книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы
.pdf64°. 1) |
Какая |
призма не имеет диагоналей? |
||
2) Призма имеет 10 граней. |
Найти сумму |
|||
внутренних |
углов |
многоугольника, |
лежащего в |
|
основании |
призмы. |
|
|
|
65. Высота четырехугольной призмы равна |
||||
16 см, боковое ребро составляет |
с |
плоскостью |
||
основания |
угол |
45°. Найти сумму |
длин всех |
|
боковых ребер призмы.
66. Даны треугольная призма и точки М и N на ее боковых гранях. Построить точку пересе чения (MN) с плоскостью нижнего основания призмы.
67°. 1) В прямой треугольной призме (рис. 21) указать линей ные углы двугранных углов при боковых ребрах.
2) Чему равна сумма всех двугранных углов: а) прямой треуголь ной призмы; б) прямой n-угольной призмы?
68°. Является ли призма правильной, если в основании ее ле жит правильный многоугольник?
69. Доказать, что число ребер призмы кратно трем.
70°. Две боковые грани призмы перпендикулярны к плоскости основания. Будет ли призма прямой, если в основании ее лежит: 1) треугольник; 2) трапеция; 3) правильный пятиугольник; 4) пра вильный шестиугольник?
71. 1) В правильной четырехугольной призме диагональ равна 25 см, а диагональ боковой грани 20 см. Найти высоту призмы.
2) Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ боковой грани Ь. Найти диагональ призмы.
72. Найти диагонали прямой призмы, в основании которой лежит ромб со стороной а и острым углом <р (рис. 20), а большая диагональ этой призмы наклонена к плоскости основания под уг лом (3. Вычислить при а = 2,5 см, <р = 60°, (3 = 22°.
73.Все ребра правильной шестиугольной призмы равны а. Найти
еедиагонали.
74.Изготовить развертку правильной треугольной призмы,
сторона основания которой равна 2 см, а высота равна 3 см.
|
§ 10. СЕЧЕНИЯ ПРИЗМЫ |
|
Проведем плоскость через два бо |
|
ковых ребра призмы, не лежащих в |
|
одной грани (рис. 22). Получится па |
|
раллелограмм BBiDiD, который на |
В |
зывается диагональным сечением приз |
мы. Каждое диагональное сечение |
|
Рис. 22 |
содержит две диагонали призмы. |
20
Рис. 23
Пересечем призму плоскостью а, перпендикулярной к ее боко вому ребру (рис. 23). Если эта плоскость пересечет все боковые ребра призмы (рис. 23, а), то полученный многоугольник A2B2C2D2E2 называется перпендикулярным сечением призмы. На рисунке 23, б) изображена призма, для которой такой многоугольник построить невозможно. Тогда за перпендикулярное сечение призмы принимают
многоугольник |
с вершинами в точках пересечения плоскости а |
|
с прямыми, которым принадлежат боковые ребра. |
||
Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию, есть |
||
многоугольник, |
конгруэнтный ее основанию. |
|
З а д а ч а . |
Построить сечение |
четырехугольной призмы плос |
костью, проходящей через точки М, |
N и Р, принадлежащие ее боко |
|
вым ребрам (рис. 24). |
|
|
Р е ш е н и е . |
Отрезки MN и NP являются сторонами искомого |
|
сечения. Найдем вершину сечения, лежащую на четвертом ребре [DDJ (или на его продолжении). Для этого построим диагональные
21
Е,
Рис. 26
сечения призмы AAfi^C и BBJDJD и соединим точки М и Р. Линия (EEi) пересечения диагональных плоскостей пересечет [М Р] в точке F, которая будет принадлежать искомому сечению. Продол жив [АЛ/7] до пересечения с (.DD4), получим точку Q. MNPQ — иско мое сечение. Если точка Q окажется на продолжении ребра DDit то сечение — пятиугольник (рис. 25).
З а д а ч а 2. Построить сечение пятиугольной призмы (рис. 26) плос костью а, проходящей через точки М, N и Р, которые соответственно при надлежат граням BCCiBi, CDD1 C1 и DEEiDi, причем ( РМ) и ( PN) не па раллельны плоскости основания призмы.
Р е ш е н и е . Построим линию пересечения (KL) плоскости а с плос костью АВС. Эта прямая проходит через точки К и L пересечения прямых РМ и PN с их проекциями (по направлению AiA) (PiM') и (PiN') на пло скость АВС. Затем строим (CD) П (KL) — Xi; соединив N с Xi, находим [C2D2] = CDD1 C1 П а. Дальнейшие построения рассмотрите самостоятель но (рис. 26). A2B2C2D2E2— искомое сечение.
