Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3426 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

250	УСТОЙЧИВОСТЬ	[Гл 5
у системы (24) и п точке	(— а, 0) у системы (25). Заметим,	что

спирали линейной системы (14) наматываются на положение равно

весия	(0, 0) по ч а с о в о й			с т р е л к е		и	что при прохождении				полу-
витка	спирали фазовая точка п р и б л и ж а е т с я								к	началу координат,
так что		ее	первоначальное	расстояние			от	начала		координат	умно
жается		на	некоторое число	Х<^1, не		зависящее			от	начального	поло
жения точки (см. § 1б, В)).
Для		того чтобы представить			себе	фазовую плоскость системы (12)
в случае, когда функция g (у)					определяется			условиями (23),			нужно

верхнюю полуплоскость заполнить полувигками спиральных траекто

рий системы

(24),

а нижнюю — полувигками

спиральных

траекторий

системы (25);

при

переходе

же через прямую

у = 0

следует

непре

рывно переходить

с одних

траекторий на другие. Исходя из этого

описания

фазовой

картины

системы

(12)

(см.

(23)),

будем

искать ее

замкнутые

траектории.

Рассмотрим

траекторию

системы (12) (см. (23)), начинающуюся

на оси абсцисс

точке

координатой

£^>0.

Так

как

движение

в фазовой плоскости системы (12)

происходит

по

часовой

стрелке,

го из выбранной

точки

траектория

пойдет в

нижнюю

полуплоскость

и, следовательно, будет управляться системой (25). После прохожде ния полувигка спирали в нижней полуплоскости фазовая точка вновь

попадает на

ось

абсцисс в точку с

координатой

- ( а + Х(а-Н)).

(26)

Это следует

из

того, что при прохождении полувитка

спирали

рас

стояние фазовой

точки от положения равновесия (— а, 0) умножается

на X. Точка

координатой

(26),

лежащая

на

оси

абсцисс,

будет

затем

двигаться

силу системы (24) и, после

прохождения

полу-

витка

спирали

верхней

полуплоскости,

придет

на

ось

абсцисс

в точку с координатой:

а —(—X(2а -j- X(а —j- <;)).

(27)

Таким

образом,

траектория,

начинающаяся

в точке

координатой

£ ^ > 0

на положительной части оси

абсцисс,

после

полного

обхода

вновь

попадает

на

положительную

часть оси

абсцисс,

но уже в точку

с координатой (27), и мы получаем отображение ~у

положительной

полуоси абсцисс в

себя, определяемое соотношением

у (£) =

а -j- 2Ха -j- Х2а -]- X2;.

Функция у;(£) есть функция последования для системы (12) (см. (23)). Имеется лишь одно значение ?, удовлетворяющее условию

			X («)=■*»
и	этому значению	6	соответствует предельный цикл системы ( 12),
и	притом грубый	и	устойчивый, так как у ' (£) = Х2< ^ 1 (см. § 28).

§ 401

ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ АВТОНОМНОП СИСТЕМЫ

251

§ 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка

Здесь будут классифицированы и изучены невырожденные поло жения равновесия нормальной автономной системы уравнений вто рого порядка:

I	Х = / ( Х ,		у),
\	t =	g(x,	у),		1 *
причем будет предполагаться, что правые части				дважды	непрерывно
дифференцируемы, а в теореме		23 — что они		трижды	непрерывно
дифференцируемы.
1				V*

Н е в ы р о ж д е н н ы е п о л о ж е н и я р а в н о в е с и я

Так как положение равновесия всегда можно принять за начало координат, то мы будем предполагать, что подлежащее изучению по ложение равновесия системы (1) есть начало координат. Линеаризуя систему ( 1) в течке (0, 0), т. е. разлагая правые части системы (1) в ряды Тейлора по jt и у и отбрасывая члены второго порядка, по лучаем линейную систему:

