Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4334 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

334	Гл .	5.	Излучение отдельной частицы
	Поскольку	нас	интересует излучательная способ

ность рассматриваемой системы, рассчитаем величину излучения за единицу времени. Такая задача выглядела простой в случае тормозного излучения, когда каждое столкновение, длящееся лишь очень короткое время, можно было рассматривать как полностью завершенное и поэтому излучательная способность выражалась произ ведением излучения за один процесс столкновения на число столкновений в секунду.

В случае циклотронного излучения, поскольку мы пренебрегаем радиационным трением, процесс, в течение которого происходит излучение, длится от момента вре мени —оо до 4-оо. Чтобы проанализировать переход от излучательной способности w к дифференциальной излу чательной способности т|, рассмотрим процесс излучения в течение конечного интервала времени Т, а затем перей дем к пределу Т оо. Тогда переход от суммарной энер гии излучения к излучательной способности характе

ризуется			соотношением
+ Т / 2					+ Т / 2				+ Т / 2
	j	eiat'dt' 2^ -			1	j еш 'dt' j ^			j e-^t'dt’} .	(4.12)
j	J			\	1	J	/	\	J
- Т / 2						- Т/2			- Т / 2
В	пределе			Т -*■оо получаем
					— oo
и	первый			член в	правой части соотношения (4.12) при
Т ->		оо	и	( о = 0	стремится		к	предельному значению,
равному			единице,		а	поэтому
					4я282 (со) -*■ 2я8 (со).					(4.14)

И спользуя (4.14) в формулах (4.1), (4.9) и (4.11), получим выражение для излучательной способности в виде

(4.15)

	$ 4.	Циклотронное			излучение	335
или в	виде
	е2со2	~	f , c o s f t - P „		) 2 ./^ г © + Р
	е2со2
Л<о (®,	v, #) = 8л 2 е 0с	2л	I \	s i n
Л<о (®,	v, #) = 8л 2 е 0с	2л	I \	s i n	О
	т—1
		X б [WUOl — СО(1 — Э\|\| COS •&)].				(4.16)

Члены с отрицательными т мы опустили, поскольку соот ветствующие им отрицательные значения со уж е были исключены (см. стр. 317).

Очевидно, что выражение для дифференциальной излу

чательной	способности описывает линейчатый спектр,
в котором,	судя	по виду б-функции Дирака в фор
муле (4.16), частоты отдельных линий равны
	_	тощ______ won) (1—Р2)1/2	(4.17)
	<° т ~	1 — Рц COS# — 1 — Р ц С О З #

Частоты этих линий кратны ларморовской частоте с уче том релятивистского фактора и допплеровского смещения вследствие движения вдоль магнитного поля, описывае мого знаменателем формулы (4.17).

Угловое распределение различных гармоник является весьма сложным. Это можно видеть из формулы (4.16) и фиг. 25, где представлены несколько первых гармоник полученного разложения.

Полная излучательная способность на данной гармо нике определяется формулой (см. работу Шотта [12])

т е2Ч о		1 - р 2 _	Ж 1 1 -Р 2		X
Лт =	4 я е 0с	Р [ / 2 » ( Р )		2 Р2- Р 2	X
	4 я е 0с	1 — Р*\|		2 Р2- Р 2
				Т
				X J J 2 т	(■*•) d x J ,	(4.18)
				О
в которой использовано			обозначение
		2«Р±	„	/ Р2-Р 1	1/2	(4.19)
		Р = (; l - р р 1' * '		" *~" VР\		(4.19)
		Р = (; l - р р 1' * '		" *~" VР\

Наконец, полная излучательная способность, равная сумме излучений по всем гармоникам, имеет вид

°L0	Р2,	йьо
6яе0с	1 — Р2	бяеос	< 4 - 2 0 >

336	Г л. 5. Излучение отдельной частицы
	Z

Ф и г . 25. Угловое распределение некоторых гармоник циклотрон ного излучения, нормированное на одинаковую величину суммар ной интенсивности.

