книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

3 2 0

ДОБАВЛЕНИЕ П. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

L ( A ) = ?m(A);

при

т - у о о правая часть стремится к

9 (А), а это значит,

что и ле­

вая

часть при т —у со сходится. Таким

образом, ряд (9)

сходится

к матрице /(Л ) =

9 (Л).

Докажем теперь, что многочлен

r(z) =

[ z - /( X I)]‘‘ [ z - / W

] ‘* ••• [ z ~ f( K ) } kr

аннулирует матрицу /(Л ). Для этого рассмотрим многочлен

Фт (г) = [<fm (*) -

( М* I?» & ~ *

■

» ' ' *

•••[<Рт(2) — <?т(Хг)]кг

(’ О

и потому многочлен Фт (г) аннулирует матрицу А, т. е.

[9« (А) - tm а ,) Е)"' 1<?т(А) - <PmМ £]*‘'

• ••

=

... \ f ( A ) - f ( \ r)E]kr = 0,

а это и значит, что

многочлен Г (г) аннулирует матрицу / (Л).

Из доказанного,

в частности,

следует,

что

все собственные

зна­

чения матрицы /(Л )

содержатся

среди

чисел

(10) (см. §

34,

Е)).

Докажем, что каждое число (10) является собственным

значением

матрицы /(Л ). Пусть ht — собственный вектор

матрицы Л,

соответ­

ствующий собственному значению

Хг, так

что

5 35]

ФУНКЦИИ МАТРИЦ

321

Допустим теперь,

что круг сходимости

функции g(z) также со­

занного матрица g (A ) определена и существует многочлен

ф(г) сте­

пени

— 1, совпадающий с функцией g(z) на спектре матрицы А,

причем ф(Л) = £(Л).

Если теперь f (A) — g{A),

то ср(Л) =

ф(Л), и в

силу

предложения А)

многочлены y(z) и t|>(z)

совпадают

на спект­

спектре

матрицы А. Обратно, если

функции /( г )

и g(z) совпадают

на спектре матрицы Л, то

многочлены <p(z) и

tjj(z) также

совпа­

дают на спектре матрицы Л,

и потому в силу А) ср(Л) = ф(Л), но

тогда и f (A )= g (A ). Таким

образом, теорема 29 доказана.

Н е я в н ы е ф у н к ц и и м а т р и ц

Пусть

F(z,w) — функция

двух

комплексных

переменных,

задан­

ная рядом

F (z, w) — а -)- bz -(- cm -f- dz4 -j- ezw -f- fw %

(12)

при замене произведения

на w^z") функция F (г, w) не меняется.

Поэтому при подстановке

в ряд (12) м а т р и ц Л и В вместо его

ряд вместо z и w любые перестановочные матрицы А и

В, мы по­

лучим

сходящийся

матричный

ряд,

который

определит

некоторую

матрицу, обозначаемую через F (А, В). Однако доказывать сходимость

этого ряда в общем

случае

мы не будем, гак

как

ниже

рассматри­

ваются

лишь

такие

частные

случаи, в

которых

имеется

к о н е ч н о е

ч и с л о

членов,

зависящих от г, так что фактически

речь идет о схо­

дящихся рядах

о д н о г о комплексного

переменного

w.

В)

Пусть

F (z,

w ) — аналитическая

функция двух

переменных,

определенная

рядом

(12),

сходящимся

при

всех

значениях

z, w,

и Л — заданная

матрица. Пусть, далее, каждому

собственному

значе­

нию \ 1 матрицы

Л

поставлено

в соответствие

число [хг,

удовлетво­

ряющее условиям

Р{К>

Ц|) =

0, ^ F

( \ l t r , ) *

о,

1 = 1 .......

г.

(13)

Тогда существует перестановочная с

Л матрица В, удовлетворяющая

условию

F(A, В) = 0.

