Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3428 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

2 7 0	УСТОЙЧИВОСТЬ	[Гл. 5
В дальнейшем	мы будем считать, что правые части системы (1)	имеют

на множестве Г вторые непрерывные производные по координатам

вектора х. Произведя в	системе (1)			замену переменных (5),			принимая
е о внимание, что <р(£) есть		решение		уравнения (1),		и разлагая пра
вые части по у, получаем:
У '2 - - П Г ? , ® V + ' ' V .y )							(6)
	J
Липеариз я эту систему,	т.	е. отбрасывая			члены г‘	второго	порядка
малости относительно у,	получаем		линейную систему:
		j>=	А (0у,				(7)
где A (t) — матрица с элементами
	а‘	(() :		дх!
				дх!
Будем считать теперь, что		правая	часть		уравнения	(1) — периодиче
ская периода х по ( (см. (2)) и что				решение q> (/) — также			периоди

ческое периода т. При этих предположениях линейная система (7)


является		периодической периода т:
		а '( * + 0 = : а‘(0 ,		/, 7 = 1 , .... п,
так	что	можно говорить о ее характеристических числах (см. § 19, Д)).
Оказывается, что в			случае, когда	система (1) автономна (см. (3)),
а ее	периодическое		решение <р(/)	отлично от положения равновесия,

линейная система (7) обязательно имеет одно характеристическое число

равным	единице.									удовлет-
Докажем последнее утверждение. Пусть Т (/) — матрица,										удовлет-
воряювгая		матричному	уравнению
с начальным условием			Ч' = А (() ЧГ
с начальным условием			Чг((,.) = £							(8)
			Чг((,.) = £							(8)
и пусть	С — основная		матрица	решения		Ч1, (/)	(см.	19, А)),		так что
			»Г(/ +	т) = Ч-(0С.						(9)
Непосредственно проверяется, что всякое решение								ф (0	векторного
уравнения		(7) записывается в виде:
			Ч>(/) =	Ч'(*Ж /о).
Из этого		и из соотношений (8)		и	(9) следует
			Ч> (<« +	) = £('•)•						(М)
Примем	теперь во внимание, что				система	(1)	автономна.		Мы имеем
(см. (3)):			Ч (0 =		/ ( ч ( 0 );
			Ч (0 =		/ ( ч ( 0 );

$ 311

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ

271

дифференцируя это соотношение по t, получаем; .

Ф ( 0 = Д ( 9 Ф ( 9 .

Таким образом, векторная функция ф(£) удовлетворяет векторному уравнению (7). Но векторная функция ф(£) является периодической с периодом т; таким образом, из (10) получаем:

		Ф(<о) =	Ф (о + "0 = Сф („),	(И )
а гак	как ф (£0) ф 0	(ибо ф (t) не есть положение равновесия),		то из
этого	следует, что	матрица	О имеет собственное значение,	равное

единице, и, следовательно, одно из характеристических чисел уравне ния (7) равно единице.

Т е о р е м ы Л я п у н о в а и А н д р о н о в а — Ви т т а

Теперь мы можем формулировать достаточные условия устойчи вости периодического решения ф(7) для случая, когда система ( 1) пе

риодична, и для случая, когда она автономна.
	Т е о р е м а	25. Пусть уравнение (1)	периодично по t		с периодом
х	(см. (2)) и	<р (t) — его периодическое	решение	также	периода х
(см. (4)). Если		все характеристические числа		уравнения (7) (см.
§	19, Д)) по модулю меньше единицы,		то решение ф (t)		асимпто

тически устойчиво; более того, существует такое число <з^>0,

что	при \| дг,.— дс0 1<С]а имеет место	оценка:
	1ф(Л t0, ~ \|)-Ф Ml		* > 1»‘	(12)
где	г и а — два положительных числа,		не зависящих от л:,.
Т е о р е м а 26. Пусть уравнение		(1)	автономно, и	ф (/)— его

периодическое решение периода т, отличное от положения равно весия. Если характеристическое число уравнения (7), равное еди нице, имеет кратность единица, а все остальные характеристи ческие числа уравнения (7) по модулю меньше единицы, то реше ние ф(<) устойчиво по Ляпунову.

