314 |
Гл. 5. |
Излучение отдельной частицы |
|
ИЛИ |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( 1 |
v r |
|
|
|
(2.31) |
|
dt X |
\ |
cr |
|
|
|
|
Кроме |
того, |
|
|
|
|
|
|
|
V r|t = |
- c V i ' | t = V r |«4- Z |
v t ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
-£— |
It, |
(2.32) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V f ' l , - |
1 |
r |
•y/c |
, |
(2.33) |
|
|
|
1 |
c |
r—г |
|
|
что приводит к формуле |
|
|
|
|
|
|
V |. |
V I,, |
|
г |
|
д |
(2.34) |
|
1* |
|
" |
с (г—r*v/c) |
dt' |
|
Используя формулы (2.28), (2.31) и (2.34), а также сокращенные обозначения
|
|
s |
= |
|
Г-V |
|
(2.35) |
|
|
|
г -------- |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vs|r = -L _ JL |
’ |
(2.36) |
|
|
|
,f |
|
Г |
С |
|
находим выражения для электромагнитных полей |
|
1 / |
г |
■ ) ( ‘ - - 5 - ) + |
|
|
е |
|
|
|
|
ч |
1 |
|
{гх[(г- |
- T v ) x ''] } |
(2.37) |
и |
|
с2$3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4яе0с2 |
|
У2 |
\ |
|
|
|
|
|
е |
|
~ 1 2 |
)| + |
|
|
|
+ |
" i r |
Ч х [ г х Г ( г ~ ■44xv]] . |
(2.38) |
Отсюда видно, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в = |
г X Е |
|
|
(2.39) |
|
|
|
|
|
§ 2. Общие соотношения для полей излучения |
315 |
Обратим особое внимание на то, что, хотя для простоты мы опустили квадратные скобки, все входящие в фор мулы величины содержат запаздывающее время.
2.3. Угловое и частотное распределение энергии, излу чаемой одиночным зарядом
Анализ зависимости различных членов от г в выраже ниях (2.37) и (2.38) показывает, что ответственными за излучение являются вторые члены в правых частях. Это позволяет однозначно определить энергию, переносимую излучаемым полем, черезвектор Пойнтинга.
Однако в данный момент нас интересует не столько вопрос о том, какое количество энергии проходит через элемент поверхности у точки наблюдения, сколько вели чина потери энергии данной частицы, обусловленной ее излучением в заданных пределах телесного угла и частот ного интервала за единицу времени t'.
В силу сохранения энергии излучаемого поля элек тромагнитная энергия, проходящая через элемент телес ного угла <2Q за время dt, должна быть равна потере энер гии электрона, обусловленной излучением в пределах телесного угла dQ в течение времени dt', связанного по средством соотношения (2.31) с интервалом dt. Обозна чив энергию электрона через Ш, таким образом получим
— d2g = г • Sr2 dQ Л = г • [Е х Н] г2 dQ dt = |
|
|
|
= e0cE2r2 dQ dt. |
(2.40) |
Отсюда видно, что вектор Пойнтинга S направлен парал |
лельно г. |
|
|
|
Используя формулу (2.31), найдем, что |
|
|
|
|
< 2 - « > |
Это дает выражение |
|
|
(ON _ |
е% |
{гх[(г — v/c)Xv]}2 |
(2.42) |
|
16я2еос3 |
( 1 —r-v/c)6 |
|
Интегрирование выражения (2.42) по телесному углу приводит к результирующей формуле для суммарной
316 |
Гл. 5. Излучение отдельной частицы |
энергии, излучаемой электроном за одну секунду:
е2 |
v2— [у X V]2/C |
6 я е 0С3 |
(2.43) |
(1 — у 2 /с2)3 |
Величина wT тождественно совпадает с суммарным пото ком излучаемой энергии за секунду, проходящим через замкнутую фиксированную поверхность, окружающую данный заряд. Заметим, однако, что величина w (Q) не равна потоку энергии d ^ld t dQ, измеренному покоя щимся наблюдателем.