За д а ч и
75.Дана наклонная четырехугольная призма ABCDAiBfiJD^
Доказать, что сумма мер двугранных углов А А и ВВи ССЬ DDl равна 360°.
76.1) Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпен дикулярны. Доказать, что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей боковой грани призмы.
2)Справедливо ли обратное предложение?
77.Найти отношение площади диагонального сечения правиль ной четырехугольной призмы к площади ее боковой грани.
22
78. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна Q. Найти площади ее диагональных сечений.
79°. Если диагональные сечения призмы пересекаются, то линия их пересечения параллельна боковым ребрам. Доказать.
80. Начертить основание правильной призмы, если известно, что она: 1) имеет параллельные диагональные сечения; 2) не имеет параллельных диагональных сечений, но имеет диагональные се чения, у которых нет общих точек.
81Q. 1) Может ли диагональное сечение наклонной призмы быть прямоугольником?
2) Два пересекающихся диагональных сечения призмы — пря моугольники. Доказать, что призма прямая.
82Q. В правильной призме все диагональные сечения конгру
энтны. Найти число сторон основания. |
|
|
83. |
Построить сечение четырехугольной призмы A BCDА iBiCiDi |
|
плоскостью, проходящей: 1) через точки М, |
N и Р, принадлежащие |
|
ребрам ВВи СС4 и AD\ 2) через ребро B fii |
и вершину А. |
|
84. |
Построить сечение треугольной призмы ABCAiBfii плос |
|
костью, |
проходящей: 1) через вершину A t и точки М и N, принад |
|
лежащие ребрам А В и Вfie, 2) через точки М 6 А В В ^ и N 6 BCCtB4
иPtziAiCii.
85.1) Построить сечение правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через середину ребра верхнего основания
и |
перпендикулярной к одной из диагоналей нижнего основания. |
на |
2) Найти площадь сечения, если высота призмы равна /г, сторо |
основания а. |
86.1) Построить сечение правильной треугольной призмы плос костью, проходящей через середину стороны основания призмы перпендикулярно к ее основанию и боковой грани.
2)Найти площадь сечения, если высота призмы равна h и сто рона основания а.
87.Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, высота призмы h. Найти площадь сечения, проведенного через середины двух смежных сторон основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований.
88. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое реб ро. Найти площадь сечения, если секущая плоскость образует с
плоскостью основания угол <р, а сторона основания равна а. Вы числить при а = 18 дму ф = 24°.
89. У прямой треугольной призмы ABCA^^Ci все ребра равны. Найти углы: 1) между (ВС4) и (ЛС); 2) между (ВС4) и (Л4С).
§ 11. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРИЗМЫ
Сумма площадей всех граней многогранника называется пло щадью его поверхности. Площадь поверхности многогранника рав на площади его развертки (§ 7).
23
Те о р е ма . Площадь боковой поверх ности призмы равна произведению пери метра перпендикулярного сечения на бо
ковое |
ребро. |
|
|
Для |
нахо |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||
ждения |
площади |
боковой |
поверхности |
|||
призмы |
(рис. |
27) |
следует просуммировать |
|||
площади'параллелограммов АА1В1В,В1ВСС1 |
||||||
и т. д. |
За основания этих параллелограм |
|||||
мов |
примем |
конгруэнтные |
ребра |
А А 1у |
||
ВВи ... . Высотами параллелограммов |
||||||
будут стороны перпендикулярного сечения. |
||||||
S6 = H 4 | • I Л2б 21+ I BBl I |
• |5 2с 2| + |
... + \ЕЕ,\ • |
\Е2А,\ = |
|||
— ( I ^ 2^2 I "Ь |^ 2^2 | + '•••+ |
| ^ 2^2 I ) *I АЛ1| . а |
|
||||
С л е д с т в и е . Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.
S6 = Р-Н, где Р — периметр основания, Н — высота призмы. Для вычисления площади полной поверхности призмы доста точно к площади боковой поверхности прибавить удвоенную площадь
основания: 5 П= S6+ 2S0.
За д а ч и
90.Высота правильной призмы равна h, сторона основания а. Найти площадь ее полной поверхности, если-число сторон основа ния равно: 1) 4; 2) 3; 3) 6.
91. На рисунке 28 изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки его забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?
92. Найти площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны 58 см, 50 см и 12 см,
абоковое ребро равно большей высоте основания.
93.У правильной шестиугольной призмы площадь боковой по верхности равна 648 см2, диагональ боковой грани 15 см. Найти сторону основания и высоту призмы.
94.В наклонной треугольной призме двугранный угол при од ном из боковых ребер равен 120°, расстояния от этого ребра до
других боковых ребер призмы равны 16 см и 14 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если ее боковое ре бро равно 20 см.
95. Расстояния между бо ковыми ребрами треугольной призмы пропорциональны чис лам: 26, 25, 3, площадь пер
24
пендикулярного сечения равна 144 ж2. Дополнить условие, указав длину одйого из отрезков, и вычислить площадь боковой поверхности призмы.
96. Составить и решить задачу на вычисление площади боковой поверхности наклонной четырехугольной призмы.
97. Все ребра наклонной треугольной призмы равны а, одно из боковых ребер составляет со смежными сторонами основания углы в 60°. Найти площадь полной поверхности.
98. Практическая работа.
Произвести необходимые измерения и вычислить площадь пол ной поверхности макетов: 1) прямой призмы; 2) наклонной призмы.
§12. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
1.О п р е д е л е н и е . Параллелепипедом называется призма,
основанием которой служит параллелограмм.
Из определения следует, что все шесть граней параллелепипеда— параллелограммы (рис. 29).
Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным
свойствам параллелограмма. |
|
|
|
||
Т е о р е м а |
1. |
Противолежащие грани параллелепипеда цо- |
|||
парно параллельны и конгруэнтны. |
|
и ВВ{С{С (рис. 29). |
|||
Докажите это свойство для |
граней A A f i f i |
||||
Т е о р е м а |
2. |
Все диагонали параллелепипеда пересекаются |
|||
в одной точке и делятся ею пополам. |
дан |
параллелепипед |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
||||
ABCDAiBiCiDi (рис. 30), в качестве начала векторов возьмем
вершину |
А. |
|
Если |
М 1— середина диагонали \АС{], то, очевидно, |
|
|
ш Л= — л с , = — (л в + л я + А 4 , ). |
|
|
2 |
2 |
Пусть М2— середина |
согласно (I, § 27) имеем: |
|
АМ2 = — ( AB + ADJ = — \а В + (а Ъ + АА1) |
||
|
2 |
2 |
= — (ЛВ + ЛЯ + Z 4 j ).
2
С
Рис. 29 |
Рис. 30 |
25
А
D С
|
|
|
А |
В |
|
Рис. 31 |
Рис. |
32 |
|
Аналогично получим для |
середин М3 и М4 |
диагоналей СЛ£ |
||
и DBi |
равенства |
|
|
|
|
Ш %= Ш < - ± -2{ А В + 15+ АЛ,). |
|||
Следовательно, |
М { — М2— М3= М4. . |
|
||
С л е д с т в и е . |
Точка пересечения диагоналей параллелепипе |
|||
да является его центром симметрии. |
перпендикулярны к |
|||
2. |
Если боковые ребра |
параллелепипеда |
||
плоскости его основания (рис. 31), то параллелепипед называется прямым.
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой паралле лепипед, основанием которого служит прямоугольник (рис. 32). Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются измерениями прямоугольного па раллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед с равными изме рениями называется кубом. Все грани куба — конгруэнтные квад раты.
Т е о р е м а |
3. |
Квадрат диагонали прямоугольного паралле |
лепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. |
||
Докажите |
это самостоятельно (рис. 32), применив понятие ска |
|
лярного квадрата |
вектора. |
|
С л е д с т в и е . |
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда |
|
равны. |
|
|
3 а д.а ч и
99°. Будут ли в параллелепипеде конгруэнтны: 1) двугранные углы при параллельных ребрах; 2) трехгранные углы, вершинами которых служат концы одной диагонали?
100°. Имеет ли произвольный параллелепипед: 1) ось симметрии; 2) плоскость симметрии?
26
101. Из «вершины параллелепипеда проведены три диагонали боковых граней. На этих отрезках как на ребрах построен паралле лепипед. Доказать, что противолежащая вершина данного паралле лепипеда служит точкой пересечения диагоналей построенного.
102°. 1) Может ли: а) основание наклонного параллелепипеда быть прямоугольником; б) боковая грань прямого параллелепипеда быть ромбом?
