Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3429 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

2 8 0	УСТОЙЧИВОСТЬ	[Гл. 5
Таким	образом, если
	' ^ т у А + т т у , < ( ,,
	о

то периодическое решение лг= <р(0 устойчиво по Ляпунову. В дей ствительности (см. пример) существует функция последования х (н) периодического решения лг= ф(() (см. § 28), для которой

		Х'(н#) =	*.		(42)
так что при	периодическое решение лг=			ф(() является грубым
предельным	циклом. Он устойчив при		А<^1 и неустойчив приА^>1.
Докажем	неравенство	(41). Основная матрица С решения К=			ЧГ(()
уравнения Y = A ( t ) Y с		начальным	значением	11г (0) = £ (см.	Л))
задается равенством

С= Ф (т).

Всилу формулы Лиувилля мы имеем:

			Т
			$ 5 (t)dt
		Det Ж (т) = Det ЧГ(0) •
где			<V‘ (V(0 )		у ч ф (0 )
	S(t) =	a\(t) + a*(t)	<V‘ (V(0 )		у ч ф (0 )
	S(t) =	a\(t) + a*(t)	дх1		дх*
			дх1		дх*
(см. § 17, Ж )). В нашем случае, когда матрица					С имеет второй поря
док и одно ее собственное значение равно				единице, а другое равно А,
имеем:
			<УЧ?(0) \| а/»(у(0)\
	I =	К: ftxi		Ох*	/ dt
	I =	Det С = еа
		П р и м е р
Пусть	<р(() — периодическое решение			автономной		системы	( 1)
(см. (3))	периода т	с начальными значениями			(0, аг0.	Решение	этой

системы с начальными значениями (0, § будем обозначать через ф((, |). Построим для решения ср(() аналог функции последования (см. § 28),

который	будет здесь отображением (п — 1)-мерпого		пространства пе
ременных	и1, . . . , ип~1 в себя.
Пусть	x — g(u);	и — (и1.........н" *)	(43)

— уравнение поверхности, пересекающей траекторию ф (() в единствен ной точке

■к» = ф (^> *») = £ ( « » )

( 44)

§ 311	у с т о й ч и в о с т ь	п е р и о д и ч е с к и х	р е ш е н и я	2 8 1
и не касающейся в этой точке траектории ф(£), так что векторы
	dg (Но)		dg (и»)	(45)
	Ф (<,),	да1 '	дип~1	(45)

линейно независимы. Найдем пересечение траектории <р (7, g(u)) с по верхностью (43) при t, близком к tQ-j- т, считая, что | и — и01 мало. Пусть g (v ) — точка пересечения; тогда справедливо соотношение:

фД> S («)) — g (®) =

(46)

При

и =

д0 мы имеем

очевидное

решение

уравнения (16)-:

* = *о + т;

43= «о

(см.

(4)

и (44)).

Здесь

мы считаем

независимым переменным, a t,

v — неизвестными

величинами. Так

как

функциональный определитель

системы

(46)

при t =

t0-\-t,

я =

н0,

v — u0 по

неизвестным функ

циям

и v

не

равен

нулю

в силу

линейной независимости

векто

ров

(45),

то при

малом

| и — и01 существует решение

t — t (и),

v = х (и)

системы

(46)

с малыми

11(и) — (?„-}-т)|

и iX(H) — ио1Отображение

/ (и) пространства переменных

и \

ип~1 в себя (определенное при

малом

| и — и0 1)

будем

называть

отображением

последования.

Каждому

решению и —

уравнения

Х ( я ) - « =

(47)

соответствует

периодическое

решение

ф (t,

g (u t))

автономного урав

нения

(1) (см. (3)) с

периодом, близким к т; в частности, решению

и = и№ соответствует

исходное

периодическое

решение

ф(<) =

= фД,

g (и0>). Если функциональная матрица

__(дУ (ио)

V, ) =

1.........я — О

ди?