До сих пор мы интересовались угловым распределе нием излучения. Теперь рассмотрим его спектральное распределение. Обратимся с этой целью к теореме Парсеваля, согласно которой
-f-OO |
-j-oo |
|
\V j E X H |
= j Emx Н_шdco = |
|
00 |
oo |
|
= 2 j |
Ей, x Ншdco = 2 j Sm , (2.44) |
|
о |
0 |
где Еши Нш— соответствующие фурье-компоненты величин
Е = (2л)"1/а j E ^ 'd c o , Н - (2 я )" 1/а j |
Нсо-е^'^со'. (2.45) |
Заметим при этом, что величина |
|
= Еш X Нш не |
является |
фурье-компоненгой |
вектора |
Пойнтинга |
S = |
= Е X Н. Величина W имеет размерность энергии на |
единицу |
площади, S — размерность |
энергии в единицу |
времени на единицу площади, |
a Sffl |
— размерность |
энер |
гии на единицу площади в единичном интервале частот. Поскольку разложение Фурье однозначно, энергия, излучаемая в единичном интервале частот и приходя
щаяся на единицу площади, должна быть равной
§ 2. Общие соотношения для полей излучения |
317 |
а соответствующие потери энергии электрона в пределах единичного телесного угла определяются формулой
w (Q, со) = 2е0сЕшГ2 |
2е2г2 |
X |
|
|
16я2е0с3 |
|
|
X (2л) "1/2 |
j -itot |
Г X [(г—rv/c) Xу] |
dt |
(2.47) |
(г — V-r/c)3 |
Движение частицы обычно описывается функцией от t'. Поэтому мы перейдем в выражении (2.47) от времени t
к t':
+°°
ги (С '-г /с ) ГХ [(г— v/c) X V] dt' (1 —у-г/с)2
(2.48)
Использованное нами исходное допущение ограничи вает движение заряда областью, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Сле довательно, должны выполняться соотнощения
X = х' + г, I х' I < I г |, г да X — г-х'. |
(2.49) |
По тем же соображениям будем считать в рассматривае
мом приближении величину г постоянной. В таком слу чае должно выполняться следующее соотношение:
1 |
г X [(г — у/с) X у ] _ |
d |
с |
— y -r/c)2 |
dt ' |
|
/ |
г — v/c |
(2.50) |
|
\ |
(1 — у-г/с) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя |
в (2.48) |
по частям при условии |
v |
= 0 для |
|
t -v + оо, |
с |
помощью соотношения (2.50) |
найдем |
|
|
е2ю2 |
+°° |
|
|
|
|
w(Q, со) = |
j |
е-гш(Г-?-х'/с)г X [г X y]dt' |
(2.51) |
|
16я380С3 |
— оо
Заметим, что здесь (и ниже) во всех формулах для спектрального распределения энергии частота должна считаться положительной, так как вклад отрицательных частот со мы уже учли в формуле (2.44) с помощью мно жителя, равного 2.
318 |
Гл. 5. Излучение отдельной частицы |
Выражения (2.48) и (2.51) позволяют ответить на все вопросы относительно спектрального и углового распре деления излучения движущегося заряда при условии, что точка наблюдения достаточно от него удалена.
Дипольное приближение
Одним из важнейших частных случаев, к которому приводят полученные формулы в пределе малой скорости v/c 1, является дипольное приближение.
Угловое распределение энергии, излучаемой элек троном в единицу времени, может быть получено с по мощью выражения (2.42), которое в этом случае сводится к
W = 16я2е0сЗ" у2 Sin2 |
^ - L = cos^. |
(2-52) |
а соответствующее выражение для суммарной энергии имеет вид
wт—. (2.53)
б Л Е о С3
Поток энергии в единице телесного угла, приходящийся на единичный интервал частот, в заданной точке наблю дения можно получить из формулы (2.48):
|
-j-OO |
|
w (Q, о) = |
е~ш 'г X [г X v] dt' |
(2.54) |
|
1 6 л 3е 0с 3 |
|
Наконец, суммарная энергия, излучаемая во всех на правлениях в единичном интервале частот, равна
WT((0) |
е2 |
(2.55) |
|
6 я 2е 0с 3 |
—а
Формула (2.52) показывает, почему данное приближение, соответствующее условию vie 1, называется диполь ным. Выражения (2.53) и (2.55) соответственно представ ляют собой известные формулы Лармора и Герца.