(14)

Далее,

если коэффициенты

ряда (12)

и

матрица Л

действительны

и если

для каждых двух

комплексно

сопряженных

собственных

322

ДОБАВЛЕНИЕ II. ЛИНЕШ1АЯ АЛГЕБРА

виачемий X,

и Х7 = Х( матрицы А соответствующие числа и |хутакже

комплексно

сопряжены: \>ч = \ху-, то существует действительная пере­

становочная с А матрица В, удовлетворяющая условию (14).

Докажем

предложение В). Из соотношений (13) в силу теоремы

бого

г

существует функция

W(z) — Wi (z),

определенная

для значений г,

близких к Х;, и удовлетворяющая условиям

F(z,

W(z)) =

0,

(15)

№(*,) = !*„

1 = 1 , ... , г.

(16)

^ j F ( z , 117(г))и. =

0.

(17)

Из этих соотношений

можно

последовательно

определить

числа

(X,),

/ = 1 , . . . ,

k t —

1, Z —

1,..., г.

(18)

пулю на спектре

матрицы А

(см. теорему 29).

При

вычислении

производных

(Xj) функции

Ф(г) в точке Х;, / =

0,

1 ,..., kt — 1,

функций производные порядков

0, 1....... kt — 1 в точке

Х; соответ­

ственно равны. Но при замене в

F(z,

<р(с)) многочлена

<p(z) функ­

цией W (г), определенной вблизи

Хг,

мы получаем тождественный

спектре матрицы

А.

Докажем теперь, что если коэффициенты ряда (12) и матрица А

действительны, а

числа

удовлетворяют

условиям

сопряженности,

т. е.

U7(XT) =

W(X^,

/ = 1 ,

.... Г,

то многочлен <р(г), а следовательно,

и матрица В = у(А)

действи­

тельны. В самом

деле,

при

этих предположениях

числа

WJ) (Хг),

вычисляемые из условий

(17),

удовлетворяют условиям (5),

и по­

тому многочлен ср (z) действителен (см. Б)).

Итак, предложение В) доказано.

324

ДОБАВЛЕНИЕ И. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Если матрица А преобразования А действительна, то

последователь­

ность

К

hm,

(2)

очевидно,

образует

серию с

собственным значением

X. Серии

(1)

и (2) будем называть комплексно сопряженными.

Если число

X и

векторы

(1)

действительны,

то серия считается

действительной.

Т е о р е м а

30.

Существует базис пространства

R, состоят,ий

ными собственными значениями были действительными,

а серии

с комплексными собственными

значениями

были попарно

сопря­

жены.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Д(2) =

(г -Х ,)* ‘

...

(* -Х ,)* '

(3)

— минимальный аннулирующий матрицу

А многочлен, где

Х„ ....

X,

— попарно различные собственные

значения

матрицы А.

В силу

предложения Ж) § 34 пространство R можно разбить в

прямую

сумму его подпространств St, ..., Sr,

соответствующих множителям (3),

так

что пространство 5 г

состоит

из

всех векторов х, удовлетворяю­

щих

условию (А — XiE)k‘x =

0.

Это

значит, что аннулирующим мно­

гочленом преобразования

А,

рассматриваемого

на пространстве S,,

ном

из двух комплексно сопряженных пространств, а во втором

взять

комплексно сопряженный баз^с.

3 2 6

ДОБАВЛЕНИЕ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

(а = 1, ... , гк)

(«)

ftк—I ’

ftк- 1

(rk- i ^ r k)

(7)

h \,

. . .

, h r i ,

(8)

1

l

линейно независимых относительно пространства

Tt_lt

причем

будут

выполнены

соотношения

ft1 = <Ж ,

( г =

1 ,

'1+ 1> П 5гП + !)-

Докажем теперь, что совокупность Vy всех

векторов,

принадле­

жащих всем системам

(8),

/ =

у, у — 1,

... ,

1,

составляет базис про­

странства

Т ]. Доказательство

будем вести индуктивно по числу у.

