книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

Заметим, что полученная спектральная плотность не зависит от о . Это означает, что мы аппроксимируем про­ цесс излучения импульсом исчезающе малой длительности.

Д ля количественного описания приближения, соответ­ ствующего данному выше определению низкочастотного предела, используем в общей формуле (3.9) асимптотиче­ ское представление модифицированных функций Бесселя при (о — 0. Это приводит к условию

ограничивающему применимость низкочастотного при­ ближения. Оно выполняется при

чем условие применимости приближения прямолинейного движения, при котором величина Qe имеет конечное зна­ чение.

Поскольку условие Qe -> 0 включает в себя как част­ ный случай Q -*■ 0, для дифференциальной излучатель­ ной способности в низкочастотном пределе мы имеем ре­ зультат (3.19),'совпадающий с полученным в приближении прямолинейного движения. Отметим, что в отличие от расходящ егося выражения для излучательной способ­ ности, которое можно было бы получить на основе фор­ мулы (3.20), в формуле (3.19) содержится зависимость от (о, устраняющая расходимость. Это и является причиной, позволившей нам избежать предположения о бесконечно малой длительности процесса излучения.

3.2. Некоторые результаты квантовомеханического рассмотрения

Все проводившиеся до сих пор расчеты основывались исключительно на классической теории излучения. Это также неявно подразумевалось в общих принципах, содер­ жащ ихся в определении рассматриваемой нами модели плазмы. Условие й = 0 оправдывало пренебрежение по­ терями энергии электрона на излучение в соответствии

с неравенством

(3.23)

а также позволяло использовать приближенное описание движения электрона с помощью классической траекто­ рии, что справедливо только при условии

(3.24)

Приведенные выше соотношения указывают, что квантово­ механические эффекты становятся важными в тех случаях, когда существенный вклад дают радиационное затухание и излучение при столкновениях с прицельными пара­ метрами

Поскольку упомянутые эффекты при рассмотрении тор­ мозного излучения действительно важны, мы здесь при­ ведем ряд результатов, полученных из квантовомехани­ ческого рассмотрения.

В этой связи заметим, что каждому шагу квантовомеха­ нического рассмотрения можно сопоставить неразреши­ мую в рамках классического рассмотрения задачу, свя­ занную со всеми характеристиками излучения, не содер­ жащими явной зависимости от прицельного параметра.

Обычно в теории излучения зависимость от темпера­ туры, частоты и других эффектов учитывается с помощью так называемого фактора Гаунта, который определяется соотношением

Д ля изложенного выше классического рассмотрения фак­ тор G (vs, со) был бы равен логарифмическому члену, входящему в выражение (3.19), умноженному на коэф­ фициент З1'2/ л.

Квантовомеханическое рассмотрение дает для фактора Гаунта выражение

vа и Vf обозначены начальная и конечная скорости элек­ трона, которые связаны между собой условием Борна

довольно сложны, хотя она и широко используется при расчетах тормозного рентгеновского излучения в рентге­ новских трубках и термоэмиссионных устройствах.

Рассмотрим снова два предельных случая низких

ивысоких частот.

Внизкочастотной области (приближение прямолиней­

ного движения)

выражение для фактора Гаунта принимает вид

С = ^ [ 1 н ( ^ - ) - С - В е { ф ( 1 + Щз)}] . (3.32)

Здесь С — постоянная Эйлера (С « 0,577), а ф — лога­ рифмическая производная от гамма-функции, ф (х) = = d [In Г (x)]/dx. При малых скоростях электрона выра­ жение для фактора Гаунта можно упростить:

Здесь у = ехрС « 1,781,

Интересно заметить, что результат (3.33) для малых скоростей, полученный из формулы (3.26), повторяет результат классического рассмотрения, тогда как формула (3.34), вытекающая из (3.26) в пределе больших скоро­ стей, в аргументе логарифма содержит явное проявление типично квантовых эффектов. На первый взгляд это может показаться несколько неожиданным.

Смысл этого обстоятельства заключается в том, что предел применимости приближения прямолинейного дви­ жения при малых скоростях электронов ограничивает область прицельных параметров значениями, значительно превосходящими длину волны де Бройля.

При больших скоростях электронов классический результат будет совпадать с результатом квантовомехани­ ческого рассмотрения, если в качестве минимального значения прицельного параметра выбрать длину волны де Бройля h/mvs.

Эльверт [9] на основе численных расчетов показал, что классическое рассмотрение остается справедливым даже для величин qs порядка единицы.

В высокочастотной области Эльверт [10] получил формулу, которая несколько превосходит рамки приме­ нимости борновского приближения. Соответствующее вы­ ражение для фактора Гаунта имеет вид

Здесь, как и прежде, величины qs и qj связаны между собой условием Борна (3.30), которое приводит к появле­ нию зависимости от частоты в формуле (3.35).

Введем теперь понятие коэффициента излучения,

который связан с дифференциальной излучательной спо­ собностью следующим образом:

По аналогии с определением фактора Гаунта, использо­ ванным в выражении для дифференциальной излучатель-

Гаунта G.

Суммарное излучение, приходящееся на единицу объе­ ма, времени и телесного угла (для одного направления

Фи г . 23. Зависимость величиныG от температуры при Z = 1 [И]

поляризации), определяется путем интегрирования коэф­ фициента излучения по частоте. При этом опять с помо­ щью соотношения

Величина G была численно найдена Грином [11], ис­ пользовавшим формулу Зоммерфельда (3.27). Соответству­ ющий график представлен на фиг. 23. В борновском при­ ближении для высоких энергий электронов фактор Гаунта

приближается к предельному значению G = 2 }^ 3 /я .

§ 4. ЦИКЛОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Циклотронное излучение возникает при ускорении заряженных частиц в магнитных полях. В настоящем параграфе мы сделаем исключение из нашего общего пра­

вила не рассматривать внешних магнитных полей, так как циклотронное излучение представляет большой прин­ ципиальный интерес и, кроме того, по характеру анали­ тического рассмотрения оно тесно связано с тормозным излучением.

Расчет характеристик циклотронного излучения в по­ стоянном магнитном поле в дипольном приближении является довольно тривиальной задачей. Интересные особенности возникают лишь в релятивистской области.

Д ля вычислений по этой формуле необходимо знать ско­ рость v и координату х' как функции времени. Движение частицы в релятивистском случае в любой инерциальной

% — полная энергия рассматриваемой частицы, а р =

=\/с .'

Вотсутствие электрического поля из уравнения (4.2)

чаев, кроме случая частиц с ультрарелятивистскими ско­ ростями.

При р = const уравнение (4.2) описывает вращение

где через соьо обозначено нерелятивистское значение ларморовской частоты.

Пусть частица движется с постоянной скоростью Пц вдоль магнитного поля. Тогда винтовая траектория рас-

ние (4.8), в соответствии с их функциональной зависимо­

где величины clt c2 и c 3 представляют собой векторы, кото­ рые нетрудно получить с помощью (4.8). Воспользуемся теперь разложением

После этого вычисление члена, содержащего с*, стано­ вится тривиальным, и результат сводится к б-функции Дирака. Чтобы рассчитать член о с 2, продифференцируем (4.10) по £, а затем, интегрируя в (4.9), снова придем к б-функции. Член с с 3 проинтегрируем по частям, рас­ сматривая его совместно с первой частью экспоненциаль­ ного множителя как полный дифференциал. В результате получим