Теорема 25 принадлежит Ляпунову. Теорема 26 принадлежит Андро нову и Витту, которые получили ее как довольно простое следствие

одной весьма тонкой			теоремы Ляпунова. Здесь	дается другое дока
зательство теоремы 26, опиракшееся на метод Ляпунова.
Доказательствам		теорем 25 и 26 предпошлем		построения,	нужные
в обоих	случаях.		определение производной	некоторой	функции
В §	26 было дано
в силу	автономной	системы уравнений. Дадим его здесь для случая

неавтономной системы. Б) Пусть

F (x) — F (л-1........ х п)

27 2	УСТОЙЧИВОСТЬ		[Гл. 5
.— некоторая скалярная	функция	векторного переменного х. Произ
водную F{i) (/„, jc„) этой	функции	в силу системы (1) в точке	дг(,

определим следующим образом.	Пусть q>(0— решение уравнения (1)
с начальными значениями <0>	Положим:
f(i)(^o. *о) =	F (<Р (0)

Осуществляя указанное справа дифференцирование, получаем:

уdF(x)

F0 )(t, *)■	дх‘		f ( ( ,	х).
	i—I
В случае, если система (1) автономна,		производная F{i)(t,			х) функ
ции F (х) в силу системы ( 1)	в точке	t,	х не	зависит от	t.
В) Пусть
z =	B z-\-p (t,		z)		(13)

— нормальная система дифференциальных уравнений в векторной за писи, где В = (Ь'.) — постоянная матрица, все собственные значения

которой имеют отрицательные действительные части, a p it, z ) —■ остаточный член, определенный при t ^ t u, |г |< ^ с (с^> 0) и допу скающий оценку

		\p(t, z )\< z p \z \\						(14)
где р — положительное число. Оказывается, что					решение г =			0 урав
нения	(13)	асимптотически устойчиво;		более	того,		для	решения
z — %{t, Zi)		с начальными значениями f0,		z t,			имеет место
оценка			(	.				(15)
				*>'<>•
где г,	а — положительные числа,		tie зависящие		от	г,.
Предложение В) доказывается			совершенно		так	же,	как	теорема

Ляпунова (см. § 26). Проведем это доказательство без излишней дета

лизации.	Ляпунова для	линейной системы
Пусть W (z) — функция	Ляпунова для	линейной системы
	z — Bz			(16)
с постоянными коэффициентами (см. §		26, Д)),	так	что выполнено
неравенство
W , ( г ) = 2	Ь /‘	(*>	0	> 0).

i. i

Из этого неравенства в силу оценки (14) получаем при

W (z) ct

S 311	у с т о й ч и в о с т ь п е р и о д и ч е с к и х р е ш е н и и		27 3
неравенство
* ,» , &	= 2 ПГг?~ Ь/‘	+ 2 д~ЪГ-Р1ft z) < — 2w ()>
	«\;	i

где a < (p и ct — некоторые положительные числа. Положим:

w (t) = W ( i (t, г,)),

где

W ( г ,) < с 2.

Для

функции w(t),

t ^ t a выполнено

неравенство

w (t) =sS — 2aw (t),

(17)

если только для нее имеет место соотношение

Из

(17)

следует,

что пока

имеет место

неравенство w ( t ) ^ c b

функ

ция

w (t)

убывает,

точнее не возрастает, а так

как в начальный

мо

мент t — t„ выполнено неравенство

w (t)< ^cb

то точка

%(t,

z t)

не

может покинуть

замкнутого множества

определяемого

неравенст

вом

1 С ( , г ) « ^ е 2,

потому

решение %(t,

г , ) определено для

всех зна

чений t ^

t9 (ср.

22, Б),

В)) и для

всех

этих

значений

имеет

место

неравенство (17). Считая теперь,	что г, ф 0,	мы можем произвести
следующие выкладки, исходя из	неравенства	(17):
w (t)	. Оп
W(t)

или, интегрируя, получаем:

In w (/) — In w (tv) ^ — 2a (t — t6),

а из этого следует:

w (t) «s « ’ (*#) e~ 2“ {t ~ /o).

или, что то же,

Из этой оценки непосредственно вытекает оценка (15). Таким образом, предложение В) доказано.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 25

В силу теоремы 12 существует преобразование

y = T { t ) z ,

(18)

где матрица T(t) действительна и имеет период 2т, при котором уравнение (7) переходит в уравнение

z = Bz

2 7 4

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гл. 5

с постоянной

действительной

матрицей В.

Решением

уравнения

z= ^B z

является

матрица

(см. § 19, В)),

и потому

матрица

е '

является

основной

для этого уравнения, а значит, и для

уравнения (7).

Таким образом, в силу предположений теоремы

все

собственные

значения матрицы

е '

по

модулю меньше единицы. Но

согласно тео

реме 29

собственные значения

матрицы е2‘в

имеют

вид

e2zX,

где А.

