книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы

Последнее уравнение называется уравнением сферы. В этом уравнении х, у, г — координаты точки сферы..

Полагая в уравнении а = Ъ = с = 0, получим уравнение сферы

2) удалена от центра на 0,85; 3) удалена от точки В, принадле­ жащей сфере, на 4?

проходит через центр сферы О (рис. 83). В сечении получим плос­ кую замкнутую линию L. Опустим из центра О перпендикуляр [OR] на плоскость а. Расстояния от точки К до любых точек М и М2, Л43, ... на линии L равны, так как [М{Ю, Ш 2/(], ... являются про­ екциями (на плоскость а) наклонных [OMJ, 10М2], ..., длины кото­ рых равны R. Следовательно, L — окружность с центром /(.

2. Пусть секущая плоскость |3 проходит через центр О сферы. Тогда, очевидно, сечение есть окружность с центром О и радиусом, равным радиусу сферы..

Окружность, полученная при пересечении сферы плоскостью, проходящей через центр сферы, называется большой окружностью сферы (или шара). Круг, ограниченный большой окружностью, называется большим кругом шара.

Радиус большого „круга равен радиусу шара.

60

Рис. 83 Рис. 84

С л е д с т в и я . 1. Сечение шара плоскостью есть круг.

2. Диаметр сферы (шара), перпендикулярный к плоскости сечения, проходит через центр сечения.

Это следует из первой части доказательства теоремы. Справедливо и обратное утверждение: если через центр сечения

провести перпендикуляр к плоскости сечения, то он пройдет через центр сферы (шара).

Действительно, если предположим противное, то через точку К (рис. 83) к плоскости а будут проведены два различных перпен­ дикуляра.

3. Сечения сферы (шара), одинаково удаленные от его центра, имеют равные радиусы.

Докажите это самостоятельно (рис. 84).

§ 28. ИЗОБРАЖЕНИЕ СФЕРЫ И ШАРА

Поместим перед плоским экраном шар, освещенный параллель­

ется кругом. Такой способ проектирования мы и избе­ рем для построения изобра­ жения шара. Изображение шара (а также сферы) в ви­

61

с

Контур изображения — окружность, изображающая большую окружность сферы (рис. 86). Для большей наглядности, кроме кон­ турной окружности, изображают еще одно или несколько сечений сферы. Обычно этим сечением служит так называемый экватор (рис. 86). Плоскость экватора берется не перпендикулярной к плос­ кости проекций (иначе экватор изобразился бы в виде отрезка). Диаметр, перпендикулярный к плоскости экватора, изобразится отрезком N S , концы которого (полюсы шара) располагаются не на контурной окружности, а внутри нее.

Если задан экватор Е, то полюсы N и 5 можно построить, пользуясь равенствами | ON | = | OS | = | ВВ\ | (1) (рис. 87, а, б), где [BBi] l [NSJ).

Если задано изображение полюсов, то изображение диаметра АВ эк­

Для изображения сечений сферы рекомендуем изготовить шаблоны эллип­ сов с отношением осей 3: 1 .

За д а ч и

253.1) Доказать, что если секущая плоскость не проходит через центр сферы, то радиус сечения меньше радиуса большой окружности.

2) Доказать, что из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы.

254.Сформулировать и доказать предложение, обратное след­ ствию 3, § 27.

255.1) Радиус шара равен R. Найти площадь сечения, удален­

отстоит от центра шара на 15 см. Можно ли построить в данном шаре сечение, площадь которого в два раза больше площади данного сечения?

62

256.Из точки М, взятой на сфере радиуса 30 см, проведены две

центр шара? 2) На каком расстоянии от центра шара находится хорда А В?

2) Такой же вопрос по отношению к сечениям сферы плоскос­ тями хОг и yOz.

§29. ТЕОРЕМЫ О БОЛЬШИХ ОКРУЖНОСТЯХ СФЕРЫ

Те о р е м а 1. Через две точки сферы, не являющиеся конца­ ми диаметра, можно провести одну и только одну большую окруж­ ность.

До к а з а т е л ь с т в о . Точки М, N я О (рис. 88), согласно условию, не лежат на одной прямой, тогда через эти три точки про­ ходит единственная плоскость а.

При пересечении сферы плоскостью а получим большую окруж­ ность, проходящую через М и N .n

Большая окружность сферы, проходящая через точки М и N, делится этими точками на две дуги (рис. 88). Можно доказать,что длина меньшей из них меньше длины любой линии, принадлежа­ щей сфере и соединяющей две данные точки. Это свойство учи­ тывают, прокладывая курс океанских и воздушных кораблей; по траекториям, близким к дугам больших окружностей земного шара, движутся межконтинентальные баллистические ракеты.

Т е о р е м а 2. Две большие окружности одной сферы пересе­

каются в двух точках, которые делят эти окружности пополам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим плоскости больших окруж­ ностей через а и Р (рис. 88). Плоскости а и (3 имеют общую точку (центр сферы О), поэтому а и |3 пересекаются по прямой, проходящей

63

3) Вычислить путь, который проходит за сутки в результате

.вращения Земли населенный пункт, в котором вы живете (радиус Земли принять за 6400 км).

261. Точки А, В и С расположены на сфере радиуса 25 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости АВС, если хорды,

=10 см.

262.Два города находятся на 60° северной широты, разность

их долгот равна 120°.

земной поверхности.

§30. ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К СФЕРЕ

Оп р е д е л е н и е . Касательной плоскостью к сфере (шару)

называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку.

Следующая теорема дает способ построения касательной плос­

кости.

Т е о р е м а 1. Плоскость, проведенная перпендикулярно ра­

диусу сферы через его конец, принадлежащий сфере, является касательной плоскостью к сфере.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть плоскость а перпендикулярна к радиуса ОА и проходит через его конец А (рис. 89). Возьмем на плоскости а любую точку В, отличную от А. Так как из точки О на плоскость можно опустить единственный перпендикуляр, то \ОВ] — наклонная к плоскости а. Отсюда, | ОВ | >> | ОА | (I, § 41), или | ОВ | > R, т. е. В не принадлежит сфере. Этим доказано, что А — единственная общая точка плоскости а и сферы. и

Такую точку назовем точкой касания сферы и плоскости.

Т е о р е м а 2 (обратная). Радиус сферы, проведенный в точ­ ку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — касательная плоскость, А — точка касания (рис. 89). Возьмем любую другую точку В на

к сфере (шару).

64

З а д а ч и

263°. Сколько касательных плоско­ стей к сфере можно провести через точку, взятую: 1) на сфере; 2) вне сферы?

264°. Сколько касательных прямых к сфере можно провести через точку, взятую: 1) на этой сфере; 2) вне этой сферы?

265р. Найти множество всех точек, которые являются центрами сфер: 1) касающихся данной плоскости

в данной точке; 2) имеющих данный радиус и касающихся данной плоскости.

266.Найти множество центров всех сфер, касающихся обеих граней данного двугранного угла.

267.Шар радиуса R касается граней двугранного угла, рав­ ного ср. Найти расстояние от центра шара до ребра данного угла.

268.Плоскость, проходящая через конец радиуса сферы, рав­ ного R , образует с этим радиусом угол ф. Найти радиус сечения.

269.Из точки М проведены к сфере две касательные. Дока­ зать, что их отрезки от точки М до точек касания равны между собой.

270.Стороны треугольника, равные а, b и с, касаются сферы радиуса R. Найти расстояние от центра сферы до плоскости тре­ угольника. Вычислить при а = b — 10 см, с — 12 см, R = 5 см.

271.Доказать, что перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный через точку касания, проходит через центр сферы.

272.Радиус шара равен R. Найти площадь сечения, образую­ щего с касательной плоскостью двугранный угол ф и проходящего через точку касания.