		I х — а\х -I- а\у.					(2)
		I	У =	,	,	/
				щ х а	±	у .
Пусть	X и (х — собственные		значения		матрицы (ар. Положение равно
весия	(0, 0) системы	(1) называется			невырожденным,		если числа	X
и (х не равны между		собой	и	их действительные части			отличны	от

нуля. Поведение траекторий линейной системы (2) было детально

изучено в § 16. Здесь будет показано, что		для невырожденного по
ложения равновесия	поведение траекторий	вблизи положения		равно
весия (0, 0) системы	(1) в существенном	совпадает с	поведением
траекторий вблизи положения равновесия (0, 0) системы			(2).
За положением равновесия (0, 0) системы (1) сохраняется				наиме
нование, данное в §	16. Если числа X и ;х	оба действительны и отри

цательны, то положение равновесия называется устойчивым узлом. Если числа X и р оба действительны и положительны, то положение равновесия называется неустойчивым узлом. Если числа X и р ком плексно-сопряжены и имеют отрицательную действительную часть, то положение равновесия называется устойчивым фокусом. Если числа X и р комплексно-сопряжены и имеют положительную действительную часть, то положение равновесия называется неустойчивым фокусом.

Наконец, если	числа X и	р действительны и имеют различные знаки,
то положение	равновесия	называется седлом.

252			у с т о й ч и в о с т ь	[Гл. 5
Наиболее простые свойства поведения траекторий				вблизи поло
жений	равновесия	можно	установить, непосредственно опираясь на
теорему	Ляпунова	(теорема	19) и предложение Е) § 26. Таким обра
зом, мы получаем предложение:
А) Устойчивый узел и			устойчивый фокус являются асимптотически
устойчивыми положениями			равновесия. Неустойчивый	узел и неустой

чивый фокус являются	вполне	неустойчивыми	положениями равно
весия.	значительной степени уже решает вопрос
Это предложение в	значительной степени уже решает вопрос
о поведении траекторий	вблизи	узла и фокуса.	Действительно, если

известно, что данное положение равновесия является асимптотически устойчивым, то с точки зрения приложений уже часто бывает не важно, каким именно способом стремятся к нему траектории. То же самое относится и ко вполне неустойчивому положению равновесия. Совсем другую роль играет седло: зная поведение траекторий вблизи него, можно высказать ценные суждения о поведении траекторий на всей плоскости. В то же время теорема о поведении траекторий вблизи седла доказывается значительно труднее, чем соответствующие теоремы относительно узла и фокуса.

Произведем теперь в фазовой плоскости системы (1) линейное

преобразование	координат,	с тем, чтобы	придать ей наиболее про
стой вид:
Б) Разлагая	правые части системы (1) в ряды Тейлора по л: и у
с точностью до	членов второго порядка,		получим:
	( х =	а\х + а.\у + г (х, у),
	\ у =	а\х —{—а\у - f s {х, у),

где остаточные члены г (х, у) и s (х, у) в точке х — 0, у = 0 обра щаются в нуль вместе со своими первыми производными по х и у и могут быть записаны в виде:

(	г (х, у) — гих 34- 2гнху - f	r2iy5,
{(	s (х, у) — s],х2 2s,..ху -f-	(4)

причем коэффициенты rtj и s;/- этих «квадратичных форм» являются функциями переменных х, у , ограниченными вблизи начала коорди нат. Оказывается, что, производя действительное линейное преобра зование величин х, у в величины ?, tj, можно привести систему (3) к простому виду, причем следует различать два случая: 1) Если соб ственные значения К у матрицы (ар действительны и различны, то

система уравнений для %и tj записывается в виде:

5 = —|—р (5, т]),

т] = у-г] -}- а ($, т)).

(5)

2) Если собственные значения матрицы (а() комплексно-сопряжены, т. е. имеют вид у -j- iv и у — iv, то система уравнений для $ и tj

5 зо]	ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ						253
ваписывается		в виде:
	^ =	1^ — VT<+ P(5,	г,)>	= vS -f-	-U	r().	(6)
В обоих случаях остаточные члены р (;, т]) и					о (;, т() обладают		теми
свойствами,	которые были		отмечены выше		для	функций г (х, у)
и s(x, у). В нервом случае система принимает вид						(5), если принять
за оси направления собственных				векторов матрицы		(ар.