а — для Р = 0,9; б — для предельного значения Р -►0,

Циклотронное излучение системы, находящейся в тепловом равновесии

Д ля системы электронов, находящ ихся в тепловом равновесии, коэффициент излучения равен

7m (со, А )= j Лго (со, Р , О) / (Р ) dp.

(4.21)

§ 4. Циклотронное излучение

337

Здесь / — функция распределения. В случае, когда Рц <С P i,

выражение (4.16) имеет более		простой вид:
Л т К Р, ^ ) = ^ ? { c t g 2 ^ ( m P) +
-f Р2/^ (тР)} б (со — тсо£) = г]т (Р,			ft) б (со — тсоь) •	(4-22)
В результате формула (4.21) для коэффициента излу
чения	преобразуется к
im (со,	ft) = j 6 [со — mcoL (P i)]	[P i,	ft) / (P i) d P i-	(4.23)

Д ля скоростей электронов, когда можно пренебречь членами более высокого порядка, чем P i, максвелловское распределение имеет вид

/ Ф±) = п-	ехр {	P i т0с2	(4.24)
		20

где га_ — плотность электронов.

Выражения (4.23) и (4.24) были получены Хиршфильдом, Болдуином и Броуном [13, 14]. Мы приведем их окон-

'нательную формулу, в которой уж е выполнено интегри рование по углу ft:

im (ft>)		1_	X
	2я2с	X

X { J2m[2m. (1 — Жа)1/а] — (1 — * а) _1/Л т+1 [2 т (1 — я2)1/]			—
— х 2 (1 — ж2) - 1/* 2	^2m+2v+i[2m(l — х 2)1/2] \| .	(4	.25
v = i
Здесь сор — электронная	плазменная частота,	а х =

=co/mcoLo-

На фиг. 26 представлены результаты расчетов спектра

излучения для двух значений температур по формуле (4.25), нормированного относительно спектра излучения абсолютно черного тела

со29
В{<о) = 2я3с2	(4.26)

2 2 - 0 1 2 9 1

Ф и г . 26. Спектр циклотронного излучения	системы,	находящей
ся в тепловом равновесии, нормированный	на поток	излучения
черного тела.

а— 0 = 100 кэВ; б - 0 =■ 10 кэВ.

Литература

339

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, 1957.

2.Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М., Теория поля, изд-во «Наука»,

М. 1967.

3.Becker R., Sauter F., Theorie der Elektrizitat, Vol. 1, Teubner, Stuttgart, 1962.

4.Watson G. N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cam bridge Univ. Press., London and New York, 1962.

5.Handbook of Mathematical Functios, eds. M. Abramowitz, I. A.

Stegun,	Dover,	New	York,	1965.
6. Oster L.,	Rev.	Mod.	Phys.,	33, 525 (1961).

7.Bekefi G., Radiation Processes in Plasmas, Wiley, New York,1966 (см. перевод: Дж. Бекефи, Радиационные процессы в плазме,

изд-во «Мир»,	1971).
8. Sommerfeld A.,	Atombau und Spektrallinien, Vol. II, Vieweg,
Braunschweig,	1939.

9.Elwert G., Zs. Naturforsch., A3, 477 (1948).

10.Elwert G., Ann. Phys. (Leipzig), 34, 178 (1939).

11.Greene J ., Astrophys. Journ., 130, 693 (1959).

12.Schott G. A., Electromagnetic Radiation, Cambridge Univ. Press, London and New York, 1912.

13.Hirshfield J. L., Brown S. C., Phys. Rev., 122, 719 (1961);

14.Hirshfield J. L., Baldwin D. E., Brown S. C., Phys. Fluids, 4, 198 (1961).

Дополнительная литература

К § 3

Panofsky W. К., Phillips M., Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1955.

Berger J. M., Phys. Rev., 105, 35 (1957).