не имеет

собственных

значений, равных

единице,

то

решение

и = «в

уравнения (47) является изолированным. В самом деле, функциональ

ная	матрица	уравнения	(47)	при и =	и0 равна
				М — Е*.
Для того чтобы детерминант этой матрицы не							обращался в нуль,
необходимо		и достаточно,		чтобы матрица		М не	имела собственного
значения, равного единице.
	Выясним	теперь вопрос		о том, всякая ли периодическая траекто
рия	проходящая вблизи траектории К, описываемой решением ф (0 .
описывается		решением	q>((,	g (u t)),	где ut есть		некоторое решение
уравнения (47). Именно гак				обстояло	дело	в плоском		случае (п = 2).
Оказывается,		что при	п ^ 3	дело обстоит		уже не	гак.	Разберем этот

2 8 2

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гл. 5

вопрос.

Будем

считать, что

т есть минимальный период решения ф (t),

т. е. что

равенство

ф (^ +

0 = ф^<>)

может

иметь

место

лишь

при

условии,

что t — kz, где k — целое

число

(см. § 15, В)). Если траектория

К\ близка к траектории К,

то

она

пересекается

поверхностью (43) в некоторой точке #(«,),

причем

| И) — и01 близко

к нулю. Положим:

г («i)>

«з=

г («»). • • •.

о;+i=

г ш , ...

Так

как

траектория

Ki — замкнутая, то

этой

последовательности

найдется

точка, совпадающая

точкой a t;

пусть

и*+1 будет первая

из них. Тогда

траектория Ki

описывается

решением ф (t, £ («О), при


чем минимальный ее период близок к числу kz; решение ф(И,						g(Ui))
замыкается	только после того,	как оно k раз	обойдет		вдоль	траек
тории ф(0-	В плоском случае возможен лишь		случай		k = \ .	Будем
называть число k кратностью		траектории К\-	Для	отыскания		д в у-
к р а т н ы х	траекторий нужно решать не уравнение			(47), а уравнение

х(х (»)) — « = о;

для отыскания трехкратных траекторий нужно решать уравнение:

XlX(X («))] — « =	о
и т. д. Функции Х(Х(Н))> XlX(X (“)))>	называются итерациями

функции х(и); ^-кратную итерацию обозначим через %к (и). Таким образом, для нахождения всех А-краткых периодических решений,

близких к	решению	ф(£), следует решать уравнение
		г ь {и) — и = 0,	(48)
но из всех	решений	уравнения (48) следует брать лишь те,	которые

не являются решениями уравнений предшествующих кратностей; ре


шение и — м0 уравнения			(47) является решением и всякого уравне
ния (48). Функциональная			матрица уравнения (48) при и = и0 равна,
очевидно, Мк —		таким	образом,		для того чтобы уравнение (48)
имело лишь	одно	решение и =		нв,	близкое	к	а 0, достаточно, чтобы
детерминант	матрицы Мк — Е*			был	отличен	от	нуля,	или, что то же,
чтобы матрица Мк не имела собственных значений,								равных единице,

или, наконец, чтобы матрица М не имела собственных значений, рав

ных к/ 1. Таким образом, для того чтобы вблизи траектории К не было периодических траекторий данной кратности k, достаточно,

чтобы	матрица М	не	имела собственных	значений, равных к/ 1.
В частности, таких собственных значений у				матрицы М нет, если все
ее собственные значения по модулю меньше единицы.					матрица М
Из	сказанного	видно, какую важную		роль играет
в изучении траекторий			автономного уравнения (1) (см.		(3)), близких

5	з п		УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ							283
к	периодическому			решению			<р (t). Покажем теперь, что если			уравне
ние		(7)	имеет характеристическое число единица кратности							единица,
то		при	некотором	выборе поверхности (43) матрица М совпадает
с матрицей С* (см.				(23)).		Положим:
			й (0 -		^	7	-	1\|=Ло;	* ( 0 = (фу (0).
В силу предложения					В) § 24,			мы имеем:
						Ч? (t) = A (t) ЧГ (0,				(49)

причем выполнено начальное условие:

*(*.) = £

Таким образом, матрица ЧГ (t) представляет собой решение матричного уравнения (49), являющегося матричной записью уравнения (7), и потому

V( i 0

= С.

