книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы
.pdfлым (рис. 121, |
б). |
Объем |
простого |
|||
шарового сектора, меньшего, |
чем по- |
|||||
лушар, равен сумме объемов |
конуса |
|||||
и шарового сегмента: |
Есект = |
VK+ VC |
||||
(рис. |
121, а). Обозначим: | СК | = # , |
|||||
КЛ \ |
= г, \ОА\ = R. |
Тогда |
Ук = |
|||
1■Tzr2(R—H); У |
|
1 -Н2(3R— Н). |
||||
|
|
сект' |
|
|
|
|
Но r2 = H(2R |
Н ) , |
|
|
|
тогда |
|
|
1 |
|
- |
Н) |
( R - H ) + |
|
VceKT= .1. *Н (2R |
||||||
-f — кН2(3R — Н). После раскрытия
з
скобок и приведения подобных чле нов получим:
У сект = ----- 7ZR2H.
Если простой шаровой сектор больше полушара, то его объем ра вен разности объемов шара и шаро вого сектора, дополняющего данный сектор до шара (рис. 121, а):
1/ сект = - ^ « Я 8 - - J * R * \ C K \ =
|
= — -kR2(2R — \C K \)= — kR2\DK\. |
|||
|
3 |
|
|
3 |
|
Пусть дан |
|
полый |
шаровой сек |
|
тор (рис. 121,6). Его |
объем можно |
||
|
рассматривать как разность объемов |
|||
|
двух простых |
шаровых секторов: |
||
^сект = Y |
| СК | ---- -2 *R* ICN I |
= |
- L *R* IK N I. |
|
Таким образом, если Н — высота соответствующей шаровому сектору сегментной поверхности или поверхности шарового слоя, то во всех случаях имеем формулу:
Усек = -
Т е о р е м а . Объем шарового сектора выражается формулой:
V = — |
. |
3 |
|
90
За д а ч и
422.Можно ли считать шаровым сектором объединение конуса
ишарового сегмента, имеющих общее основание, но не имеющих общей внутренней точки?
423.1) В осевом сечении простого шарового сектора радиус
равен 6,5 |
см, |
а хорда |
12 см. Найти объем сектора. |
2) Радиус |
простого |
шарового сектора 22 дм, а угол в осевом |
|
сечении |
73°. |
Найти |
объем. |
424.Круговой сектор ЛОВ с радиусом R и дугой а <С 90° вращается около диаметра, перпендикулярного радиусу ОА. Найти объем тела вращения. Вычислить при R = 16 см, а = 20°30\
425.Полукруг разделен на три конгруэнтных сектора двумя радиусами. Найти отношение объемов тел, образованных вра щением полученных секторов около диаметра полукруга.
426. Площадь |
осевого |
сечения простого шарового сектора в |
три раза меньше площади |
большого круга. Во сколько раз объем |
|
шарового сектора |
меньше |
объема шара? |
427.Круговой сектор с площадью 5 и углом а (90° <С а << 180°) вращается вокруг среднего радиуса. Найти объем тела вращения.
428.Могут ли в данном шаре быть равновеликими два некон груэнтных: 1) шаровых сегмента; 2) шаровых сектора?
§44. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА КОМБИНАЦИЮ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Шар называется описанным около конуса, если основанием конуса служит сечение шара, а вершина конуса принадлежит по верхности шара (рис. 122). В таком случае конус называется впи
санным в шар.
Шар называется вписанным в конус, если основание конуса и все его образующие касаются шара. В таком случае конус называ ется описанным около шара.
Аналогично вводится понятие вписанного и описанного шара в случае цилиндра и усеченного конуса.
91
З а д а ч а . В шар вписан конус высотой h. Объем конуса равен
* ~~ объема шара. |
Найти объем шара. |
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
Пусть SAB — данный конус, [50] — его высота |
|||||
(рис. |
122). Около осевого |
сечения |
конуса |
опишем круг |
||
(рис. |
123). Центр |
0 4 круга |
будет лежать |
на высоте 5 0 |
равнобед |
|
ренного треугольника 5 Л А5 |
(или на продолжении |
этой |
высоты). |
|||
Будем вращать прямоугольный треугольник SOB вместе с полу кругом SBD около диаметра SD. При этом получим конус SAB,
который вписан в шар с центром |
0 4 |
(рис. |
122). |
Введем обозна |
||||||||
чения: |
х — радиус |
шара, |
г — радиус |
|
основания |
конуса. По ус |
||||||
ловию, |
яг2/?. = |
— • |
я х3, |
или |
r2h |
= |
х3 (1). Выразим г через |
|||||
Л и * . |
Так |
как |
[£0]J_[5D], |
то |
| ВО |2 |
= |
| 5 0 |
| • | 0D |, |
или |
|||
г2 — h(2x — h). Равенство |
(1) примет |
вид: |
h2 (2х — И) = х3, |
или |
||||||||
х3— 2h2x + h3= 0. |
Полученное |
уравнение |
решим |
путем разложе |
||||||||
ния левой части на множители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(х3— h2x ) — (h2x — h3) = 0; х(х2— h2) — h2 (х — h) = 0; |
|
|||||||||||
(x — h) (x2+ |
xh — h2) = 0, отсюда хг = h\ *2,3 = |
^ . |
|
|||||||||
Отрицательный корень x3не годится. |
Задача имеет два решения: |
|||||||||||
V1 = -jT.h? и V2= -j- л ( / Г — 2) Л3.