Для доказательства предложения Б) достаточно найти такое ли нейное преобразование координат х, у в координаты Ц, rit чтобы линейная система (2) приобрела простой вид. Такое преобразование уже было найдено (см. § 14, Е)). Применяя то же преобразование к системе (3), мы получим систему (5) или, соответственно, систему (6).

П о в е д е н и е т р а е к т о р и й в б л и з и с е д л а

Т е о р е м а	22.	Предположим, что	положение равновесия
0 = ( 0, 0) системы		(1) является седлом. Пусть Р — прямая, про
ходящая через точку О в направлении			собственного вектора
матрицы (ар	с отрицатель

ным собственным значением, a Q — прямая, проходящая через точку О в направлении собственного вектора мат рицы (ар с положительным

собственным значением. Тогда


(рис. 58)	существуют			ровно
две траектории		(j\	и	0<2 си
стемы	(1), которые при
i —>-]- оо	асимптотически
приближаются		к	точке О.

Эти траектории вместе с точкой О образуют непрерывную

дифференцируемую

кривую U, касающуюся

прямой Р

точ

ке О.

Точно так же

существуют

ровно

две

траектории

и V., системы (1), которые при

t —>— оо

асимптотически

при

ближаются к точке О; эти траектории вместе с

точкой О

образуют

непрерывную дифференцируемую кривую V, касающуюся

прямой Q в точке О. Остальные траектории системы (1), про

ходящие вблизи точки

О,

ведут

себя, в

общем,

так

же,

как

в случае линейного уравнения (см. § 16).

Траектории

Нг называются устойчивыми

усами

седла

О,

а траектории Vi и

V.2 называются

неустойчивыми

усами

седла

О.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде

всего примем прямую

за

ось

абсцисс, а

прямую

Q — за

ось

ординат;

тогда

система

(1)

запишется

в' виде

(5).

Переходя

снова

обозначениям х

и у

вместо

и tj,

мы

254		УСТОЙЧИВОСТЬ					[Гл. 5
получим систему	уравнений
	I	X = / (X, у) = Ух + г (х,			у),
	{ S’--=g(x <		= дН-5(-*> У)>
где г(х, у) н s(x, у)		имеют вид	(4);	здесь	X 0,	;л^>0.	Отметим
для дальнейшего,	что	в последующем		доказательстве		будут	исполь

зованы лишь следующие свойства правых чаете!) системы (7): непре рывная дифференцируемость правых частей по х и у и ограничен ность функций г‘ и sj (см. (4)) вблизи начала координат.

Доказательство распадается па две главные части: а) доказатель ство существования уса (/,, подходящего к точке О вдоль положи тельной части оси абсцисс при убывании координаты х; б) доказа тельство его единственности. Существование и единственность уса /У*

доказываются аналогично. Для рассмотрения усов	V{ и	VC достаточно
изменить знак времени t: при
этом устойчивые усы перейдут в
неустойчивые	и наоборот.
Перейдем	к доказательству
существования уса U\. Для этого
положим:
ш (х, у ) = у — ах1		(а 0)

и рассмотрим в плоскости (х, у) параболу, определяемую уравне нием

ш(х, у) = 0.

(8)

Парабола (8) разбивает плоскость на две части: положительную, со держащую положительную полу ось ординат, и отрицательную. По

ложительная область является внутренней для параболы. Покажем прежде

всего, что,	если	а — достаточно большое	положительное			число, а х
достаточно	мало	(\|jc\| ^ s), то все траектории системы			(7)	(за исклю
чением положения равновесия О), пересекающие				участок \| х \| ^ з
параболы (8), переходят с отрицательной			стороны	на	положитель
ную, т. е.	снаружи внутрь (рис. 59). Для		этого вычислим			производ

ную ш(7) (х, у) функции (в(лг, у). В силу системы (7) в точках пара-_ болы (8) мы имеем:

о)(7) (х, оис-) = J) — 2<ххх — а (|л — 2Х)х* -f- зиЛ'2

(здесь невыписанпые члены содержат х по крайней мере в 3-й сте пени). Число р - 2\ положительно, а функция su ограничена в окрестности начала координат; поэтому можно выбрать настолько

5 3 0 ]	ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ АВТОНОМНО!!			СИСТЕМЫ	255
большое число а,		что
		< ф - 2 Х ) - \| в п \| > 8 ,	8 > 0.
Опущенные	члены	выражения для ш(7) (х,	ах•)	имеют, по	крайней

мере, третий порядок малости по х, и потому существует такое по

ложительное е, что	при	\| x \| ^ s	мы	имеем:
		о)(7)(лг, оиг*)Сг=0,
причем равенство	имеет	место	лишь	при а = 0, т. е. в точке О. Из

доказанного следует, что все траектории системы ( 1), за исключением

положения	равновесия О, пересекают рассмотренный участок пара
болы (8) в	направлении роста функции w (х, у), т. е. снаружи внутрь.
Точно так же доказывается, что участок [ x\| s ^ $		параболы
	у -f- gut2 - 0	(9)

пересекается всеми траекториями системы (7), за исключением поло жения равновесия О, снаружи внутрь (внутренняя часть параболы (9) содержит отрицательную полуось ординат, рис. 60).

Пусть а и b — точки, в которых прямая х = в пересекает соот ветственно параболы (8) и (9). Рассмотрим треугольник [О, а, Ь\, составленный из двух кусков парабол (8) и (9) и прямолинейного отрезка [а, Ь]. Если е достаточно мало, то все траектории системы (1), проходящие в треугольнике [О, а, Ь\, идут справа налево (рис. 61), в частности пересекают отрезок [а, Ь] справа налево, входя в тре угольник [О, а, Ь]. Это следует из того, что выражение

X = КХ -4- Г (А', у)

(см. (7)) при (Х ^А -^е, |_ у |< Х х 2 отрицательно, так как X 0, а

256	УСТОЙЧИВОСТЬ			[Гл. 5
г (х , у) есть «квадратичная форма» по х и			у с ограниченными коэф
фициентами.
Пусть ср (t, р) — траектория		системы (7),	начинающаяся при	t — 0
в некоторой	точке р интервала	(а, Ь). Эта	траектория входит	в тре

угольник [О, а, Ь] через сторону [а, Ь]. Она может при возрастании t

либо выйти из треугольника через дуги				парабол Оа, ОЬ, либо вовсе
не выйти из треугольника. В последнем				случае траектория при t —-оо
асимптотически	приближается	к	точке	О. Геометрически видно, что
если траектория	ф(£, р) выходит		из треугольника через дугу Оа, то
и траектория ф((, р'), где р’ есть точка				интервала (а, уз), также выхо
дит из треугольника через дугу			Оа (рис. 61). Далее, если траектория
ф (t, р) выходит	из треугольника		через	дугу Оа, то, в силу теоремы
о непрерывной	зависимости	решения		от начальных значений (тео
рема 14 и предложение Д) §		23), траектория ф (t, р’), где р "— точка,

достаточно близкая к р', также выходит через дугу Оа. Таким обра


зом, совокупность всех таких точек р интервала							(а, Ь), для которых
траектория ф (t, р) выходит			из	треугольника через дугу				Оа,	состав
ляет	некоторый интервал (а,		а).	(Этот интервал			непуст,	т. е.	а' ^ а,
ибо траектории, начинающиеся				в точках р, достаточно близких к а,
очевидно,		пересекают дугу	Оа.) Точно так же совокупность всех
таких	точек р, для которых		траектория ф (t,			р)	выходит из треуголь
ника	через сторону ОЬ, составляет				интервал	(Ь,	Ь'). Интервалы (а, а')
и (Ь,	Ь') не могут пересекаться,			так что точка а' лежит выше точки Ъ’
или,	в крайнем случае, совпадает				с ней. (В действительности имеет
место	совпадение, но это требует				еще сравнительно сложного дока
зательства.)		Таким образом,	отрезок [а', b']			содержит хотя бы одну

точку, и потому существует траектория ф (t, р0), начинающаяся на отрезке [а', Ь'\ и асимптотически приближающаяся к точке О.

