книги из ГПНТБ / Булычев, Н. С. Расчет крепи капитальных горных выработок

радиуса R ± (см. рис. 102) не радиальные, а касательные напряже­ ния. Окончательные выражения имеют следующий вид:

Сходная формула (при отсутствии слоя забутовки и Лт = 1 ) была получена ранее JI. А. Джапаридзе [60].

При заполнении закрепного пространства кусками породы (Езаб ^ 0,01 Е) коэффициент Ат можно определять по графику (рис. 105). Для плоской поверхности контакта крепи и пород коэффициент

касательного отпора может быть определен по формуле

§ 31. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ

В основу расчета крепи выработок некруглого сечения положен метод начальных параметров, который для подземных конструкций, по-видимому, впервые применен С. Н. Веркиной (см. § 14). По сравнению с методом сил или перемещений (например, метод Метрогипротранса), согласно которым число неизвестных (реакций) соот­ ветствует числу упругих опор, метод начальных параметров позво­ ляет сократить число неизвестных. Неизвестными являются началь­ ные параметры, число которых не зависит от числа опор. Это позво­ ляет существенно сократить время вычислений, что имеет значение при расчетах на ЭВМ. Например, расчет одной и той же конструкции крепи по программе СМ-4 (расчет рамных конструкций) занимает 30 мин на ЭВМ «Минск-22», а по программе с использованием метода начальных параметров — немногим более 2 мин на ЭВМ «Наири».

Метод начальных параметров в матричной форме разработан применительно к обычным конструкциям А. П. Филиным [170].

2 2 0

называется м а т р и ц е й из т строк и п столбцов. Частными случаями прямоугольной матрицы являются матрица-строка (т ~= 1), матрица-столбец (п = 1) и квадратная матрица п-то порядка (тп = = п). Диагональ квадратной матрицы, на которой располагаются элементы аіі при і = называется главной диагональю. Квадрат­ ная матрица гс-го порядка называется единичной матрицей, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а все элементы вне этой диагонали равны нулю. О п р е д е л и т е л е м квадратной матрицы п-то порядка называется ч и с л о , представляющее собой

Вычисление определителей более высокого порядка производится с использованием м и н о р о в . Если в матрице п-то порядка вы­ черкнуть строку і и столбец у, то определитель, порожденный остав­ шейся матрицей (п—1)-го порядка, называется минором элемента ait\

Алгебраическим дополнением элемента atj называется величина

Определитель Ап равен сумме произведений всех элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:

1)определитель не изменится, если его строки сделать столбцами,

астолбцы — строками;

2)при перестановке двух строк определителя он меняет знак;

3)общий множитель элементов строки можно вынести за знак

определителя; 4) если в определителе имеются две одинаковые строки или

элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то опре­

21

называется матрица

элементы которой с(;- представляют собой алгебраическую сумму произведений элементов і'-строки матрицы 4 и / — столбца мат­ рицы В:

Из определения следует, что количество столбцов в первом сомножителе — матрице А — должно быть равно количеству строк второго сомножителя — матрицы В. Матрица С содержит т строк, как в первом сомножителе, и к столбцов, как во втором. Из определе­

Роль единицы в умножении квадратных матриц играет единич­ ная матрица Е, которая в противоположность общему правилу перестановочна с любой матрицей А данного порядка:

щаяся из присоединенной матрицы А* делением всех ее членов на

222

Произведение матрицы А на обратную матрицу дает единичную матрицу

Если известно произведение двух матриц С и один из сомножите­ лей А

то неизвестный сомножитель может быть найден путем умножения матрицы С на обратную матрицу А~х:

іЧатрица А т, строки которой являются столбцами исходной матрицы А , а столбцы — строками, называется т р а н с п о н и ­ р о в а н н о й (по отношению к исходной матрице ^4):

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке:

Вывод основных уравнений метода начальных параметров

При расчете крепь моделируется стержневой системой, причем криволинейное очертание заменяется ломаным (ломаная линия впи­ сывается в кривую, рис. 106). Как показал еще С. П. Тимошенко, такое допущение справед­ ливо (погрешность не пре­ вышает 10%), если выпол­ няется условие

Это условие удовлетво­ ряется практически для всех применяемых конст­ рукций крепи.

Распределенная нагруз­ ка на крепь, действующая в плоскости стержня, за-

223

меняется сосредоточенной, приложенной в узлах расчетной схемы. Пусть заданы начальные параметры — статические (силовые)

и кинематические факторы: М 0, N 0, Q0, и 0, ф0 в точке 0, а также нормальные и касательные усилия Рп, Тп (первая расчетная схема),

которые заданы проекциями Хп, У„ на оси х, у (рис. 106). Смещения поперечных сечений ломаного бруса определяются известным диф­ ференциальным уравнением изогнутой оси

Кроме того, на смещения оказывает влияние осевое сжатие прямо­ линейных элементов, определяемое зависимостью

Nili

(31.16)

EiFi

На участке Іх внутренние силовые факторы составляют:

М х= М 0+ Q0s — (Х0sin ах— У0 cos щ) s;

N x =~N0- (X0cos ax-|- У0эіп a x).