§ 3. Тормозное излучение |
319 |
§3. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
3.1.Классическое описание
Рассмотрим в исследуемой полностью ионизованной системе эффект ускорения, обусловленный парными взаи модействиями заряженных частиц. Излучение, возникаю щее при таких «свободно-свободных переходах», назы вается тормозным.
В последующем изложении мы будем исходить из ре зультатов дипольного приближения, в рамках которого поля излучения описываются выражениями
г X [г X v] |
v X г |
(3.1) |
г3 |
ВЛ 4Я8пС3 Г2 |
справедливыми в области скоростей v |
с, что, таким |
образом, исключает релятивистские эффекты. |
Выражения (3.1) показывают, что тормозное излуче |
ние связано с ускорением центра заряда. |
Оно отсутствует, |
если взаимодействующие частицы, имеющие равные отно шения elm, покоятся или движутся равномерно и прямо линейно. Следовательно, такие частицы не дают вклада в «тормозное дипольное излучение при парных столкно вениях».
Заметим далее, что при столкновениях различных частиц их ускорения обратно пропорциональны их мас сам, поэтому мы можем пренебречь вкладом ионов в тор мозное излучение по сравнению с вкладом электронов.
Чтобы рассчитать излучение электрона в процессе его прохождения вблизи иона, обладающего кратностью заряда Z, необходимо знать кинематику этого движения. К счастью, последнее представляет собой хорошо иссле дованную задачу. Известно, что в этом случае электрон обладает плоской траекторией и в обозначениях, при веденных на фиг. 21, зависимость г от ср может быть пред ставлена в виде
|
1 |
1 — 8 COS ф |
(3.2) |
|
7 = |
60 (е2 —1) ' |
|
|
320 |
Гл. 5. Излучение отдельной частицы |
|
Здесь параметры bQи е с помощью соотношений |
|
|
s!- H v f = b 4 r f |
<3-3> |
связаны с кинетической энергией падающей частицы 1l2mv'i и моментом импульса j (через vs обозначена начальная скорость падающего электрона).
Из фиг. 21 нетрудно полу чить соотношения
b = M g Фо>
Ф и г . 21. Геометрия столк новения частиц в случае кулоновских сил притяже ния.
е2 — 1 = tg2(p0 = ctg2 (х/2), (3.4)
X = я — 2ф0,
откуда следует, что величина Ь0 является прицельным парамет ром, соответствующим откло нению сталкивающегося элек трона на 90°.
Для вычислений спектраль ной плотности излучаемой энер гии используем формулу (2.55). Если выбрать систему коор динат, приведенную на фиг. 21,
то величины ха и уа, входящие в (2.55), можно представить в следующей форме:
~+°°
£ю= |
(2я)-1/2 j х (t) cos at dt, |
г/ш= |
( 3 ‘ 5 ) |
—г(2я)~1/2 j у (t) sin cut dt, |
где использованы свойства симметрии рассматриваемой
системы. Выразим теперь компоненты х н у через г и qr.
/ У\ |
_ |
Ze2 |
( cos ф \ |
(3.6) |
^ •' J ~~ |
|
4яе0тг2 |
\sin ф / |
|
|
§ 3. Тормозное излучение |
321 |
Подставив этот результат в выражения (3.5), получим
_ 2я-фо
^ = - W |
^ (2"r |
J |
cos“iccs(P ^ |
|
|
ФО |
(3.7) |
^ |
1/ |
2Я-Ф0 |
•• |
(* |
sine* sin <р Ар. |
У « = Ь Ы г 0тоаЪ (2л)~ |
J |
|
|
ФО |
|
Здесь, используя закон сохранения момента импульса |
|
Г2 Лр |
vsb, |
(3.8) |
|
dt |
|
|
|
мы произвели замену, перейдя от dt к Ар. При вычисле нии интегралов в соотношениях (3.7) необходимо было бы заменить переменную t на ф. Это представляет собой элементарную, но довольно громоздкую процедуру. Она оказывается выполнимой до конца в приближении пря молинейного движения, которое будет рассмотрено ниже в данном параграфе.