273*. Две сферы (0{, R {) и (02, /?2) пересекаются по некоторой линии. Доказать, что эта линия — окружность, плоскость которой

перпендикулярна к (С^Ог).

Р е ш е н и е . Рассмотрим сечение данных сфер плоскостью, проходящей через их центры Oi и 02. Получим две окружности (рис. 90), пересекающиеся в точках М и /Иь где [ MMi ] ± [0г021 (из планиметрии). П;> и вращении этих окружностей вокруг оси ОгО.L получим обе данные сферы, причем точка М опишет окружность радиуса | RM \ Последняя окружность и будет общей

линией двух данных сфер. Плоскость, содержащая линию пересечения сфер, перпендикулярна к [0i02], что следует из определения поверхности вра­ щения.

§ 31. ЧАСТИ ШАРА И СФЕРЫ

Пересечем шар плоскостью а (рис. 91). Объединение круга, получившегося в сечении, и части шара, расположенной по одну сто­ рону от секущей плоскости а, называется шаровым сегментом. При этом круг называют основанием шарового сегмента, а часть

ченной между секущими (параллельными!) плоскостями, называют шаровым слоем. Эти круги называют основаниями шарового слоя, принадлежащую ему часть сферы — сферическим (шаровым) поя­ сом. Основания шарового пояса — окружности оснований слоя. Отрезок (OjOa), соединяющий центры оснований шарового слоя, называется высотой слоя (а также высотой сферического пояса).

Сегментную поверхность (или сферический пояс) можно полу­ чить вращением части полуокружности (дуги NA или А В, рисунки 93 и 94) вокруг диаметра. Проекция вращаемой дуги на диаметр служит высотой соответствующей части шаровой поверхности, что видно из рисунков 93 и 94.

Условимся высотой шара и сферы считать их диаметр.

За д а ч и

276.Радиус шара равен 50 см, радиус основания шарового сег­ мента 14 см. Найти высоту сегмента.

66

279. Площади оснований шарового

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Н ГЛАВЕ III

280.На изображении круга по­ строить изображение: 1) сектора с углом 15°; 2) сегмента с дугой 150Q.

281.Точки А, В и С принадлежат данному эллипсу. Построить: 1) точку

Мтак, чтобы дуги А В и СМ эллипса изображали равные дуги окружности;

2)точку N так, чтобы \^>АВ и \^AN эллипса изображали равные дуги.

одно из оснований цилиндра, а вершина принадлежит другому ос­ нованию. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

2) Составить и решить аналогичную задачу для пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник и одно из ребер служит высотой.

284*. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной а. Ребро SD равно b и перпендикулярно к плоскости основания. Внутри пирамиды расположен цилиндр так, что окружность одного из его оснований вписана в треуголь­ ник SCD,a окружность другого основания имеет единственную об­ щую точку с гранью SAB (рис. 95). Найти высоту цилиндра.

285.Радиус основания конуса равен Ry высота Н. В конус вписан цилиндр так, что одно из оснований цилиндра служит па­ раллельным сечением конуса, а другое принадлежит основанию конуса. Найти радиус и высоту цилиндра, если известно, что диа­ гональ его осевого сечения параллельна образующей конуса.

286.Площадь осевого сечения конуса равна 5, площадь сред­ него сечения Q. Найти угол наклона образующей к плоскости ос­ нования.

287.1) Угол при вершине осевого сечения конуса острый. До­ казать, что любое сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, имеет площадь, не большую площади осевого сечения.

2)Образующая конуса равна /. При каком значении угла на­ клона образующей к плоскости основания осевое сечение конуса

будет иметь наибольшую площадь?

288. Конусностью детали, имеющей коническую форму, назы­ вается отношение диаметра основания к высоте конуса.

1)Найти образующую конуса, у которого высота равна 245 лш,

аконусность равна 1 : 10.

2) Вычислить конусность детали, диаметр основания которой 42 мм, а угол при вершине осевого сечения 12°.

289.Вывести формулу, выражающую зависимость между конус­ ностью детали и углом при вершине осевого сечения.

290.В усеченном конусе площадь осевого сечения равна Q. Найти площадь сечения, которое проходит через хорды оснований, стягивающие дуги, равные 2а, если известно, что это сечение об­ разует с плоскостью основания двугранный угол |3.

291.Через вершину конуса проведена плоскость, пересекаю­ щая основание. Найти угол при вершине сечения, если углы развер­ ток полученных частей боковой поверхности конуса равны 30° и 60°.

292.Найти координаты общих точек плоскостей х + 2у— 5 =0, 3у — z = 1 и сферы х2+ у2+ z2 = 26.

293.1) Найти множество центров всех сфер, проходящих через три точки, не принадлежащие одной прямой.

2)Найти множество центров всех сфер, касающихся двух па­ раллельных плоскостей.

294. Дана сфера х2+ у2-{- z2— 9 и точка М( 1, 2, 2), принадле­ жащая сфере. Составить уравнение плоскости, касательной к сфе­ ре и проходящей через данную точку.

295. 1) Доказать, что диаметр сферы виден под прямым углом из принадлежащей сфере точки, которая не служит концом этого диаметра.

2)° Найти множество всех точек пространства, из которых дан­ ный отрезок виден под прямым углом.

296.Сфера пересечена двумя плоскостями, одинаково удален­ ными от центра; угол между плоскостями равен 60°. Общая хорда окружностей, получившихся в сечении, равна а и стягивает водной из окружностей дугу 90°. Найти радиус сферы.

297.Тело ограничено двумя сферами, имеющими общий центр. Доказать, что сечение тела плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению плоскостью, касательной к внутренней сфере.

298*. Доказать, что если прямые, имеющие общую точку, пере­ сечены сферой, то произведение расстояний от этой точки до точек

пересечения каждой прямой со сферой есть величина постоян­ ная.

299. Через точку касания сферы и плоскости проведена секу­ щая плоскость. Найти угол между касательной и секущей плоскос­ тями, если известно, что секущая плоскость делит сферу на две сег­ ментные поверхности, высоты которых относятся как 1 : 2.

300. Центр шара не принадлежит шаровому слою; углы, под которыми видны из центра шара диаметры оснований слоя, отно­ сятся как 1 : 2. Найти меньший из этих углов, если высота слоя равна половине радиуса шара.

68

Г ЛАВ А IV

ОБЪЕМЫ ТЕЛ

§ 32. ЗАДАЧА ОБ ИЗМЕРЕНИИ ОБЪЕМА ТЕЛА

Практический опыт и наблюдения позволяют утверждать, что окружающие нас предметы занимают различные по величине части пространства. Например, часть пространства, занимаемая спичеч­ ной коробкой, меньше части пространства, занимаемой классной комнатой. В связи с этим возникла мысль о том, что величину час­ ти пространства, которую занимает геометрическое тело, можно характеризовать числом.

Задача измерения объема тела при выбранной единице длины аналогична задаче измерения площади плоской фигуры.

Будем предполагать, что каждому телу, которое мы рассматри­ ваем, поставлено в соответствие единственное положительное число,

называемое объемом тела, причем выполняются следующие свойства измерения объемов тел:

1.Конгруэнтные тела имеют равные объемы.

2.Если тело разбито на несколько частей1, то объем тела равен сумме объемов всех этих частей.

3.Объем единичного куба (куба, длина ребра которого равна единице) равен единице.

Объем тела будем обозначать буквой V.

Можно доказать, что на множестве всех многогранников сущест­ вует функция V(T), которая каждому многограннику Т ставит в

1 Рассматриваются только такие части тела, которые сами являются телами: При этом предполагается, что никакие две части тела не имеют общих внутренних точек

69