книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

26 0

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гл. 5

Таким образом,

рассматриваемая траектория

входит в треугольник

интервала

(с, q a)

траекторию в

направлении

убывания

t,

то

при

достаточной

близости

точек

q

и qa

эта траектория, пройдя вблизи

начала

координат,

пересечет

интервал

(а, р0)

в некоторой

точке р'

(рис.

64).

Сопо­

ставляя эти два обстоятельства, легко

прийти

к

выводу,

что

при

р —*р<>

имеем q —*q^.

Это дает

полное

каче­

ственное

представление

о

поведении

траекторий

вблизи седла.

Таким образом, теорема 22 доказана.

Докажем теперь свойство (14) функ­

ции

0 (х, z).

G(x,

z) — непрерывная

В) Пусть

функция, определенная вблизи значений

х =

z =

0 и обладающая непрерывной производной ^

G

(х,

z). Если

G(x,

0) =

0,

то

G(x,

z) =

zH (x,

z),

где Н (х,

z) — непрерывная функция.^

Для доказательства предложения В) определим функцию Н (х, z),

положив:

Н (х, z ) = °

г)-

при

гф О ,

Н (х, z) = ^аG ( x ,

z)

при

z — Q

(18)

и покажем, что определенная таким

образом

функция

непрерывна.

При

z ф 0 функция,

определенная соотношениями

(18), очевидно,

непрерывна. Докажем, что она непрерывна в точке

(х0,

0).

Мы

имеем:

О (х, z) — Q (х,

z) — G(х, 0) = z ^ G ( x , вz),

где

0 < ;6 < ;1 . Так

как функция ^

G(x,

z)

непрерывна,

то

при

х — х 0, z —* О (z ф 0)

имеем

0

^

=

0 С*>е*) — ^ О(х0, 0).

262

УСТОЙЧИВОСТЬ

ГГл. 5

периодичны по f

с периодом

2тс,

трижды

непрерывно дифференци­

руемы по р и ср

и при

р =

0

обращаются

в нуль вместе со

своими

первыми частными производными по р:

F( 0,

ср)=

0(0,

ср)=

=

0.

(22)

быть записана в

виде:

0 (р, ср) = рН(р, <р),

где Н (р,

со) — дважды

непрерывно

дифференцируемая

по

р

и <р

функция,

обращающаяся

в нуль

при

р = 0

(и

любом

<р,

см.

(31)

и (22)):

щ о,

?) =

0,

(23)

так что

дН(0, <?) _

= 0.

(24)

дер

Деля второе из

соотношений (21) на

р, мы получаем систему

|

р =

р (X cos* ср- f psin2 ep) + F(p,

<р),

\

ф =

(р. — X) sin ср cos ср -J- Н(р,

ср).

Систему (25) будем рассматривать на фазовой

плоскости

перемен­

ных р и

ср, откладывая

ср по оси абсцисс,

а

р— по

оси

ординат.

преобразование (20) плоскости (jct, у)

в плоскость (р, ср)

не взаимно

однозначно; тем не менее из поведения траекторий системы

(25)

можно делать выводы о поведении

траекторий

системы

(19).

Пове­

дение траекторий

системы (25)

мы

будем

рассматривать

только

в полосе | р | <^ s.

Найдем прежде всего положения равновесия системы (25). Из

первого уравнения (25) видно, что при достаточно малом

р ф. О

величина р отлична

от нуля (см. (22)),

и потому

в полосе

| р |

в

все

положения

равновесия лежат

на оси р =

0. После этого из второго

уравнения (25) находим все

положения равновесия (см. (23))

р= о, с р = у ;

л = о ,

± 1 ,

± 2 , . . .

Линеаризуя

систему

(25)

в точке р = 0,

<р =

^ > получаем (см. (22)

и (24)):

(

Ар =

р.*Др,

\

Дф =

(|х — X) • (— 1)* Дер 4- а^Др,

начинающееся в этом прямоугольнике,

покидает его

через время, не

превосходящее числа

и

входит

в

ту

из окрестностей

U k

или

Uk+1, которая

соответствует устойчивому узлу. В силу периодичности

системы (25)

по ср число е можно

считать

общим для

всех

прямо­

угольников

рассматриваемого

вида.

Мы видим теперь,

что

при выбранном

s каждое

решение,

начи­

нающееся

в

полосе

| р 1

е,

либо

пробегает устойчивый ус седла,

либо асимптотически приближается к устойчивому узлу.

Каждому

решению системы (25),

начинающемуся в полосе

| р | <^ е,

соответствует

решение системы (19),

начинающееся

на

расстоянии,

^ — Р 4~

X= р — iv,

причем р ф 0, v ф 0. Оказывается,

что если р <4 0, то при t —~ оо

начало координат О, как спирали.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства воспользуемся

канони­

ческим

видом (6),

переименовав

в нем

переменные $ и к) в

перемен­

ные х

и у. Таким

образом, нам

следует изучить систему уравнений

| х = / ( х , у) = рх — v y -f г(х, у),

(26)

\_р = £(х, у) = vx

ру 4- s (х, у).