Brussaard P. J., van de Hulst H. C., Rev. Mod. Phys., 34, 507 (1962).

Гинзбург В. Л., Распространение электромагнитных волн в плазме, изд-во «Наука», М., 1967.

Karzas W. J., Latter R., Astrophys. Journ. Suppl. Ser., 6, 167

(1961).

Kramers H. A., Phil. Mag., 46, 836 (1923).

Scheuer P. A. G., Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 120, 231 (1960).

К § 4

Beard D. B., Phys. Fluids, 2, 379 (1959); 3, 324 (1960).

Bekefi G., Hirschfield J . L., Brown S . C., Phys. Rev., 122, 1037 (1961).

Drummond W. E., Rosenbluth M. N., Phys. Fluids, 3,45(1960).

Oster L., Phys. Rev., 119, 1444 (1960).

Oster L., Phys. Rev., 121, 961 (1961).

Rosner H., Rep. AFSWC-TR-58-47, Republic Aviation Corp., Farmingdale, Lend Island, New York, 1958.

Трубников Б. A., Phys. Fluids, 4, 195 (1961).

22*

Глава 6

Взаимодействие электромагнитных полей с системой многих частиц

§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Как мы уж е видели, в качестве основы для описания кулоновской системы можно использовать цепочку урав нений ББГК И . И сходя из этого, следует ожидать, что для полностью ионизованной системы, находящ ейся в произ вольном электромагнитном поле, можно по аналогии с методом, изложенным в гл. 2, получить более общую цепочку уравнений. Эта цепочка уравнений должна быть более сложной, так как в ней закон кулоновского взаимо действия заменяется системой уравнений Максвелла. При выводе цепочки уравнений для частных функций распре деления из уравнений Климонтовича возникает ряд усредненных характеристик поля, которые выражаются через эти частные функции распределения. В результате требую тся дополнительные уравнения, которые можно получить из соответствующего усреднения уравнений Максвелла.

В отличие от метода, излагавшегося в гл. 2, мы перей дем здесь к представлению уравнений в пространстве ско

ростей,	поскольку	при наличии уравнений	Макс
велла	формализм	функции Гамильтона не	дает

преимуществ. Поэтому во всех последующих приложе ниях мы будем применять представление в пространстве

скоростей,	которое в той или	иной	мере	согласуется
с общей методикой, принятой в		литературе.
Пусть плотность распределения отдельной i-й частицы
в фазовом	пространстве описывается		функцией

( 1.2)

§	1 . Основные уравнения	341
Здесь ускорение \ t	определяется уравнением
Vf = — [Е (Г\|, t\ гj \|j# i) + Vi X В (гь t; {г,-, уД		(1.3)

в котором напряженности электрического и магнитного полей Е и В зависят не только от набора координат (г ;-, v j} \}ф1 остальных частиц системы, но также и от

внешних источников. Подставив (1.3) в (1.2), получим уравнение

dFt	,	dFt	I L	(E + V i X B ) .	d F t	0.	(1.4)
dt	^	1 dir	ГГЦ		d i\

Умножим теперь уравнение (1.4) на функцию распреде ления по ансамблю f N (rl5 у N; t) и проинтегрируем его по всему фазовому пространству:

	dFt		Э^_
j M r i » , v . v w; 0 ‘ { dt			d i r ^
+	!L(E + yi x B ) - - ^ } d T i . . . d y N = 0.				(1.5)
Д ля этого	используем	полученное с		помощью	теоремы
Лиувилля	соотношение	(2.2.6):
			VN
	3				( 1. 6)
	3
Интегрирование соотношения (1.6) приводит к					следую
щему результату:			dfipr;	i\; t)
	1 * 4 t dXi ■•■dyN		dfipr;	i\; t)	(1.7)
	1 * 4 t dXi ■•■dyN		dt		(1.7)

поскольку интеграл от последнего члена в правой части (1.6) обращается в нуль. Это можно показать, интегрируя его по частям и используя уравнения движения.