	Касательная		к траектории ф(£, р0) в точке (х , у)		имеет угловой
коэффициент				W + s (*. У)
			k (х, у)	W + s (*. У)
			k (х, у)	Хх + г(х , у ) '
				Хх + г(х , у ) '
Так	как	точка	(х , у) траектории	q>(t, р0) принадлежит	треугольнику
(О,	а, Ь\,	то
			I T I <С ах*>	0<^х<^в,	(10)

а из этого следует, что число k[x, у) остается конечным и при х —-0 стремится к нулю. С другой стороны, угловой коэффициент 1(х, у) секущей, проведенной из точки О в точку (х, у) траектории ф (t, р0),

равен	—,	а	так	как имеют	место неравенства (10), то	при х —-О
имеем	1{х,		у ) —-0. Таким образом, кривая ф(£, р0), упирающаяся
в точку		О,	имеет	в точке О непрерывную производную		и касается
оси абсцисс.			Траектория ф (t,		р0) представляет собой ус	U\. Ус (Д,
подходящий			к точке О вдоль		отрицательной части оси абсцисс, также

* 30 ]

ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

2 57

касается в точке О оси абсцисс; оба эти уса составляют вместе кри вую U с уравнением

у = и{х),

(11)

где и(х) есть непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция переменного х, причем и'(0) = 0.

Итак, существование устойчивых усов U\ и Uit составляющих вместе с точкой О кривую U, определяемую уравнением (И), дока зано. Докажем теперь единственность этих усов. Для этого преобра

зуем в окрестности начала координат						плоскости			(х, у)		систему
координат так, чтобы кривая (11) стала осью абсцисс.										Мы добьемся
этой цели,	введя вместо		неизвестной		функции у		новую неизвестную
функцию z	по формуле
				y = u{x) + z.							(12)
Произведя	в системе (7)		замену (12),		получаем		новую			систему урав
нений
( x = f ( x ,		u(x) +		z) = F (x,	z),
\ i	= g(x,	и (x) +		z) — u '{x)f(x,		и (x) - f z) =				G(x, z),
где неизвестными функциями являются х						и z. Так		как		функция «(х)
имеет непрерывную производную, то					функция F (x,				z)	имеет непре
рывные производные по обеим переменным х и z,								а функция			G(x, z)
непрерывна	по х и имеет			непрерывную		производную				по z.	Однако
существование непрерывной производной						функции			G(x, z)		по х не
установлено. Таким образом, не установлено, что для										системы (13)
выполнены обычные		наши предположения о непрерывной дифферен

цируемости правых частей по всем переменным, являющимся неизвест ными функциями. Очевидно, однако, что каждому решению системы (13) соответствует в силу (12) решение системы (7) и обратно. Таким образом, по поведению траекторий системы (13) можно судить о по ведении траекторий системы (7).

Устойчивые усы Ux и Т/4 системы (7) перешли в отрезки оси абсцисс плоскости (х, z), и потому система (13) имеет решения, в которых функция х некоторым образом монотонно меняется,

асимптотически			приближаясь к нулю, а функция					z	тождественно
равна нулю.		Из	этого	следует, что
					G(x,	0) =	0.
Ниже будет		показано		(см. В)),		что	функция Q(x,	z)	может	быть
ваписана	в виде:			0 (х,	z) = zH (x, z),					(Н )
				0 (х,	z) = zH (x, z),					(Н )
где Н (х,	z) — непрерывная				функция		переменных х	и	z. Из	соот-

г/ 48 Понтрягин Л. С.