2) Могут ли в наклонном параллелепипеде две грани быть пер пендикулярны к плоскости основания?
103°. Пользуясь макетами, выяснить, сколько осей и плоскос тей симметрии имеет: 1) прямой параллелепипед; 2) прямоугольный параллелепипед; 3) куб.
104.Пересечением каких полупространств является параллеле пипед ABCDAiBfitPd
105.Найти диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны: 1) 2 дм, 3 дм, 6 дм\ 2) 3 см, 6 см, 12 см.
106.По данным предыдущей задачи найти площади полных поверхностей прямоугольных параллелепипедов.
107.Площадь полной поверхности куба равна 54 см2. Найти его диагональ.
108.Сколько кусков обоев потребуется для оклейки комнаты размером 6 X 5 X 3 м, если размер одного куска 0,5 X 7 м и на обрезки достаточно иметь запас, равный площади окон и двери комнаты.
109.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна dL, диаго наль боковой грани d2, диагональ основания d3. Найти площадь основания. По аналогии с полученной формулой написать форму лу площади боковой грани, содержащей диагональ d2.
110.В параллелепипеде диагональные сечения перпендикулярны
кплоскости основания. Доказать что этот параллелепипед прямой.
Ш. 1) в прямом параллелепипеде стороны основания равны 18 и 7, угол между ними равен 135°, боковое ребро параллелепипеда
равно 12. |
Найти диагонали параллелепипеда. |
|
равны 3 дм, |
|||||||
|
2) В прямом |
параллелепипеде стороны основания |
||||||||
5 дм, одна из диагоналей основания 3,2 дм, большая |
диагональ |
|||||||||
параллелепипеда |
равна 12 см. Найти его вторую диагональ. |
|
||||||||
|
3) В |
параллелепипеде |
ABCDA^iCiDi |
| А В | = |
а, | ВС | = 6, |
|||||
\В В 1\ = с, АВС = а, |
АВВ{= |
(3, BJ3C = у . |
Найти |
| BD{\ |
||||||
и |
| АС{\. |
|
|
|
|
|
|
|
параллеле |
|
|
112. Доказать, что если все диагонали прямого |
|
||||||||
пипеда равны, |
то он является |
прямоугольным. |
Справедлива |
|||||||
ли |
противоположная теорема? |
|
|
параллелепипеда |
||||||
|
113. Площади диагональных сечений прямого |
|||||||||
равны 112 см2 и 144 см2, |
стороны основания равны 8 см и |
14 см. |
||||||||
Найти площадь |
боковой и полной поверхности. |
|
|
грани |
кото |
|||||
|
114. Изготовить развертку параллелепипеда, все |
|
||||||||
рого — ромбы со стороной 4 а |
и острым |
углом |
60°. |
Вычислить |
||||||
27
площадь полной поверхности этого параллелепипеда и площади его диагональных сечений.
115. |
Основанием наклонного |
параллелепипеда |
служит |
квадрат |
|||||
со стороной а, одна из вершин |
другого |
основания |
проектируется |
||||||
в центр этого квадрата. Высота параллелепипеда |
равна |
h. |
Найти |
||||||
площадь |
боковой |
поверхности |
параллелепипеда |
и |
угол |
наклона |
|||
бокового ребра к плоскости основания. |
Какой должна быть зави |
||||||||
симость между а и /г, чтобы этот угол был равен 45°? |
|
ромб |
с |
||||||
116. |
Основанием прямого параллелепипеда |
служит |
|
||||||
острым углом ср и большей диагональю |
меньшая |
диагональ |
па |
||||||
раллелепипеда образует с плоскостью основания |
|
угол |
|3. |
Найти |
|||||
площадь |
боковой |
поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 13. ПИРАМИДА
Пересечем все ребра /г-гранного угла плоскостью а, не проходя щей через его вершину S. Получим некоторый многогранник
SABC... (рис. 33).
О п р е д е л е н и е . Многогранник, одна из граней которого я-угольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину, называется «-угольной пирами
дой.
При этом я-угольник (ABCDE на рис. 33) называется основанием пирамиды, ос тальные ее грани называются боковыми гранями. Общая вершина 5 всех боковых граней называется вершиной пирамиды. Объединение всех боковых граней пирами ды называется ее боковой поверхностью. Ребра пирамиды, не принадлежащие ее основанию, называются боковыми ребрами.
