн имеют отличающиеся от продольных волн частоты. Кроме того, поле попереч­ ных волн может иметь произвольное направление поля­ ризации.

352 Гл. 6. Взаимодействие электромаен. полей с сист. многих частиц

Частота продольных волн, согласно уравнению (2.45), равна

со = Юро-

 

(2-46)

Таким образом, фазовая скорость

продольных

волн есть

u = ^ L .

 

(2.47)

К

 

 

Сделанное нами предположение о

том, что v

и, озна­

чает, что полученные результаты верны лишь в области значений

/

V*

 

 

* = - ? < ( ■ ? - )

 

=

(2.48)

Отметим, что найденное нами решение

для электростатиче­

ских волн соответствует результату, который ранее был получен в разд. 2.5 гл. 3. Однако здесь не следует ожи­ дать проявления эффекта затухания Л андау, поскольку оно обязано своим происхождением частицам со скоро­

стями, близкими к фазовой скорости волны.

Частоты поперечных волн удовлетворяют уравнению

ййп

_ л

 

РО

(2.49)

(О2

—

 

или

 

 

 

со2

__ и 2

 

Що

(2.50)

 

и2 —с2

Отсюда находим фазовую скорость поперечной волны

 

и2

С2

 

(2.51)

1т р0

О)2

Таким образом, для поперечных мод выполняются нера­ венства

© > ©ро5 и > с.

(2.52)

Разумеется, при этом групповая скорость ug = da/dk, которую можно получить из уравнения (2.49), записан­ ного в виде

о»2 = (0р0 + №сг,

(2.53)

§ 2. Решение при наличии многочаст, коллект. корреляций_____353

всегда меньше скорости света и определяется соотноше­ нием

(2.54)

Полученные выше результаты показывают, что плазма взаимодействует с поперечной электромагнитной волной, частота которой выше плазменной, как среда с пока­ зателем преломления, меньшим единицы. Если ж е частота электромагнитной волны намного превосходит плазмен­ ную частоту сор0, то показатель преломления практически равен единице. В таком случае плазма никак не влияет на распространение волны. При приближении частоты электромагнитной волны к плазменной показатель пре­ ломления убывает, быстро приближаясь к нулю.

Решения для поперечных волн в области фазовых скоростей и > с и частот со < (ор0 не существуют. В от­ сутствие диссипации (а — чисто мнимая величина) падаю­ щая волна на этих частотах со < сор0 не может погло­ щаться. Она должна полностью отражаться от поверхно­

сти плазмы.

(Это также очевидно

из

условия

и2 < ; 0.)

2. Случай

игФ 0; иТ — О (vT)

с.

Волны,

рассма­

триваемые в данном случае, следует четко отличать от рассмотренных выше обычных электромагнитных волн, распространяющихся с фазовыми скоростями, равными или большими скорости света. Последние можно счи­ тать разновидностью радиоволн, модифицированных бла­ годаря наличию плазмы. Волны, которые мы собираемся рассматривать, обладают намного меньшими фазовыми скоростями, равными по порядку величины среднеквад­ ратичной (тепловой) скорости vT частиц плазмы. Кроме того, предполагается, что фазовые скорости принимают комплексные значения.

Предвидя заранее, что инкремент неустойчивости для таких волн в общем случае составляет величину порядка ap0vT/c, можно сказать, что развитие этих неустойчиво­ стей происходит гораздо менее энергично, чем развитие электростатических неустойчивостей. Таким образом, в тех случаях, когда могут возникнуть обе неустойчивости одновременно, преобладающей будет потенциальная элек­ тростатическая неустойчивость. Однако условия суще-

2 3 - 0 1 2 9 1

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности