книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы

Г Л А В А

I.

КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ

5)

1. 1) (1,

2, - 3 ) ;

2)

(8,

О,

1);

3)

(0;

0,5;

-

УТ);

4) (0,

7,

0);

(1 ,0 ,

0); 6) (О,

0,

0).

2.

1) ( - 1 ,

2 ,5 );

2) ( - 9 ,

3, - 4 ) ;

3) (4, 4 , - 1 ) ;

3.

1)

(— 6,

— 2,

4);

2>( - " у

• 0.

— 7);

3) (23, —3,

12); 4)

(—33, - 9 , — 18);

/

73

29

4 \

_ > з _ >

_

4 _

5)

\

70

’

42

’

“

15J'

4‘

1)

2

Ь ’

2)

С =

“

3 d '

5.

5

; у =

6

.

6.

13

7.

1)

15;

2)

1

.

8.

1)

Нет;

2)

да.

* = — —

—

— .

—

о

о

24

о

5

9.

У к а з а н и е .

Смотрите

I,

§

32,

10.

1)

— 4

и 1;

2 ) --------и 0.

3

1 1 . 1) УГ;

2)

У 14;

3)

УТ;

4)

2.

12 .

-

p

/ i

j

L

и

^

-12. .

13.

1)

/2 9 ;

2)

0.

14.

1)

6 / Г

;

2)

/ 7 0 .

15.

cos ср =

9

<р«63°37\

1

3

16. -

2

и 2.

17.

-7- .

18.

1)

(

.

УТ )

;

2)

О,—

1

11

I У 3

У Т

' \

у ю

3) ( - 1 , 0 , 0 ) ;

4) (О, Т ' Т ) - 20-

Г ) 1

/ ю

' ~ т •

т)•

( у т ’ У Т ’ КГ) или(- VT.- уг.

2)

(- io

ги

—

J/X ). 22.

УТО. 23. ав25°22'.

24.

(О,

1,

0).

25.

1)

(—

,

-----3^ ;

2)

arccos

14

21°03\

26. Л,

С ,

D.

27.

Зх +

6у -f- 2z — 49 = 0.

28.

1) 2;

15

2)

2.

30.

если плоскость перпендикулярна оси

абсцисс;

2) а = 0 ,

1)

b = c = 0,

если плоскость

параллельна оси

абсцисс;

3)

d = 0.

31. 1)

у = 2; 2)

х

—

— 3 =

0.

32.

1) Да;

2)

нет.

33. 1)

Да; 2)

нет.

34.

1)

уТГ ’

Уъ

1

1

1

или

—

1

\

0.

36.

/ „

1

4

У 3

Уз

--------,

---------- гг- 1 . 35.

О,

0,

-----

УТ

Уз

)

\

9

37.

^24°06'и

54°43\ 38.

(О, 1,

— 2).

39.

* =

у = — 9.

5

3

, 2 ).

40. [— . —

41.

хг — х,

уг = = у ,

г1 = — г.

42.

лтд. =

ж - |-

a,

y L=

y + b ,

Zt — z + c,

44.

1)

4х —}- 6у -f- z — 15 =

0;

2)

Gx -{- 7у -|- z — 15 — 0.

46.

1)

3x -J- у — z —

— 7 =

0;

2)

x — «/ +

52 + 7 =

0.

47.

4

5

V u

2)

13 V T

8 V21

1)

— ------;

------------48.

63

1

14

1

1

49.

1)

M2

-

■

-

- у ) ;

2)

1,

- 2 ,

- 1 ) .

50.

-

J

M

2 (

*>«T

3

*■

-i):2)

“ “V

51.

1) 4* +

у — 62 =

0;

2)

4x — 3y — z = 0.

b

3

а

6

/

учесть,

->

У к а з а н и е .

Отложив

и

& от начала,

что концы ОА и ОВ при-

надлежит искомой плоскости.

52.

3

»

6

2

.

53.

^

6°23';

^а32°44'\

—

—

» —

^26°23'.

54.

2х У

— 2 — 8 =

0.

7

7

7

Предварительно найдите ко­

У к а з а н и е .

ординаты

ВС,

пользуясь

равенством

ВС =

ОС— ОВ.

55.

1)

^

42°50';

2)

27°00'.

56.

% 30°57'. У к а з а н и е .

Рассмотреть угол между

АВ и век­

тором,

перпендикулярным к данной плоскости.

Г Л А В А

II.

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ.

МНОГОГРАННИКИ

1

57. п. 58. Нельзя.

60. 1)

Нет;

2)

нет;

3)

да;

4)

да.

61.

arccos

^

—

3

% 70°32',

2 arccos

- % 141°04'.

У к а з а н и е .

Воспользоваться

теоремой

косинусов для трехгранного угла.

62. arccos

■—

.

63.

5

граней,

6 вершин,

3

9

ребер,

3

боковых

ребра.

64.

Треугольная;

2)

1080°.

65. 64

У 2

^

% 90,5 (см).

66. У к а з а н и е .

Через точки

М п N

провести прямые,

па­

раллельные боковым ребрам.

67.

2)

а)

180°;

б)

180° ( п — 2).

68. Не обяза­

тельно.

70.

1)

Да;

2)

не

обязательно;

3)

да;

4)

не

обязательно.

о

?

~

71.

1)

13,2

см

+ Ь2*)б

72,

2a cos

-~2

46,7 (см) у

cos (3

■

2а

^

/

sin2

- + cos2

tg2 р

% 3,01

(см).

73. 2а; а У 5 .

76.

2)

Да..

77.

.—

: 1.

78.

,—-

•

81.

,

Да.

ah

1/ 2

86.

2)

ah У

3

и

У 2

Q / 3

1)

85. 2) -----£----- .

--------------

ah

У 3

. 87.

За У 2h2 -f- а2

88.

а 2 У З

154 (дм2). 89. 1)^69°18'-,

2

4

4 cos <р

2)

% 75°31\

90.

1) 2а (а +

2Л);

2)

—

а (а У 3

+

6h);

3)

3а(а

У з + 2 Ь ) .

91.

% 27 600ж2,

92.5280 см2.

93.

2

12 см.

94.

1120 см2.

12 см, 9 см или 9 см,

97.

а2 (1,5 У з

+ 1 ) .

99. 1) Да;

2)

нет.

100. 1)

Нет;

2)

нет.

102. 1) а)

Да;

б) нет, если

ромб

не квадрат;

2)

противолежащие

грани могут,

а смеж­

ные— нет. 103.

3) Девять осей и девять плоскостей симметрии.

105.

1)7 дм;

2) ^ 13,7 см.

106.

1) 72

дм2;

2)

252 см2.

107.

3

У 3~ ^ 5,20 (см).

108. ^ 1 9.

109.

У

(d f — 4)

(d f +

d2 — d?)

;

] /

( d? — d§) ( d\ + d§ — df)

111.

1) ^

15,9 и 13; 2) ^ 9,82 дм;

3) У a2-fb 2+ c 2-|-2a& cos a-}-2accos.(3-{-2ic cos j

и

"l^a2 + b2 +

c2 — 2a6 cosa — 2ac cos p -f- 2bc cos 7 .

112 . Да.

113.

352

см2,

% 567

см2.

114.

48

У з

^ 83,1

см2, 16 см2 и ^22,6 см2.

115. 2а У 4h2 -f а2

;.

arctg

h

y

j

45°,

если

У 2 .

116.

2 d 2 tg \

tg p

x =

a

=

h

a

cos

117.

1)

a)

5 и 8;

6) 6 и

10;

в)

7

и

12.

118.

1)

Только

квадрат;

2)

может.

122.

1) | А

+ Т •

]/* • + Т ;

21

a2

h 2 4- ~\2

123.

13 сж;

^

17,0

см

124.

a

V

3

a

V

6

.

1

a2 tg<[>. 127.72tg<?:

—

2

, — r—

126.—

2

о

^

19,7

128.

1

____________

129.

^ 3 7 ,5

131.

d 2

( с м 2) .

а Н ,

—

а У

З а 2 +

12Я2 .

д м 2 .

--------- .

132.

1)

4

2)

arccos (— ctg2 ср) ^

94°7'.

4 cos ср

arccos (ctg ср)^74°28';

У к а з а н и е .

При­

менить теорему косинусов для трехгранного угла.

133.

180°—2 arcctg (

У 3 cos р).

135.

1) При

& =^= 1 только

центр

гомотетии;

прямые

и

плоскости * проходящие

через

центр.

136.

k

x

а

( 1 — k ) ,

k y

-|- b

(1 — k ) ,

k

z

с

( 1— k ) .

137.

1)

1:4;

2)

4 : 1 .

138.

2)

9:1;

fe =

0, l

j /

10

.

139.

Да,

например

прямые,

углы.

140.

1

Q;

2)

1

Я

и

1

141.

1) 0,6Р

и

1) —

—

---- Я.

4

3

у

п

0 ,36Q;

2)

п — т

„

и

/ п — т \2

Q.

142.

2)

т

Q.

143.

И сж.

---------

Р

-----

\ т +

п

п

\

п

144.

48

сж;

^

724

сж2.

145

•

у

сг ~

Т

(0 ~

Ь)2

;

■

/

с2 -7

(а _

Ь)2

,

1

6)2

146.

Ь)

У

2 с 2 — (а — f>)2 .

147.

48

сж2.

148.

1

ж2.

2) —

( а —

36 —

149.

1600

с м 2,

256

С М 2 .

150.

1 см;

К о О СО

ю

о

•

151.

1) 192 с м 2;'

8

1:2.

2)

О

152.

960 с м 2 ,

1360 С М 2 .

153.

1)

За

у

Г

а2

*

2)

4h 2 4- а2

;

2

*■+■

а У

З а

Г

1

/

г

IF

180'0

3)

/

4)

V

4/г2 4~ a2ctg2

• 154.

4 ж.

155. 8;

—

4Л2 + За2 :

4

а п

п

2

V

1

^

13,7.

^

85,2

1

nb2 sin а.

157 •

1)

4-

4- a b

4-

156.