Так как матрица С имеет собственное значение единица кратности единица, то в пространстве векторов у (см. А)) можно выбрать такой базис, что матрица С запишется в виде (23). Выберем теперь за коор динаты в фазовом пространстве уравнения (1) (см. (3)) компоненты вектора у, положив:

(ср. (5)). Полученные таким образом в фазовом пространстве коорди наты вновь обозначим через х 1, . . . , х п и поверхность (43) зададим уравнениями:


		л;1= гг1, . . . ,	х п~1 = гг"-1,			х" = 0.
Дифференцируя соотношение (46) по гг1, . . . ,						гг"^1 при в =		0, t = / 0-)-
—(- т, гг — 0	в	предположении, что			t = i (в)	и ‘о =	х(и ) — функции
переменных	гг1,	. . . , гг"-1, получим		равенство
			С* =	М.				(50)
В случае,		когда п — 2,	матрица		С* есть скаляр		X, и	соотноше

ние (50) дает равенство (42).

Если все собственные значения матрицы С* по модулю меньше единицы, то вблизи траектории К нет периодических решений никакой кратности. Это следует из оценки (36).

ДОБАВЛЕНИЕ I

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

Это добавление содержит два параграфа, посвященных двум со вершенно различным вопросам анализа.

В § 32 приведены основные факты, относящиеся к понятию непре рывности в пространстве многих переменных; важное место в этом параграфе занимает понятие открытого множества. Я придаю суще ственное значение тому, что правые части дифференциальных уравне ний считаются заданными на о т к р ы т ы х множествах. Точно так же я считаю существенным, что решение, зависящее от параметров, ока

зывается естественным образом		определенным на о т к р ы т о м мно
жестве (см. теорему	13). В связи	с этим	четкое понимание того, что
представляет собой	открытое множество,		совершенно необходимо для

понимания теорем существования решений обыкновенных дифферен циальных уравнений.

В § 33 приведено доказательство теорем существования неявных функций и некоторые их применения.

Вопросы, затронутые в этих двух параграфах, не всегда с доста

точной точностью и полнотой	освещаются в курсе анализа, и потому
я позволил себе включить их	в эту книгу.

§32. Топологические свойства евклидовых пространств

Ванализе важную роль играет геометрическое изображение или, как говорят, геометрическая интерпретация аналитических соотноше ний, т. е. формул. Геометрическая интерпретация дает возможность установить связь между формулами и геометрическими образами и гем самым на помощь анализу привлекает геометрическую интуицию. Образец такой связи между формулами и геометрическими образами дает аналитическая геометрия. В прямом смысле слова геометрические образы могут рассматриваться на плоскости и в трехмерном простран стве, но анализ, имеющий дело с многими переменными, пользуется геометрическим языком и в многомерных пространствах. Здесь мы

§ 32]

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

28 5

будем рассматривать многомерные евклидовы пространства, представ ляя их себе одновременно как векторные. Важнейшими геометриче скими свойствами геометрических образов являются топологические свойства; на простейших из них мы здесь и остановимся.

Е в к л и д о в ы п р о с т р а н с т в а

Напомним прежде всего понятие я-мерного евклидова векторного пространства.

А) Будем называть п-мерным вектором последовательность из п действительных чисел; числа эти называются координатами вектора. Их мы, как правило, будем обозначать одной и той же буквой с но мерами в виде индексов наверху, например через х 1, х а, . . . , х п; сам вектор будем обозначать той же буквой, только жирной, в данном случае — буквой х. Формулой эго запишем в виде:

а: = (л:1, х*....... х п).