Для ] — 1 система V,

совпадает

с системой (8)

при j =

1

и

потому

является базисом пространства

7\(Т№— 0). Допустим,

что

наше

ут­

верждение

доказано для

системы

£у>

и

докажем

его

для

системы

,. Допустим, что имеет

место

соотношение

a, ft' +

в,/ + , hr] f t - f

ft, ft' 4-

... +

brj H'j -f- ...

== 0.

(9)

Применяя

к соотношению

(9)

преобразование

В1,

получаем:

a, ft14- ...

-4- ar

йгЯ-1 =

0,

J

1

1

1

y

1+ i

а это возможно лишь при условии ах—

...

= а г

= 0 ;

таким

об­

разом, в соотношение (9)

могут

входить

лишь

векторы

системы

виально.

Пусть теперь х — произвольный вектор пространства

7)+1.

Так как

система

(8) при / = у — 1 есть

максимальная линейно

неза­

висимая

система

относительно пространства

Ту, то существует

такой

вектор

y ~ a \ h ) + \ - J -

. . . +

a r y + i й ;/ + 1 ,

у Н-1

что вектор х —у принадлежит

пространству

7У и в силу предложе­

5 36]

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ

827

Итак,

доказано, что система

есть базис

пространства

5 = Г*.

Если

пространство 5, матрица А и число

X действительны, то,

выбирая

векторы системы (5) действительными,

мы получаем

дейст­

системы

(7).

Продолжая

таким

образом, мы

получаем

д е й с т в и ­

т е л ь н у ю систему

Покажем теперь, что система

состоит из

серий.

Именно,

по­

кажем, что векторы

Щ, h*, ... образуют

серию

с собственным

зна­

чением

X. Мы

имеем:

О = СЩ = {А — Х£) Л«,

так что

Ah*— Hi*', далее,

h] =

Ch* — (А — Х£) h*,

так что

Ahl — Xft* -)- ft’, и т. д.

Итак, теорема 30 доказана.

А

В построенном согласно теореме 30

базисе

преобразованию

соответствует

уже

не исходная

матрица

А = (а'.), а некоторая

но­

g'. = \,

/ = 1 ,

...

,

от;

£|. + 1= i,

t —

т — 1;

g j = 0

при у — I <^0

и при у — i

1,

т. е. матрица

/X

1

0 .

.

0

° \

0

X

1 .

.

0

0

0

0

X .

.

0

0

0

0

0 .

.

х

1

\ о

0

0 .

. о

х/

Оказывается, что для каждой

квадратной матрицы А порядка п

можно подобрать такую

невырожденную

квадратную матрицу S, что

матрица В — SAS~l, получаемая

из матрицы А путем трансформации

матрицей

имеет

ж о р д а н о в у

форму , т. е.

состоит из одной

328

ДОБАВЛЕНИЕ II.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

или нескольких

жордановых клеток, расположенных по ее главной

диагонали, в то

время как все элементы ее, не входящие в жорда-

новы клетки, равны нулю.

Докажем

это. Пусть

R — координатное векторное пространство

размерности

л и

Л — линейное

преобразование, соответствующее

(в

некоторой системе

координат) матрице А. Пусть теперь /,,

. . . , / „

—

базис

пространства

R,

составленный

из серий (см. теорему 30). Мы

предположим

векторы /,, . . . , / „

расположенными в таком

порядке,

что векторы каждой серии идут в

последовательности / , ........ /„

один

за другим.

Обозначим через

B =

(b‘p матрицу преобразования А

в базисе / „

... ,

/„.

Пусть

hi :=fl> •

• • •

==f т

Ь\ — \,

1= 1 ,

b\ +x= 1;

........ т — 1;

blj = 0

при / — 1 <^у ^/те

и при

Таким образом, первой серии последовательности / , ........ /„

соответ­

ствует

первая

жорданова

клетка

в матрице В. Точно так же второй

серии

базиса

/ , ........../„

будет

соответствовать

вторая

жорданова

клетка

в матрице В, и т.

д. Так

как

переход от

матрицы А к мат­

рице В осуществляется при помощи

трансформации (см. § 34, А)),

то S =

SAS-'.

Б) доказано.

Таким образом, предложение