Мы выяснили, что центр шара располагается на высоте описанного ко нуса, поэтому в дальнейшем можно изображать только осевое сечение комби нации шара и конуса. Изображением осевых сечений можно ограничиться
ив случае других комбинаций тел вращения.
За д а ч и
429.1) Доказать, что центр шара, описанного около цилиндра или усеченного конуса, лежит на оси тела (или на ее продолжении).
2) Доказать, что центр шара, вписанного в цилиндр или усе ченный конус, лежит на оси тела.
430.Во всякий ли цилиндр можно вписать шар? Какому соот ношению должны удовлетворять диаметр и высота описанного цилиндра?
431.Какому соотношению должны удовлетворять образующая
идиаметры оснований усеченного конуса, описанного около шара?
432.Из цилиндра диаметром \2 см и высотой 16 см выточен шар наибольшего диаметра. Сколько процентов материала пошло в отходы?
433.В шар радиуса R вписан цилиндр радиуса г. Найти объем цилиндра.
434.В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна / и образует с плоскостью основания угол а.
92
435.Объем шара, вписанного в конус, равен V. Найти объем конуса, если известно, что угол при вершине его осевого сечения равен а.
436.Около конуса высотой 1 ж описан шар, объем которого
вчетыре раза больше объема конуса. Найти радиус шара.
437.В усеченный конус вписан шар радиуса г. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом а. Найти объем
усеченного конуса.
438. Около шара описан усеченный конус, площадь осевого се чения которого S, острый угол сечения а. Найти объем шара. Вы числить при S = 52 дм2, а = 81°.
439.Шар радиуса R вписан в конус. Из центра шара образую щая конуса видна под углом а. Найти объем конуса.
440.Плоскость, перпендикулярная к высоте конуса, проходит через центр описанного шара и делит конус на две равновеликие части. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.
441.Сферическая поверхность с центром в вершине конуса касается основания конуса и делит конус на части, объемы которых
относятся как 1 : 2 (считая от вершины). Найти угол при вершине осевого сечения конуса.
442. В конус с радиусом основания R и высотой Н вписан ци линдр. Найти линейные размеры цилиндра, при которых его объем наибольший.
|
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV |
443. |
В прямом параллелепипеде высота hy стороны основания |
а и Ь. |
Каким должен быть двугранный угол ф при боковом реб |
ре параллелепипеда, чтобы объем его принял наибольшее зна чение?
444.В основании прямого параллелепипеда диагонали отно сятся как 9 : 5, угол между ними равен 30°. Диагонали паралле лепипеда равны 26 см и 30 см. Найти объем и площадь большей бо ковой грани.
445.В прямом параллелепипеде две диагонали, равные d, об разуют между собой угол а. Площадь каждой из боковых граней равна S. Найти объем параллелепипеда.
446.В наклонном параллелепипеде основание и одна из боко
вых граней — прямоугольники, их площади соответственно рав ны 20 дм2 и 24 дм2, двугранный угол между ними равен 30°. Третья грань параллелепипеда имеет площадь 15 дм2. Найти объем.
447. Прямоугольная площадка длиной 80 ж и шириной 25 м наклонена так, что одна из меньших сторон находится выше проти воположной стороны на 1,2 ж. Сколько кубических метров грунта нужно насыпать, чтобы сделать площадку горизонтальной? Сколъ-
93
ко кубических метров грунта нужно срезать на площадке, чтобы, насыпав этот грунт, выровнять площадку (рис. 124)?
448. Железнодорожная насыпь имеет ширину в верхней части 10 м, а в нижней 18,5 м, углы откоса равны 35°. Найти объем такой насыпи на участке длиной 1 км.
449.Основанием прямой призмы служит прямоугольный треу гольник с гипотенузой с и большим острым углом а. Диагонали двух больших боковых граней, проведенные из одной вершины нижнего основания, образуют угол (3. Найти объем призмы. Иссле довать решение.
450.1) В треугольной призме расстояния между боковыми
ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, площадь боковой поверхности 480 см2. Найти объем.
2) Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам 20, 37, 51, боковое ребро равно 0,5 дм, площадь боковой поверхности 10,8 дм2. Найти объем.
451. В наклонном параллелепипеде двугранный угол при боко вом ребре равен а, расстояния от этого ребра до двух соседних ребер равны а и Ь, боковое ребро равно с. Найти объем.
452. Основанием |
призмы служит &АВС, в котором | ВС | = а |
||
и | А В | = | |
АС |. |
Ребро AAi |
имеет длину b и перпендику |
лярно к [ВС], |
двугранный угол |
при [АА^ равен а. Найти объем. |
|
453.В треугольной пирамиде все ребра, кроме одного, равны а, плоский угол, лежащий против ребра, не равного остальным, ра вен а. Найти объем.
454.Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник, у которого стороны, равные а, образуют угол а. Диагональ грани, противолежащей этому углу, образует с другой боковой гранью угол ср. Найти объем.
455.Основанием призмы служит равнобедренный прямоуголь ный треугольник с катетом а; боковое ребро, противолежащее ги потенузе, равно b и образует с катетами углы а и (3. Найти объем призмы.
456.Параллельное сечение разделило пирамиду на две равно
великие части. Найти отношение площадей частей, на которые раз делена боковая поверхность.
457. Через середины каждых трех ребер куба, выходящих из одной вершины, проведены сечения. Найти объем и площадь по верхности полученного многогранника, если ребро куба рав но а.
94
458. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боко вое ребро образует с плоскостью основания угол а. Через вершину В проведена плоскость, перпендикулярная к ребру SD. Какую часть объема данной пирамиды составляет объем четырехугольной пирамиды, отделяемой сечением?
459. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и образует с боковой гранью угол а. Через сторону основания пи рамиды проведена плоскость, перпендикулярная к противолежащей грани. Найти объем пирамиды, отсекаемой этой плоскостью от дан ной пирамиды.
460.Найти объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой длиной а образует с боковой гранью угол а. Исследовать решение.
461.В правильной четырехугольной пирамиде площадь боко вой поверхности равна 80 ж2, высота 3 ж. Найти объем.
462. В основании пирамиды лежит прямоугольная трапеция, у которой большая из непараллельных сторон равна 12см, а меньший угол 30°. Все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, площадь боковой поверхности равна 90 см2. Найти объем.
463.В основании пирамиды SABC С — 90°, А = а, | АВ | = с. Боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, грань SBC образует с основанием двугранный угол (1 Найти объем.
Вычислить при с = 18 см, а = 60°, (3 = 45°.
464.В основании пирамиды лежит прямоугольник с площадью Q, две боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие образуют с ним углы а и (3. Найти объем пирамиды.
465.Основание пирамиды — правильный треугольник со сто роной а. Одна из боковых граней наклонена к плоскости основания под углом а, а два боковых ребра, принадлежащих этой грани, образуют с основанием углы (3. Найти объем.
466. Основание |
пирамиды — прямоугольник со сторонами а |
|
и b(a ;> b), плоские |
углы, противолежащие этим сторонам, отно |
|
сятся как 2 : 1 , |
все боковые ребра равны. Найти объем пирамиды. |
|
Вычислить при |
а — 12, b = 10. |
|
467.Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, параллельные стороны которой равны а и b (а > Ь), а угол между равными отрезками диагоналей а. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, двугранные углы, прилежащие к параллельным сторонам основания, относятся как
1:2. Найти объем пирамиды.
468.1) Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник с углом а при вершине, объем призмы равен V. Найти
объем вписанного цилиндра. Вычислить при V = 12 ж3, а = 60°. 2) Около цилиндра описан прямой параллелепипед, объем кото рого в т раз больше объема цилиндра. Найти двугранные углы
при боковых ребрах параллелепипеда.
95
469. Цилиндрический шлифовальный круг диаметром |
350 мм |
и шириной 60 мм сточился на 3 мм в диаметре. На сколько |
процен |
тов уменьшились его объем и рабочая поверхность? |
|
470.Около усеченного конуса объемом 3,0 м3 описана правиль ная четырехугольная усеченная пирамида. Найти ее объем.
471.В конус вписан шар. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, касается шара и делит конус на две равновеликие части. Найти угол наклона образующей к плоскости основания конуса.
472.Усеченный конус вписан в шар радиуса R. Основания конуса отсекают от шара два сегмента, у которых дуги осевых сече ний соответственно равны а и fl (а > |3). Найти объем усеченного конуса.
473.В конус вписан цилиндр, у которого диагонали осевого сечения соответственно параллельны двум образующим конуса. Образующая конуса равна / и составляет с плоскостью основания угол а. Найти объем тела, ограниченного основанием конуса и боковыми поверхностями цилиндра и конуса.