Совокупность всех я-мерпых векторов будем называть п-мерным век торным пространством и обозначать одной большой буквой, напри мер через R. Сумма и разность двух векторов

X = (х1, х \ . . . , х п),		у = (у1, у , . . . . у п)
определяются формулами:			*
х -Ь У = (-К1 + У .........	* " + У ) ;	х — у = ( х ' — у х...........	х п — у п).

Произведение вектора х па действительное число а определяется фор мулой

ах — (ах1.........

ах").

Особую роль в векторном пространстве играет нулевой вектор 0, все координаты которого равны нулю. Таким образом, в векторном про странстве определены алгебраические операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. В евклидовом векторном пространстве определена, кроме того, операция скалярного произве дения двух векторов. Именно, если т и у — два произвольных век тора, то в соответствие им ставится число (х, у), называемое их ска лярным произведением и определяемое формулой

(х, у) — х !у '-\- ... -j-х"уп.

Ести вектор у совпадает с вектором х, то мы получаем скалярный, квадрат (х, х) — х 2 этого вектора, который всегда неотрицателен и обращается в нуль только при х = 0. Длина, или модуль, вектора х определяется формулой

\x \ — + V(X, х).

В дальнейшем мы часто будем векторы называть также точками

28 6	ДОБАВЛЕНИЕ Т. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

евклидова пространства R. За расстояние между двумя точками х и у принимается модуль разности векторов х и у, т. е. число \ х — у |.

Установим теперь некоторые основные неравенства для скалярного произведения и расстояния в евклидовом пространстве.

Б) Для любых двух векторов х и у евклидова векторного про странства имеют место неравенства:

(х, y f < х У ,	(!)
l * + . y \| s £ l * l + M -	(2)

Далее, для любых трех точек а, Ь, с евклидова пространства имеет место неравенство

\а — с\ < | а — 6 | + |6 — с\.

(3)

Для доказательства первого неравенства рассмотрим вектор их -[-у, где а — произвольное действительное число, и составим скалярный квадрат этого вектора. Мы имеем:

	( а х - f - у ) 2 =		т2-аХ(х-, -у{) - - j- у 1.
Так как скалярный		квадрат вектора не может быть отрицательным,
то величина, стоящая в правой			части последнего равенства, ни при
каком	значении а	не может принимать отрицательного значения, и
потому	квадратное	уравнение

a'V -j- 2a (х, у) + / = ()

относительно неизвестной величины а не может иметь двух различных действительных корней. Отсюда следует, что дискриминант этого ква

дратного уравнения, т. е.				получаемое при его решении подкоренное
выражение (х, у)2— х 2у 2,				неположителен, а это			и значит,		что выпол
нено неравенство ( 1).
Для доказательства			неравенства (2)		возведем		в квадрат		его левую
часть;	мы будем иметь:
		I * -i У I2= (а: - 1-у)2= х4			2 (х, у ) + у \
а это,	в	силу неравенства		(I), дает:
		I X -\-у I4	\| х	\| X I \|у I +	\|у ;9 == О X i - Н у I)4-
Из этого		непосредственно		следует неравенство		(2)		(так как оба числа
\|х \|, \|у \|		неотрицательны).				(3)		достаточно в нера
Наконец, для доказательства неравенства
венстве (2) положить			х — а — Ь, у — Ь — с.
Итак,		предложение	Б)	доказано.