Рассмотрим теперь приведенные частные функции рас пределения

fs (хг, W, .. ., *г, Ч . . . , ®г, sv; t) = f fNFl ...

Fsdri ...

d \N

( 1.8)

342Гл. 6. Взаимодействие электромагн. полейссист. многихчастиц

иусредненные величины полей (M)s порядка s

(М)3 (г, Ч,	xv, . . . , 8r, sv;			«) =
			$ M(r, . . . ) f NFi		. . . Fs d t ! . . . dvN		/л ^
		~		/.^ г ,		t)
Используя	(1.7) и		(1.9)	в уравнении (1.5), получаем
d /i(fr, »v; t)	{	df i (r, v; t) .
dt	‘		д гг	т"
	+	^	J * t j[(E )i(r = rb			гг, v,-; *) +
+ Vj X <B )i(r =		rb rb \ u 0 1 /i( rb			Vi,	t)jTfdyi = °	(1-10)
или соответственно
df i (if, iy; г)	,	g/i (*r, »v; t)
at			a ir
+ ^ w - i < E >> ( '= * ' . V * ; o +
	-+ i X<B)1(r =			ir, {r; v; ) l/i( V v ; *) = 0.			(1.11)

Выпишем теперь уравнения Максвелла для электромаг

нитных		полей, создаваемых				всеми частицами		с	номерами
] ф i	и	внешними		источниками в точке г в момент вре
мени	t:
^ X В =		р,0	\| е0 -----——+		1внешн ~Ь
				+	2 %	; \| ,У ^ (Г ,М ^ ^ } ,			(1-12)
					д
				v	X Е =	— 4 ^ -,			(1.13)
	V .E =		e"1 \| 2	е}	j F j ( г,		;v ) d 3\ + рвнешн}	,	(1.14)
			j
					V -B =		0.		(1.15)

Чтобы найти усредненные поля ( Е ) 1?( В ) 1( умножим уравнения (1.12) — (1.15) на произведение / jv-F; и про-

§ 1 . Основные уравнения

343

интегрируем по Г-пространству.

результате

получим

V х <В>! (г, 'г, Ч; t) (+ Ч; t) =

Po { iBHeira/i Гг, 4;

0 +

eJ j

,у/г (+ 4 , r,

t)d}v +

+ е°^'ж'Х^г’ <r’ iv;

lv; 0 )

’

(1-16)

<E>! (r, 4 , 4 ;

0/1 ( +

+ ;

0 =

( - f - X

(r> *r- iy ; 0

/1 ( * * , < ) .

(i.i7 )

. <E>! (г, *r, 4 ;

t) ft (Ч,

4; t) = e"1 1 рвнешн/i ( +

4 ;

t) +

/2 Гг, Ч,

г, Ч; 0<*Ч}

(1.18)

v *<B)i(r, 4,

<)/i Гг, 4; 0 = 0-

(1.19)

Применяя далее теорему Л иувилля, найдем выражение для производных от поля по времени:

4, Ч; 0/1(‘г, Ч; 0 =

=	j	Ft (- j f f NМ(г,	... ) ) г* ! . . . d \ N=
=	{ ж ^ (‘г ’ V - 0 <M)l			if ’ <v:	} ir> iVt r +
+ ivl	t	(/1 <M>i) +		...d v w.		(1 -2 0)
Отсюда,	учитывая соотношение
^ i = = ~ rn J	{ Ввнешн (rj, VjJ 0 +		2	(ri, Vj’	} ,	(1.21)
			i
получаем
(■£" M) i /l= (^■ + 4-517 + -^7Евнешн'517)(/1 (М)1) +
		+ -J- 2 * j d4	J d,yE} (4, 4 ,		4, 4 ) x

xgi-[/s (4, 4 , 4, 4 ; 0 <M>2 (r, 4, 4 , 4 , 4 ; 0]. (1.22

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4334 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