пробегает

все

собственные значения матрицы

В. Таким образом,

|е * ^ |<

и потому

все собственные значения

матрицы

В имеют от

рицательные действительные части. Применяя преобразование пере

менных	(18)	к уравнению			(6),	мы приводим его к виду (13), и для
его решения		z =	%(t,	z x)	получаем оценку (15). Из этой				оценки
в силу	невырожденности матрицы T(t) получается оценка (12).
Таким образом,			теорема		25	доказана.
		Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 26
								♦
Исходя из предположения, что уравнение (7) имеет характеристи
ческое	число	единица		кратности один, а все остальные его					характе
ристические числа			по модулю меньше единицы,					покажем, что суще
ствует	такое	преобразование:
					y = T ( t ) z				(19)
с действительной			матрицей		T(t)		периода 2т,	переводящее	уравне
ние (7)	в уравнение					z =	Bz		(20)

с постоянной матрицей В, которая имеет вид:

В*
В-.	(21)
"о
где В* — квадратная матрица порядка	п — 1, все собственные значе

ния которой имеют отрицательные действительные части.

Пусть С — основная матрица некоторого решения матричного урав

нения (см. (7))
У = A (t) Y.	(22)

Так как матрица С имеет собственное значение единицу кратности один, то в некотором базисе она имеет вид:

где С* — действительная квадратная матрица порядка п — 1, все собст венные значения которой по модулю меньше единицы (см. § 34, Ж), 3)).

5 зц УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ 275

Так как матрица С и матрица (23) получаются друг из друга транс формацией, то матрица (23) является основной для некоторого реше ния уравнения (22); мы будем считать, что С совпадает с матрицей (23). В силу предложения Г) § 35 существует действительная матрица В*, удовлетворяющая условию:

причем в силу теоремы 29 все собственные значения матрицы В* имеют отрицательные действительные части. Очевидно, что матрица В (см. (21)) удовлетворяет услсвик:

			e ' R= (У
(см. (23)).	Таким образом		(ср. доказательство	теоремы 12),	сущест
вует преобразование (19), переводящее уравнение				(7) в уравнение (20).
Выясним теперь,		каким условиям должна		удовлетворять мат
рица T(t),	для того	чтобы	преобразование (19) переводило		уравне


ние (7)	в уравнение		(20). Дифференцируя соотношение (19),						получаем:
	j) =		T(t) z +	Т{1) z =	T(t) z +	740 Bz.
Заменяя	в этом	соотношении		z по формуле		z = T ~ l (t)y,			получаем:
			y = (T (t)+ T (t)B )T - '(t)y .
Так как	это уравнение совпадает с				уравнением		(7). то	мы	имеем:
			( 7 4 0 + 7 4 0 5 ) г - 1 ( 0 = Л (О
и, умножая это		соотношение		справа	на матрицу		T(t),	получаем:
			т ( t) + T ( t) B = A ( t) T ( () .						(24)

Это условие, налагаемое па матрицу T(t), является необходимым и достаточным для того, чтобы преобразование (19) переводило урав нение (7) в уравнение (20). Расщепим соотношение (24) на два, пред ставив матрицу T(i) в виде:


	T (t)= (T * (о,		t m
где матрица Т* (t)	имеет	п строк и п — 1 столбцов,		а	матрица	t(i)
представляет собой	последний столбец		матрицы Т (t)	и	потому	яв
ляется отличным от	нуля вектором. Мы имеем (см. (21)):
	Т* (0 +	Т* (0 В* — A (t)T * (t),				(25)
		i ( t) = A ( t) t( t) .				(26)

Из последнего соотношения видно, что t(t) есть периодическое ре шение периода 2т уравнения (7) и потому для него выполнено

27 6	УСТОЙЧИВОСТЬ		[Гл. 5
условие (ср. (10)):
t{t,) = t{t, +		2z) = C 4(Q .
Таким образом, вектор	t(t0) есть	собственный вектор	матрицы С1
с собственным значением	единица.	Так как матрица

имеет единицу собственным значением кратности один, и уже известен один вектор ф(^о)т^О с этим собственным значением у матрицы С1 (см. (11)), то мы имеем:

		*(^о) = тФ№>)
и потому			М
		*(0 =		тФ (О
(ибо	обе векторные	функции	t(t),	ф (0	являются решениями		уравне
ния	(7)). Из этого видно, что если			в матрице T(t)		заменить ее	послед
ний	столбец t(t)	вектором	ф((), то		вновь	полученная	матрица

(Г* ((), ф(0) будет удовлетворять условиям (25) и (26). Поэтому мы


будем считать, что				T(t) = (T*(t),		ф(0).				(27)