Подставляя значение M x в уравнение (31.15), интегрируя его в пре­ делах Іх и имея в виду, что постоянные интегрирования представляют собой начальные кинематические факторы, получим следующие выражения для смещений конца первого отрезка ломаной (узел 1):

(см. рис. 106) с учетом продольного сжатия этого отрезка (31.16) составляют:

(* 0sin ai — Y ocos ai) 7^777 cosai — Оч, cos ai + Y 0sinax) - ~ ^ s i n ax.

6EX1

1 (31.20)

224

Выразим далее нормальные и перерезывающие силы через их проекции на осях х и у (см. рис. 106)

N 0 = Y 0sin ах Z 0 cos ссх;

(31.21)

Qo= Y 0cos ах — Z 0 sin ах

и введем обозначения:

Подставляя эти значения в формулы (31.18) и (31.20), оконча­ тельно получим следующие выражения для перемещений в узле 1:

Фі — Фо ХцАц1} + Y ÜAцу г Хі 0Афм -(- Х (уЛух + Y 0Ацу.

Коэффициенты влияния начальных параметров, входящие в эти выражения, определяются по формулам:

Выражения для внутренних силовых факторов в узле 1 получим из формул (31.17) с учетом обозначений (31.21):

(31.25)

Мх = —X о//і + Y йхх X М 0— Х 0ух-уХ0хх.

Выражения (31.23) и (31.25) могут быть использованы для получе­ ния силовых и кинематических факторов в узле 2, при этом необхо­ димо только заменить индексы: вместо 0 взять 2, а вместо 1 взять 2. Начальными для второго отрезка факторами являются величины £/х, Ѵх, фх, Х г, Y X и МX, вычисленные по формулам (31.23) и (31.25). Таким образом, полученные выражения являются рекурентными.

Выражения (31.23) и (31.25) можно представить в матричной форме. Введем следующие обозначения:

где матрица коэффициентов влияния начальных параметров имеет следующий вид:

Матрица-столбец кинематических и силовых факторов на кон­

В общем случае, если нагрузка приложена в узле к, то расчетные параметры на конце «-го отрезка (п > к) определяются по формуле

226

Если, наконец, внешняя нагрузка приложена в произвольных узлах /, то матричная формула, определяющая расчетные параметры на конце участка Іп, принимает следующий вид:

Учет отпора пород. Если при расчете крепи принята вторая или третья расчетная схема, то в узлах полигонального очертания крепи предусматриваются упругие опоры, ориентированные по каса­

5

Рис. 107. Схема к расчету крепи при наличии упругих опор

тельной или по нормали к крепи. Реакции опор (рис. 107) опре­ деляются по формуле

где

b — ширина рассматриваемого кольца крепи (вдоль выработки).

Влияние реакций отпора породы на статическую работу лома­ ного стержня учитывается в матрице коэффициентов влияния пара­ метров аналогично учету внутренних сил. Коэффициенты при состав­ ляющих реакции породы в нулевом узле (рис. 107)

Rox = R0sin Y0; Roy= R ocos7o (31.33)

совпадают по величине с коэффициентами при X 0 и Y 0, а знаки

принимаются соответственно направлению реакции относительно

Т а б л и ц а 33

Группируя члены при начальных параметрах перемещений и вводя обозначения

= K0sm2y0; K y°J( = K0cos2 y0; K lx°J = 7f0sin y0cos Y0> (31.35)

получим следующую матрицу коэффициентов влияния начальных параметров:

Матричную формулу для определения расчетных параметров конца первого участка ломаной с учетом отпора породы (см. рис. 107) можно представить в следующем виде:

где Р і,б-о — матрица-столбец кинематических и силовых факторов для сечения бесконечно близко расположенного к узлу 1. Для определения расчетных параметров в узле 1 с учетом реакции

и нагрузки Р г необходимо выполнить предельный переход, который осуществляется при введении матрицы скачка:

228

Здесь Сг — матрица, учитывающая скачок реакций отпора в узле 1, которая получается из матрицы К 2при подстановке значения Іъ = 1:

Общая матричная формула для определения расчетных парамет­ ров с учетом реакций опор и внешней нагрузки, приложенной в узлах 7 расчетной схемы, получается на основании выражения (31.31) при замене матриц А { на K t и учете скачка сил и реакций в узле п:

§ 32. МЕТОДИКАРАСЧЕТАКРЕПИСПРИМЕНЕНИЕМЭВМ«НАИРИ»

Ниже изложена рабочая методика расчета крепи капитальных горных выработок (обделок тоннелей) замкнутых (рис. 108) и не­ замкнутых (рис. 109), симметричных относительно вертикальной оси, по первой, второй и третьей расчетным схемам (см. рис. § 30). При построении расчетной схемы необходимо руководствоваться следующим.

Криволинейное очертание крепи заменяется полигональным (вписанная ломаная линия). Прямолинейные элементы стыкуются

229