1)

с м 2;

2)

2

~2- ( a h

b h

+

f a

2/i2 +

№

+

fl2&2 );

2)

648

с м 2 .

158.

% 23,5

с м 2 .

159.

126 д м 2 .

161.

—

а 2 (У Т ~

-(-

1), или —

а 2 ( 4 - \ - У 7 ~ ) .

162.

120 см 2

и

224

с м 2 .

4

4

163.

33,0

дм2. 164.

1) —

(а +

Ь)

j ^ / " 4Л2 +

(а —

Ь )2

2)

(а +

Ь)

х

4

X

у

4h2 +

(а — Ь)2 ;

3)

1

п(а + Ъ)

4h 2 4- (а

— b )2 ctg2

180°

—

/

У 3

4

п

167.

(a -f-

г------------------------------------------------------------

168.

^

176

169.

8 ж 2.

b)

С+ — - у

4с2+

(а — Ь)2

с м 2 .

2

170.

33.

171.

За2 УЗ

193 ж2.

172.

1)

% 54,9

2)

1

2 cos ср

с м 2;

arccos ----

3

70°32'.

173.

126 У

Т

^

218

( с м 2) .

175.

Только

правильный тетраэдр

(и

куб). 176. Нет. 179. 1)

=к70°30';

2)

109°30'.

180.

V W

...

2S

А

г

182

Vз

з

К

з

185.

V T

188.

4428

см2.

189.

30° и

150°.

190.

h2

(б У Т +

_

—

а2.

—

У 3 ) %

*

4

«=2,55й2. 191. 24.

192.

b2 V T

193.

2

/------------

195.

2) Лежит

2) ---- -------- .

] /

Qf +

Q|.

на биссектрисе

плоского

угла,

образованного смежными сторонами основания

(или на продолжении этой

биссектрисы).

196.

а) Да; б)

нет.

197.

64 У2~яг

^ 9 0 ,5

(см2).

199.

2

аЪ.

201.

117 см2.

202.

а {а + h

+ У а2 + h2 ) .

2) —

сР

_

У

с2

________

204.

+ 0 ^

l,55d2.

(l + tg <р+

— (3

]/3

205. —

У 2 tg2<р+ 1 ) .

206.

1)

2 arcsin ^tg

- ~ j ;

2)

arccos

sin

—p j.

208

Ы2

У 3

218.

в)

Круг;

г)

эллипс,

219.

^ 6 ,8 7 ж2.

220 ■

|А

2Я

221.

2)

4SL

у Т и

3RZ. / Г .

224.

47С

и

2те

. 226. 140хЗЗ ™ .

л

227:

2)

а) а =

arctg

;

б)

/ =

п У h2 +

(тrD)2 ;

в ) а %

1°30\

—

tzL)

75,5л жж.

228.

1)

Да;

2)

Л : sin ср,

ftctgcp.

229.

1)

тс/2 sin2

2)

1 /

Т

тс

.

230.

2)%

И .6 Ли2.

231

R2 tg а

X

cos а sin2

ф

У

X У sin (<р -f- a) sin (<р— а ).

232.

1)

Н У 2

Я

0,707Я; 2) - 7= -. 235. 4,5сж,

уОг

IR

11,1 сж.

236.

^180°,

^

14 см.

238.

60°.

239.

17 см.

240.

R — r

7г/)2

j? 1/> — (R — г)2

241.

1)

I (d

I cos ф)

$Шф;

2)

и

Q'Tr/l2

R — r

-----

4

(2R + r\z ..

4

242.

.'R + 2r\*

128

см2.

245.

1)

3

— см, 8 -7

см

u I---- :--I

и

те I--------:---- ) .

244.

и

з

^

/

сж,

V

з

^57°.

246.

1)

’

3

3

216°; 2)

85

% 61 сж и

Вне; 2)

внутри;

3) вне.

247.

1)

(х — 2)2 +

(у +

I)2 +

(г — З)2 =

16;

2)

(* +

5)2 +

у2 4- (г — 7)2 =

3.

248.

А и D.

249.

1)

S (2,

— 2,0),

Я =

уТГ;

2)

S (0,

— 1 ,

3),

R = 4.

250.

1)

1; 2)

3. 251.

1) Да;

2) нет. 252.

1)

(дт — 5)2 + (и +

З)2 + (г — 7)2 =

- * » ( . - i-)T + ( . - i ) *

+ ( . - ^

- .

■

Г . - Н - +

319. —

. 320.

« 2 0 ,8 см3\

« 1 2 ,6 см2*. 321.

«Н ,8 дж3.

323. 1) Да;

2) не обяза-

b

r—

1

а

1

тельно.

324.

ml2 sin 2а «

48 у З « 8 3 ,1

(дм3). 325. —

Sd cos—

. 326. —

4

2

2

330.

.

. y

— d\ .

331.

He

обязательно.

332. « 2 2 4 см3.

334.

« 1 7 0 шт.

—

d\ у

335.

«50,2% .

336. «

260

см.

1

0

360°

cosa,

или

337. - 77- nl3 sin-------- sin 2a

360°

16

n

nl3 sin -------- sin 2a cos a