Исходя из полученных соотношений (25), (27), преобразуем неиз
вестную		функцию	х	уравнения (1) в автономном				случае	(см. (3))
в новые		неизвестные		функции z, s, где г = (г1, ...,				г'1-1)	есть век
тор	размерности п —			1, который в дальнейшем			мы будем рассматри
вать	как	матрицу с одним столбцом, a s				— новое скалярное			перемен
ное. Для этого положим:
			jc =	Т* (s) z* -f- q> (s) =		g (г*,	s).			(28)
Это преобразование периодично по s с периодом 2т. Каждой паре г*,
s при достаточно			малом ] г* \		соотношение (28)		ставит в соответствие
точку лс, близкую к точке ср (s) периодической							траектории		К,	опре
деляемой		решением jt = (p(i).			Вблизи каждой		пары	z* =	0,	s = su

отображение (28) взаимно однозначно, так как функциональный опре делитель этого отображения в точке г* = 0, s = s0 равен детерми нанту матрицы T(s0) (см. (27)) и потому отличен от нуля. Коорди

нату	s пары (z *, s) будем считать циклической координатой				периода 2т,
т. е.	будем	отождествлять	пары (z*, s)	и (г*, s - } - 2 t	) .	Так	как
пары	(0, s0)	и (0, s 0 - [ - t )	преобразованием	(28) переводятся		в	одну

и ту же точку (р (s0) траектории К, то некоторые окрестности пар (0, s„)

и (0, s„ -j- т)	отображаются	взаимно однозначно па	одну и ту	же
окрестность точки ф (5в) линии К■ Таким образом,			отображение	(28)
д в у с л о й н о	накладывает	множество всех пар (г*, s) (при достаточно

$ 31]	УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ			277
малых	\| 2*\|) на некоторую		окрестность линии К . При этом	замкнутая
кривая,	состоящая	из всех	пар (0, s), 0 ^ s ^ 2x, дважды	наклады
вается	на линию	К-

Заменим теперь в уравнении ( 1) (см. (3)) неизвестный вектор х по

формуле (28).	Подстановка в		левую часть дает:
	х =	Т' (s) zs -f- Т* (s) z* -j- <p' (s) s.		(29)
Подстановка в	правую часть		дает:
/	(X) =	/ (q> (s)) +	A (s) Т* (s) z* - f R (s, 2*),	(30)

где остаточный член R (s, г*) периодичен no s с периодом 2т и имеет второй порядок малости относительно вектора 2 *. Приравнивая правые части соотношении (29) и (30), получаем:

Т* (s) £* + <р' (s) 5 +	Г’ (s) zi = /(q > (s)) +			А (s) Т* (s) г* -j- R (s,	z*).
Заменяя матрицу A (s) Г* (s) по			формуле	(25) и заменяя /(<p(s))
через <p' (s), получаем:
Т* (s) к* -j- ср' (s) s +	Т' (s) zs —
откуда	=	ф (s) +	( Т' (s) -f- Т (s) В) z -f- R (s,		z*),
откуда
T* (s) (к* — Bz) - f		(q)' (s) +	T’ (s) 2) (s — 1) = R (s, z*).		(31)

Введем теперь в рассмотрение новые вспомогательные переменные: вектор и* — (и1, ..., ип~>) и скаляр ип. В л-мерном пространстве переменных (и*, ип) = (н1, и4, ..., и") рассмотрим линейное преобра зование М, зависящее от параметров s и г*, положив:

М (и*, н") = Т* (s) и * + (ср' (.5) + Т*' (s) z *) и".

При z* == 0 преобразование М превращается в T(s), и потому при 2 *, близком к нулю, преобразование М невырожденно. Таким образом, уравнение

М (и*, un) = R(s, z*)

однозначно разрешимо (при z*, близком к нулю) относительно неиз вестных и *, ип, и его решение

u* = q*(s, z*), un = q(s, z*)

периодично по s с периодом 2т и имеет второй порядок малости относительно вектора г*. Так как соотношение (31) можно переписать в виде:

M (z* — B*z'*, s — 1) = R(s, z*),

то мы получаем:

2 * — £*2 * _ g * ( S) 2 *^ 5 — 1 — ^(s, 2*).

27 8

УСТОПЧИВОСТЬ

[Гл. 8

Итак,

пространстве

переменных

г *,

уравнение

(1)

записывается

виде

г* == В*г* -f- q* (s, г*),

{32)

s =

—j—q (s,

z*).