2 5 8 УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. 5

ношения (14) в силу непрерывности функции							Н (х, z)		мы	получаем:
dG (х, z)
dz	*=“	,^ 0		*— О	г -.О
	г=0					=	lim Н(0,		г) =	И (О, 0).
						=	lim Н(0,		г) =	И (О, 0).
							г-»0
Но в	силу (7)		и (13)	мы имеем	dQ(x, z) I __
Но в	силу (7)		и (13)	мы имеем	dz	je=o	:[Х,	так	что
				И { о, 0) =		z — 0
				И { о, 0) =		\|Л.
Таким	образом,		второе из уравнений системы				(13)	имеет вид:
				i =	zH (x,	z),
где Н (х, z)		близко к		ц в окрестности начала координат						и, следо

вательно, положительно. Из этого следует, что в окрестности начала координат вдоль каждой траектории, отличной от усов U\ и {/2, координата z сохраняет знак и по модулю увеличивается при увели

чении

Таким

образом,

ни

одна траектория,

протекающая

вне

оси

абсцисс

плоскости

(х ,

z),

не может

асимптотически приближаться

к точке

О,

и единственность

устойчивых усов

U\ и

U2 доказана.

Теперь

доказано,

что на

интервале

(а, b) существует лишь

одна

такая

точка ра,

что

выходящая из нее траектория

системы

(7)

при

t —*oo

асимптотически

приближается

к точке

О,

образуя

ус

£/,.

Если точка р лежит на интервале (а, ра), то выходящая из нее

траектория	пересекает дугу Оа, а если точка р лежит		на	интер
вале (b, р0), то выходящая из нее траектория пересекает			дугу	ОЬ.
Исходя	из парабол
	х — ау2=	0,		(15)
	* -f-ay 2=	0		(16)
и прямой
	У = в

(рис. 62), можно построить треугольник [О, с, d], обладающий свой ствами, аналогичными свойствам треугольника [О, а, Ь]. Существует лишь одна такая точка q0 на интервале (с, d), что выходящая из нее траектория при убывающем t асимптотически приближается к точке О

и образует неустойчивый		ус	V). Если точка q лежит на	интервале
(с, <7„), то выходящая	из	нее	при убывающем t траектория пересе
кает дугу Ос, а если	точка q		лежит на интервале (у0, d),	то выхо
дящая из нее при убывающем t траектория пересекает дугу Od.
Рассмотрим теперь	кривую
		f( x , у) = 0		(17)

<см. (7)). Легко видеть, что она касается оси ординат в точке О

§30]	ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ				269
Так как	функция	/ (х, у)	имеет вторые непрерывные	производные,
и потому	кривая	(17) имеет в точке О определенный		радиус	кри
визны, то	число а	можно	выбрать настолько большим,	а число	е —
настолько малым,		что на отрезке \|_ y \|^ s кривая (17) проходит между

параболами (15) и (16) (рис. 63). Справа от кривой (17) функция f (х, у) отрицательна, и потому векторы фазовой скорости в точках, лежащих справа от кривой (17), направлены налево. Проведем из точки с вертикальный отрезок [се],

нижний		конец		е	которого			лежит
на усе 6V			Пусть р — точка					интер
вала	(а,	р0). Если			точка		р	доста
точно	близка			к	точке	р0,		то,	в
силу	теоремы			о непрерывной зави
симости решения от начальных зна
чений (теорема				14 и предложение Д)
§ 23), точка, вышедшая из р,								прой
дет достаточно близко к началу
координат			и потому пересечет от
резок [с, е]. При дальнейшем дви
жении	она		обязательно				пересечет
Дугу Ос.		В самом			деле, если дви
жущаяся		точка		пересекает				линию
(17),	то	она		обязательно			пересе
кает	перед		этим		дугу	Ос.		Если
же движущая точка не пересекает										налево, а расстояние х
линии	(17),		то	она	перемещается				все время
от этой		точки		до	линии		(11),		измеряемое	по вертикали, растет;
таким	образом,			и	в этом		случае траектория пересекает дугу Ос.
'/„в*

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3426 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