При исследовании общего случая оказывается более целесообразным использовать подстановки, обычно упо требляемые в небесной механике. С их помощью коорди наты х и у выражаются в виде явных функций некоторого надлежащим образом выбранного параметра 16]. В этом случае можно выполнить интегрирование в выражениях (3.7) и, используя (2.55), получить формулу для спек тральной плотности суммарной энергии излучения
Ze2
w T ( & , ъ , w . ) = ( - ^ 5 r ) ( |
4Л8()Пи>| |
)’ x |
3jT2e0c3 |
|
2 |
g2—1 |
|
|
r |
№ # ) ] ‘ }«*Q- (3-9) |
Здесь параметр Q определяется соотношением |
|
= |
|
(ЗЛО) |
а через Kv (и) обозначена модифицированная функция Бесселя, которая связана с функцией Ханкеля Н ^ [4]:
Xv(u)= |
ехр ( - ^ ) Н У (iu). |
(3.11) |
322 |
Гл. 5. Излучение отдельной частицы |
Формула (3.9)2дает спектральное распределение энер гии в дипольном приближении в предположении о том, что можно пренебречь радиационным затуханием.
Теперь с помощью формулы для спектральной плот ности энергии wT (со, Ь, vs), излучаемой при однократном столкновении, определим величину дифференциальной излучательной способности электрона, обусловленной его столкновениями с ионами:
002л
ОО
здесь множитель 1/8я связан с переходом к величине, нормируемой на е диницу телесного угла и одно направле ние поляризации. Подставив в формулу (3.12) выраже ние (3.9), найдем, что дифференциальная излучательная способность электрона равна
Псо (Vs) = п+ (( 6л28()С3
(3.13)
Конечно, излагавшийся до сих пор общий подход к задаче об излучении одиночного заряда будет не полным, если в него не включить два широко используемых приближен ных метода: приближение прямолинейного движения и низ кочастотное приближение.
Приближение прямолинейного движения
При анализе интеграла
•{-00
— ОО
нетрудно получить следующие оценки:
V . t \ 2 \ 3 / 2 ’
§ 3. Тормозное излучение |
323 |
1 |
для с о < ^ , |
(3.15а) |
b v s |
О |
|
|
|
для |
(3.156) |
Первая из приведенных выше оценок (3.15а) является результатом перемножения максимального значения подынтегральной функции на полуширину интервала интегрирования, а вторая (3.156) объясняется интерфе ренцией высокочастотных волн.
Следовательно, можно ожидать, что фотоны не очень большой энергии будут излучаться главным образом при косых столкновениях. Или, говоря на языке чисел, излу чение в радиочастотной области для температур порядка 100—1000 градусов будет происходить преимущественно при b ~ 10“2 см. Соотношения (3.3) и (3.4) примени тельно к этому случаю дают
е2 да ctga да 1012. |
(3.16) |
Оценка показывает, что для него хорошо выполнено условие применимости приближения прямолинейного движения. В данном приближении вычисление интегра лов, входящих в выражения (3.7), не представляет труда. Однако здесь мы предпочтем рассмотреть эквивалентный предельный переход ^ - > 0 в выражении (3.9).
При осуществлении этого предельного перехода сле дует обратить внимание на то, что величина Q& может принимать конечное значение, несмотря на то, что Q стре мится к нулю. Это вытекает из соотношений (3.3) и (3.10), согласно которым в приближении прямолинейного дви жения выполняется условие
(3.17)
При данном условии предельный переход для спектраль ной плотности энергии (3.9) приводит к формуле
wT (й, b, vs) = ( |
2е2со2 |
|
Зя2е<)С3 |
4я |
|
d K 0 (u ) |
I |
х { [ du |
jo |