321 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 28 7

О т к р ы т ы е , з а м к н у т ы е и о г р а н и ч е н н ы е п о д м н о ж е с т в а е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а

Напомним определения операций объединения и пересечения мно жеств — в данном случае множеств, расположенных в евклидовом пространстве R. Пусть

		М и М2.........М„				(4)
— произвольная	конечная система множеств пространства R. Опреде
лим множество	5, считая, что точка х		из R	тогда и только		тогда
принадлежит 5,	когда	она принадлежит	х о т я	бы о д н о м у	из	мно
жеств (4). Множество		5 называется объединением множеств (4). Опре
делим, далее, множество Р, считая, что точка				х из R тогда	и только
тогда принадлежит множеству Р, когда			она принадлежит к а ж д о м у

из множеств (4). Множество Р^называется пересечением множеств (4). Пусть М — произвольное множество из R. Определим множество D, считая, что точка х из R тогда и только тогда принадлежит множе ству D, когда она не принадлежит множеству М. Множество D назы вается дополнением множества М. Очевидно, что дополнение множе

ства D совпадает с М.

Пусть
	Dy D2, ...,	Dh	(5)
•— система множеств,	дополнительных	к множествам (4), так что Dt
является дополнением	множества М{.	Легко усмотреть,	что дополне

ние к объединению множеств (4) является пересечением мно жеств (5) и, наоборот, дополнение к пересечению множеств (4) является объединением множеств (5).

Перейдем теперь к установлению некоторых простейших тополо гических свойств множеств, расположенных в евклидовом простран стве. Эти свойства, в основном, связаны с определением понятий

открытого и замкнутого множеств в евклидовом пространстве

В) Пусть

а — произвольная

точка евклидова пространства R и

г — произвольное

положительное

число. Множество всех точек из R,

расстояние которых

до

точки

меньше г,

называется шаром

ради

уса г

с центром

в а. Всякий

шар с центром

в а называется

окре

стностью

точки

(ниже — см.

пример

3 — понятие

окрестности

будет расширено). Множество О

точек

пространства R

называется

открытым, если для всякой

точки

а из

G существует ее окрестность,

целиком содержащаяся в множестве G.

Пусть М — произвольное мно

жество из R. Точка а из R называется

предельной, для множества М,

если

каждая

окрестность

точки

а содержит точку множества М,

отличную

от

а. В этом случае

каждая

окрестность точки а обяза

тельно содержит б е с к о н е ч н о е

множество точек из М. Множество F

точек

из

называется

замкнутым,

если

каждая его

предельная

2 8 8 ДОБАВЛЕНИЕ I. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

точка принадлежит ему. Оказывается, что дополнение к любому открытому множеству вамкнуто, а дополнение к любому замкнутому множеству открыто.

Докажем предложение В). Покажем прежде всего, что если каждая

окрестность

точки а

содержит

хотя

бы

одну

точку

множества М,

отличную от а, то она содержит бесконечное множество точек

мно

жества М. Пусть Ui — произвольная

окрестность

точки а

и г, — ее

радиус. Пусть далее jct — отличная

от а

точка

множества М, содер

жащаяся в

U\. Так как х хф а,

то

| х, — а | =

г.2^> 0.

Шар

и г ради

уса гг с центром в точке а

не содержит

точки лг„

по он

содержит

некоторую

точку jc4

множества

М,

отличную

от

а.

Продолжая

этот

процесс дальше,

мы получим бесконечную последовательность х „ ...,

х к, ... попарно

различных

точек множества

М,

содержащихся

в £/,.

Докажем последнее утверждение

предложения

В).

Пусть О — не

которое множество из R и

F — его дополнение. Допустим

что

О —

открытое множество,

и докажем,

что F — замкнутое. Пусть

а — пре

дельная точка множества F; покажем, что она принадлежит множеству F, т. е. не принадлежит множеству О. Допустим противоположное, т. е. что точка а принадлежит О. Тогда, в силу предположенной откры тости множества О, существует окрестность точки а, целиком содер

жащаяся в О и, следовательно,	не содержащая	точек	из F,	а	это
значит, что точка а не является предельной для F.
Допустим теперь, что множество F замкнуто, и докажем, что
множество G открыто. Пусть а — произвольная		точка	из G. Так		как
она не принадлежит множеству	F, то в силу	замкнутости		она	не

является его предельной точкой и потому существует окрестность

точки а, не	содержащая отличных		от а точек	из F; но а	также не
принадлежит	F, и потому	вся эта	окрестность	содержится	в	G. Тем
самым доказано, что множество G открыто.
Таким образом, предложение В) доказано.
Очевидно, что все пространство R является одновременно откры
тым и замкнутым. Далее,		каждое	к о н е ч н о е	множество	F	из R
замкнуто. В самом деле, множество F вообще				не имеет предельных
точек и потому содержит		их все, т. е. замкнуто.