(33)

Существует

теперь

такое

положительное

число е,

что при | z* |

остаточный

член

q (s,

z*)

удовлетворяет

неравенству

\q(s,

z*) \

При

выполнении

этого

неравенства на

каждом решении z* = z*{t),

s — s(t)

за

независимое переменное

можно

вместо

принять

уравнения (32),

(33) перепишутся тогда в виде:

dz*

B*z* + q* (s, z *)

q (s,

2*)

’

dt __ ____1____

rfs ~

1- f q (s, z*)

’

или

иначе:

rf-^ =

£*,z*-j-ft*(s, z*),

(34)

f s =

\ + A (s,

г Ч

(35)

где

остаточные

члены

k* (s,

г*) и k(s, z*) периодичны

no s с перио

дом

2т

имеют второй

порядок

малости

относительно вектора

г*.

В системе (34), (35) независимым переменным является s, а г*

и t

рассматриваются

как

неизвестные

функции

от s. Уравнение (34)

не

содержит неизвестной функции t, и его можно решать

отдельно.

Таким образом,

для

того

чтобы

найти

решение системы (32),

(33)

начальными

значениями

z*,

s,,

следует сначала

найти

решение

z* (s,

z*,

st) уравнения

(34)

с начальными

значениями

z*, slt которое

в силу предложения В) при достаточно

малом | z f

определено для

всех значений s 7э= .9,

и имеет

опенку

I г* is,

zt, S i ) \ ^ r \

z f j

(3fi)

После этого следует найти решение уравнения (35) с начальными

значениями t0,		z*, у,; это		решение дается очевидной	формулой:
	S
1 =	1о + $ ( 1 +	k (s>	(s>z u si))) ds =
	*1			s
				s
			=	t0 — Si 4 - s -{- 5 k (s. z*(s,	z*, Si))ds.	(37)
				*i
Последнее уравнение			можно разрешить относительно s, если			только
\|г * \|	достаточно мало,		так что мы получаем:
				s = s(t, z*u s^.		(38)

S 31]

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ

2 7 9

Подставляя

это

выражение

для

в решение -г* (s,

zf,

Sj) уравне

ния

(34),

получаем:

z*(t) = z*(s(t,

zf, s^, zf, st).

(39)

Формулы

(38)

и (39)

вместе дают

решение системы (32),

(33)

с на

чальными

значениями

t0,

z f,

st. Из (37) следует, что

при t ^

t 0 мы

имеем:

| s (tr zf,

Si)

11<

1St — t„I + / ! z f I1,

(40)

где

l — некоторая

положительная

константа. В частном случае, когда

2f =

^0,

решение

(38),

(39)

имеет вид:

z*(t) = 0,

s(t) — t.

Из

оценок

(36)

и (40)

следует, что это решение системы (32), (33)

устойчиво

по Ляпунову.

Подставляя

решение (38),

(39)

в формулу преобразования (28), мы

получим решение дг= <р(^, JCi) уравнения (1) с начальными значе

ниями

t =

l0,

x — Xi — g (zf,

Sj). 'Гак

как отображение

(28) взаимно

однозначно

на

некоторой

окрестности

пары

z* =

0, s =

f0,

то

любое

решение <р(£, л;,) уравнения

(1) с начальными значениями /0,

л:, при

достаточно

малом | х {— лг0 1 может

быть получено

таким способом из

некоторого

решения (38), (39) системы (32), (33).

При этом

решение

jc = <p(Y) получается

из

решения

г* — 0,

s = A

Теперь

из

устойчи

вости

по

Ляпунову

решения

г* — 0, s = t

вытекает (в

силу

равно

мерной

непрерывности отображения (28)) устойчивость

по

Ляпунову

исходного

периодического

решения

х = <р (г).

Таким образом, теорема 26 доказана.

Применим полученные здесь результаты к случаю предельного

цикла.				(3)) имеет вто
Г) Будем считать, что автономная система (1) (см.				(3)) имеет вто
рой порядок:
х ‘=	/ ‘( х \ х'1) — f	(X),	I — 1, 2,
и пусть	X = Ф (О
	X = Ф (О
— ее периодическое	решение с периодом		т. Система	(7) имеет здесь
вид:
*»__<У‘(<р(0 ) ..г \| <¥'(<Р(П) „а			; _ 1	о
У —	дх У ~ у " г	дх*	’

В силу предложения А) одно характеристическое число этой системы равно единице; второе обозначим через X. Оказывается, что

с/аяомо) , <?/’ (? (б)

i V ал‘ + дх* ) и J

1 = е,)

(41)

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3428 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