Различают треугольные, четырехуголь ные, пятиугольные и т. д. пирамиды. В треугольной пирамиде (тетраэдре) любая из граней может быть принята за осно вание.
|
На примере тетраэдра отметим |
любопытную |
||||||||
|
особенность пространственных |
|
фигур. |
не име |
||||||
|
Пусть дан тетраэдр |
SABG (рис. 34), |
||||||||
|
ющий конгруэнтных плоских углов при вершине |
|||||||||
|
5. Рассмотрим |
тетраэдр |
S^iSiCi, |
центрально |
||||||
|
симметричный данному относительно точки S, |
|||||||||
|
тогда S A 1 B 1 C1 = SABC. |
|
|
что |
одну |
из |
мо |
|||
- > с |
Из планиметрии |
известно, |
||||||||
делей двух плоских |
конгруэнтных |
фигур можно |
||||||||
|
путем |
непрерывного |
движения |
в |
пространстве |
|||||
|
переместить так, |
что она займет точно такое же |
||||||||
|
положение, какое занимала вторая модель. Ина |
|||||||||
|
че говорят, что две |
плоские |
конгруэнтные |
фи |
||||||
|
гуры |
можно совместить. |
Но |
попробуйте осуще- |
||||||
28 .
ствигь такое совмещение |
для тетраэдров |
S A B C и |
5 |
||||||||
5/liBiCi. Ваши |
попытки окажутся |
безуспешными |
|||||||||
«Несовмещающиеся конгруэнтные фигуры (простран |
|
||||||||||
ственные, разумеется) можно также получить при |
|
||||||||||
помощи симметрии относительно плоскости (смотри |
|
||||||||||
те I, § 45, рис. |
149). |
Наглядным |
примером |
здесь |
|
||||||
служат кисти левой и правой |
рук: попытайтесь |
|
|||||||||
одеть на правую руку перчатку |
с левой руки? |
Фи |
С |
||||||||
гуры, симметричные относительно плоскости, можно |
|||||||||||
продемонстрировать и с помощью плоского зеркала. |
|
||||||||||
По |
отношению к |
несовмещающимся |
конгру |
|
|||||||
энтным |
фигурам |
употребляется термин «зеркально |
|
||||||||
конгруэнтные фигуры». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Перпендикуляр [SO] |
(рис. |
33), |
опущен |
|
|||||||
ный из вершины пирамиды на плоскость ее |
S |
||||||||||
основания, называется высотой пирамиды. |
|||||||||||
Если основанием пирамиды служит пра |
|
||||||||||
вильный |
многоугольник |
и |
высота пирамиды |
|
|||||||
проходит через центр этого многоугольника, |
|
||||||||||
то пирамида называется правильной (рис. |
35). |
|
|||||||||
Все боковые ребра |
правильной пирамиды |
|
|||||||||
равны (I, § 41); все ее |
боковые |
грани — кон |
|
||||||||
груэнтные |
равнобедренные треугольники. |
|
|
||||||||
Высота боковой грани правильной пира |
|
||||||||||
миды называется апофемой этой пирамиды. |
|
||||||||||
[SM] — апофема (рис. 35). |
|
|
прохо |
|
|||||||
Сечение пирамиды |
|
плоскостью, |
|
||||||||
дящей через два боковых ребра, не принад |
|
||||||||||
лежащих одной грани, называется |
диаго |
|
|||||||||
нальным сечением пирамиды (рис. 33 и 35). |
|
||||||||||
Построение |
изображения |
пирамиды |
на |
|
|||||||
чинают |
с |
построения |
изображения |
ее осно |
|
||||||
вания. Далее отмечают основание высоты пи рамиды и изображают высоту (чаще всего в
виде вертикального отрезка), вычерчивают боковые ребра.
Чертеж пирамиды можно выполнить в кабинетной проекции. На ри сунке 36 показано построение изображения правильной треугольной пи рамиды. Сначала изображаем высоту [BD] основания (без изменения ее ве личины), затем сторону [АС] (расположив ее под углом 45° к [BD] и уменьшив вдвое). Основание О высоты пирамиды делиг [BD] в отношении 1 : 2. Наконец изображаем высоту [OS]_L{B£)J и боковые ребра SA, SB и SC. [SD] — апо
фема пирамиды.
|
З а д а ч и |
117. |
Пересечением каких полупространств является тетраэдр |
A BCD? |
1) Всякий ли параллелограмм может служить основанием |
118°. |
правильной пирамиды?
2) Может ли правильный многоугольник служить основанием неправильной пирамиды?
29