266

УСТОЙЧИВОСТЬ

[Гл. S

и имеет в области W непрерывные частные производные до порядка г

включительно. (При г = 0

доказываемое предложение Г)

превра­

щается в предложение В).)

Для доказательства предложения Г) рассмотрим функцию

К (Р,

0 < ; ^ г .

(32)

К (0,

<р) = о

(33)

(см. (29)). Докажем, что

при

р Ф 0 имеет

место равенство

дк ( К ( р, ч>)\__ V

т d*+‘* ( 0tf. 1)

Ой=:А;

(34)

f i f * \

р

)

£

ii

^p*+i

где числа

fi>

••• » К*

при каждом

фиксированном k

не завися! от

функции

0 (р, <р)

и удовлетворяют

условию

Tfe +

T i+

•••

+ Т * “

jTj:)»

(^5)

а числа б,, б,,

бА удовлетворяют

неравенствам

0 < 9 , < 1 ;

t =

0,

А.

(36)

Вычисляя

производную ^

^')

по Ф°РмУле

•Лейбница,

по-

л)чаем:

&

( г *

(^

>

) =

р т 2 “‘р,4!£5 А

<37>

!=О

где числа

я0,

аь . . . .

ак

при каждом

фиксированном k не

за­

висят от

функции

0(р,

ср).

Разлагая

каждую из функций

^ »

1)

дЧ<(0, <р)

,

р

di+1/f (0, <р)

,

dp'

5F7

г

I!

dp,+l

"г ” -

, Р*-'

d*ft(0.?)

,

Pft-f+1

ч)

(ft— /)I

'

dpF ^ ' _ r

(ft —

/+ 1) ! ’

dp*+l

” •

Далее,

подставляя выражения (38)

и

(37),

мы

получаем в

силу

(33)

*

(

Х(9,

<р) \ _

_ 1

Г У /.

0.

д'К(0,

'f) ,

у

*+! ^

0 6

^

^Р*

\

Р

У ~ ~ Р*+’

l i L

/ fP

ti?‘

'

g p - t

J

« 30]

ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

267

где Ь1 и

константы, не зависящие (при каждом фиксированном к)

от выбора функции 0 ( р, <р).

Для доказательства соотношения

(34) достаточно теперь устано­

вить, что

константы Ьи .... Ьк равны

нулю, а константы 70, 7i,

т*

зависят от выбора функции G(p,

<р), то указанные их свойства доста­

точно

установить

для

функций

G (р, <р)

какого-либо

специального

вида. Рассмотрим случай,

когда

G

(р,

<р)

является

многочленом:

*+i

(40)

0(Р, <р) =

(7=1)!

В силу

(32) находим:

i=t

д*

К(?, ?)

__

ак+t

(41)

дрЪ

Р

~ k + l -

С другой

стороны,

равенство

(39)

для многочлена

(40)

имеет

вид:

д* (

К (р, ?)

к

к

^

[

2

v « , + « * +.pW

(42)

W 11

р

Li=i

Правые

части

равенств

(41)

и

(42)

должны совпадать

при |р |< ^е,

р ф 0,

а

так как

числа

а.и ... ,

aft+1

произвольны,

то

из

этого

вытекает

равенство

нулю

чисел

bt,

. . . , bk

и соотношение

(35).

Таким образом, формула (34) доказана.

s,

Введем в рассмотрение функцию

Z.*(p,

ср),

£ =

0,

1, ...»

по­

ложив:

( К (р, <р) \

Мр>

?) =

при

Р ^

о,

дрк \

р

/

(43)

1

д*+,АГ(0, <р)

Ц ( 0. <Р) =

k +

1

Из равенств (34) и (35) следует,

что

£*(р, <р) есть

непрерывная

функция пары переменных р, <р

во

всей

области

W. Очевидно,

что

при р -ф. О выполнены

равенства

L k+<(Р.

А =

0, 1...... * - 1 -

(44)

Докажем,

что

эти

равенства

справедливы

и

при р =

0.

Пусть

0 <^р<^е;

тогда

мы

имеем:

МР. ? ) = ^ ( Р

о.

? ) + $Ро

£*+i(’>i ) & -

(45)

Так

как функции,

стоящие

в

левой

и

правой частях этого

равен­

ства,

непрерывны,

то равенство это

справедливо и при р =

0, так

М ° > « Р )= М Р о .

? ) +

^

9) d l

(46)

Ро

Вычитая соотношение (46) из

(45)

и деля результат на р, находим:

L k (Р. У) — L k (0. <f)__Л

( Р > 0 ) .

Переходя к пределу при р->-0, мы

видим, что правая производная

функции 1 к {р, 9) по р в точке р =

0 существует и равна I*., 1 (0, 9).

Точно

так же доказывается, что и левая

производная равна L k+t (0, 9 ).

Таким

образом, равенство (44) справедливо во всей области U7.

Из

соотношений (43), (32) при к —

0, s — r следуют равенства

( Р, 9 )

0 «g: Л -g s,

0 ^ s

г,

dpltd<fr'~s

x = f ( t , х )

( 1)