В случае, когда размерность векторного пространства R равна единице, это пространство совпадает с множеством всех действитель

ных чисел, и алгебраические операции над	векторами превращаются
в обычные операции над действительными	числами, а модуль совпа

дает с модулем числа. Расстояние между двумя точками а и b в этом

случае	равно	модулю	\| а — Ь\ их разности.			Непосредственно	видно,
что в	пространстве действительных			чисел		множество всех точек х,
удовлетворяющих неравенству х < ^ а				или неравенству лг^>а, где				а —
фиксированное		число,	является открытым.		Дополнение к этому			мно
жеству, определяемое			неравенством	х ^	о.	или неравенством	х ^ а ,
замкнуто.

32]

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

289

Г) Объединение и пересечение конечного числа открытых мно жеств евклидова пространства R открыты. Объединение и пересече ние конечного числа замкнутых множеств пространства R замкнуты *).

Докажем это. Пусть

о „ о 4, . . . , о А

(6)

— конечная

совокупность

открытых

множеств

пространства

R. Дока

жем, что их объединение

открыто.

Пусть

а — произвольная

точка,

принадлежащая этому объединению; тогда она

принадлежит

хотя

бы

одному

из

множеств (6), например, множеству О,-. Так как множество Ot

открыто, то существует окрестность точки а, содержащаяся в G,; но

тогда

эта

окрестность содержится

в объединении’'! множеств

(6).

Докажем, что пересечение множеств (6) открыто. Пусть а — про

извольная точка

из

этого

пересечения;

тогда

она принадлежит

каж

дому множеству

системы (6). Так как множество О,-

открыто,

то

существует

шар радиуса rt с центром

в а,

содержащийся

в Ог. Пусть

г — минимальное

из

чисел

гь гъ . . . ,

rk; тогда

шар радиуса

г с цен

тром в а содержится в каждом из множеств системы (6) и, следова тельно, принадлежит их пересечению. Таким образом установлено, что пересечение множеств (6) открыто.

Переходя от открытых множеств (6) к их дополнениям,					мы полу
чим соответствующие результаты относительно				замкнутых	множеств
(см. В)).
Таким образом, предложение Г) доказано.
Д) Пусть	R — евклидово	пространство,
	Й1>	... I я*> ...			(7)
— некоторая	бесконечная последовательность		точек из R и		М — не
которое множество точек из R. Заметим, что последовательность
отличается от	множества не	только тем, что	ее	точки занумерованы,

но также тем, что точки с различными номерами могут совпадать между собой. Поэтому множество всех точек, входящих в бесконечную по следовательность, существенно отличается от самой последователь ности; в частности, оно может быть конечным. Последовательность (7) называется ограниченной, если существует такое число г, что для

каждой	точки	а к		последовательности		(7)	выполнено	неравенство
\| в* \| < г.	Точно		так	же, множество М		называется ограниченным, если
существует такое число г, что для					каждой		точки х из	УИ выполнено
неравенство		R,		Говорят, что	последовательность (7) сходится
к точке	а из		если имеет место		соотношение
				Jim \| ak — а \| = 0.				(8)
				k - ♦ С О

*) Нетрудно доказать, что всегда объединение л ю б о й системы (не обя зательно конечной) открытых множеств открыто, а пересечение л ю б о й системы замкнутых множеств замкнуто. Нам эти факты не понадобятся.

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3429 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