книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

304 Гл. 5. Излучение отдельной частицы

Аналогично из соотношения (1.16) и выражений для потенциалов (1.38) и (1.39) имеем

Дальнейшие вычисления второго члена, входящего в пра­ вую часть формулы (1.49), несколько затруднительны. Поэтому здесь мы приведем только общую схему необ­

Е= — J {(Зш-г)г — г X IU X г]} — ^ — dx' —

или после обратного преобразования Фурье найдем

Из выражений для полей (1.48) и (1.53) видно, что они содержат слагаемые с разной зависимостью от рас­

зарядов движется как единое целое со скоростью v; 3)

полный заряд сохраняется постоянным, т. е. j р dx = е.

Задача носила бы совсем тривиальный характер, если бы в выражениях (1.38) и (1.39) вместо запаздывающих величин [р], [j] содержались обычные значения р, j, поскольку в таком случае можно использовать условия

ге< г и j р dx' = const = е. Однако здесь это исключено, так как

При наличии движения одна и та же часть заряда дает вклад в наблюдаемый сигнал в разные моменты времени из различных мест пространства.

Нетрудно связать между собой источник сигнала, при­ ходящего в момент t' = t — г/с, с долей de полного заря­ да е, которая дает вклад в излучение только в этот момент времени t — r/с. Если бы заряд покоился, то выполнялось бы соотношение

где через do обозначен элемент поверхности сферы, окру­ жающей точку наблюдения. Реально излучающая часть заряда de в случае, когда рассматриваемая система пере­ мещается в направлении «собирающей сферы» к точке наблюдения, будет меньше чем (de)v=0.

Таким образом,

de = [p(x', 0 ] docdt' — [\--^-р(х', t)^dodt’ —

Разрешив это соотношение относительно плотности запаз­ дывающего заряда и подставив полученное для нее выра­ жение в (1.38) и (1.39), найдем

(1.57)

которое справедливо при | х' | < | х |. Здесь у — угол, образуемый векторами х и х', Pi — полином Лежандра порядка I, а / г и h t — сферические функции Бесселя и Ханкеля [4]

idy) = ( - ^ ) lh Ji+vAy), hi ( y ) = ( ^ f ) 1/2Н1+у 2 (у), (2.3)

где / и Н — цилиндрические функции Бесселя и Хан­ келя.

Разложение (2.2) дает реальные преимущества при вычислениях только в том случае, когда можно перейти к асимптотическим формулам. Эта возможность сущест­ вует в одном из следующих четырех случаев:

поля излучения на высокой частоте при большой про­ странственной протяженности системы зарядов. Мы его

подстановка которой в выражение (2.1) приводит к инте­ гралам от суммы произведений

X M( x ') P * s in ( J iL l + i - b t ) .

Кроме того, данный случай не позволяет выявить какиелибо общие характерные свойства поля излучения.

Случай (2.46) относится к пределу | х | X, харак­ терному для низкочастотного поля излучения и распреде­ ленных зарядов, локализованных в малом участке про­ странства. Данный случай практически весьма интересен и позволяет, исходя из выражения (2.1), сделать ряд общих выводов. Он служит основой разложения по мультиполям Герца.

Случаи (2.4в) и (2.4г) мы здесь рассматривать не бу­

Итак, остановимся на исследовании случая (2.46), реализующегося при условии | х' I <С ^ ^ I х |. При этом воспользуемся асимптотическими выражениями

Подстановка выражения (2.6) в (2.2) дает ряд по мультипольным потенциалам:

(2-7)

г= о

в котором

т-ш _ ** е ~ ш \ х \ / с 2 щ

и4ле0

х ( ( ^ \ x ' \ ) lXa (x')P l (coSy)dx'. ( 2. 8)

Выше неявно подразумевалось, что начало системы координат выбрано внутри распределенного заряда; в про­ тивном случае рассмотрение упоминавшихся четырех слу­ чаев было бы лишено смысла. С учетом этого замечания из (2.8) видно, что разложение по мультиполям учиты­ вает вклады в излучение в убывающем порядке,^поскольку

ние (2.8) может дать представление об угловой зависимо­ сти излучения только тогда, когда источники распреде­ лены в пространстве в виде линии, а ось координатной системы выбрана в направлении линии распределения. Для рассмотрения же общего случая воспользуемся тео­ ремой разложения по сферическим гармоникам [5]

Разложим тензор Хш)(х' на сумму симметричной и анти­ симметричной частей

Учитывая соотношение ](0 = гсоХй), найдем вклад от анти­ симметричной части

(2.19)

Здесь D — магнитный дипольный момент системы рас­ пределенных токов:

Таким образом, антисимметричная часть члена первого порядка в потенциале Герца представляет собой поле, обусловленное магнитным дипольным моментом. Физи­ чески такой момент вызван осциллирующим круговым током.

Вклад в член первого порядка вектора Герца от сим­ метричной части

является электрическим квадрупольным тензором (момен­ том) рассматриваемой системы распределенных зарядов.

Суммируя сказанное, приходим к выводу, что член первого порядка в выражении для вектора Герца описы­ вает вклады от магнитного дипольного и электрического квадрупольного моментов, тогда как в нулевом порядке разложения учитываются эффекты от электрического дипольного момента. Аналогично проведенному выше рассмотрению можно показать, что в общем случае I-й член разложения вектора Герца представляет собой вклад в излучение, обусловленный электрическим муль­ типолем 2<1+1)-го порядка и магнитным мультиполем 2!-го порядка.

Выражения для электромагнитных полей соответ­ ствующих мультиполей можно получить непосредственно из соотношения (1.46). Здесь мы приведем лишь некото­ рые необходимые нам результаты:

1. Магнитное мультипольное излучение (I, т)-го по­ рядка любого заданного распределения зарядов в общем случае меньше электрического мультипольного излучения

срасстоянием как г-1.

3.Угловое распределение мультипольного излучения (I, ш)-го порядка в общем случае имеет весьма сложный характер и в основном определяется членом

-T U - т ) (l + m + l)\P 7 +i ]2 +

+ -L (I + т) (I - т + 1) | Р 7~1|2 + m2 | Р 7 12. (2.25)

4. Момент импульса, переносимый мультипольным из­ лучением (I, т)-го порядка в единицу времени, содержит лишь z-компоненту (dLJdt). Отношение данной величины к излучаемой мультиполем в единицу времени энергии

ds/dt равно

Этот результат хотя и получен в классическом рассмот­ рении, имеет квантовомеханическую интерпретацию, заключающуюся в том, что фотон Л®, излучаемый муль­ типолем (I, ш)-го порядка, уносит момент импульса, равный mh.

2.2. Электромагнитное поле одиночного заряда

Электромагнитные поля, излучаемые одиночным заря­ дом, однозначно определены потенциалами Лиенара — Вихерта

Напомним, что величины в квадратных скобках отно­ сятся к запаздывающему времени t' = t —г/с, а опера­ торы V и dldt, входящие в соотношения (2.28), имеют смысл V \t и dldt | х.

Трудности при использовании формул (2.28) и (2.27) возникают в связи с тем, что величины v и х' обычно задаются в виде функций от t' , так что в большинстве случаев приходится иметь дело с функциями Ф (х , t') и А (х, t'), а не с Ф (х, t) и А (х, t). Поэтому при вычис­ лениях по формулам (2.28), по-видимому, лучше выра­