474.Шар пересечен цилиндром, ось которого является диамет ром шара (основания цилиндра касаются шара). Найти объем части цилиндра, находящейся вне шара, если радиус шара равен R> ра диус основания цилиндра г (R >» г).
475.На двух скрещивающихся ребрах параллелепипеда даны точки Р и Q. Разделить параллелепипед на две равновеликие части плоскостью, проходящей через Р и Q.
476.Доказать, что любая плоскость, проходящая через сере дины двух противолежащих ребер правильного тетраэдра, делит его на равновеликие части.
477.Правильная я-угольная пирамида пересечена плоскостью, проходящей через ее высоту. Будут ли равновелики полученные части пирамиды?
478.Построить сечение тетраэдра A BCD плоскостью, парал лельной плоскости АВС и проходящей через середину отрезка, соединяющего вершину А с центроидом противолежащей грани. Найти отношение объемов полученных частей тетраэдра.
479. Найти высоту такого конуса, вписанного в шар радиуса R , основание которого отсекает от шара шаровой сегмент, равнове ликий конусу.
480.Сфера с центром в вершине конуса касается его основания
иделит конус на две равновеликие части. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.
Г Л АВ А V
ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
§ 45. ПОНЯТИЕ О СПОСОБЕ ВВЕДЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Определяя понятие площади поверхности призмы или пирамиды, мы воспользовались тем, что эта поверхность состоит из плоских многоугольников (граней). Боковую поверхность цилиндра, ко нуса, усеченного конуса, а также поверхность шара и шарового пояса нельзя представить в виде объединения конечного множества плоских фигур. Поэтому необходимо ввести понятие площади для каждой из перечисленных поверхностей вращения. Лишь после этого можно вывести формулы, позволяющие вычислять эти пло щади.
Чтобы получить представление о способе введения понятия пло
щади поверхности вращения, рассмотрим задачу |
практического |
|
содержания. |
здания |
цирка |
Пусть на окраску куполообразной крыши |
||
(рис. 125) затрачено V м3 краски. Известно также, что для окраски |
||
квадратного листа жести со стороной 1 м требуется |
м3 |
краски, |
причем в обоих случаях толщина слоя краски одинакова. |
Какую |
|
величину мы должны принять за площадь S крыши? |
|
|
Рис. 125
97
Очевидно, можно считать, что отношение площади крыши к площади листа приближенно равно отношению объемов (количества) краски, затраченной в том и в другом случае, т. е.
|
S : |
1 = |
V : Vt |
и S |
= |
— (ж2)1 |
(1). |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
V'i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
если |
V « |
0,05 |
ж3, |
Vi « |
0,0001 |
ж3, |
то S ж 500 |
ж2. |
|||||
Формулу (1) можно записать иначе. |
Пусть толщина слоя краски |
|||||||||||||
равна h (ж). Так как слой краски, покрывающий лист жести, |
мож |
|||||||||||||
но принять за |
прямоугольный |
параллелепипед с измерениями 1 ж, |
||||||||||||
1 ж, Нм, то Vi « 1• 1 -Н = h (ж3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
h |
(ж2). Это |
приближение будет |
тем лучше, |
чем |
|||||||||
** |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меньше толщина h слоя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
мы в даль |
|||||
Учитывая соображения, примененные в этой задаче, |
||||||||||||||
нейшем определим |
понятие площади |
поверхностей, |
образованных |
|||||||||||
вращением отрезка и дуги окружности (§ 46 и 50). |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
481. |
Для |
наружной |
окраски |
|||||
|
|
|
|
|
цистерны (рис. 126) потребова |
|||||||||
|
|
|
|
|
лось 24 л краски, толщина слоя |
|||||||||
|
|
|
|
|
краски 0,30 мм. Вычислить пло |
|||||||||
|
|
|
|
|
щадь |
окрашенной |
поверхности. |
|||||||
|
|
|
|
|
§ 46. ПЛОЩАДЬ |
ПОВЕРХНОСТИ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ВРАЩЕНИЯ |
|
ОТРЕЗКА |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1. Пусть в полуплоскости а |
||||||||
|
|
|
|
|
с границей а задан отрезок |
|
АВ. |
|||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим вращение этого от |
|||||||||
|
|
|
|
|
резка |
около |
оси |
а (рис. |
127). |
|||||
|
|
|
|
|
Если [АВ]±_а, то поверхностью |
|||||||||
|
|
|
|
|
вращения |
является |
круговое |
|||||||
|
|
|
|
|
кольцо или |
круг. |
Этот случай |
|||||||
|
|
|
|
|
мы |
исключаем. |
|
Построим |
на |
|||||
|
|
|
|
|
отрезке АВ, как на |
основании, |
||||||||
|
|
|
|
|
прямоугольник ABBiAu его вы |
|||||||||
|
|
|
|
соту BBi обозначим Ап. При вра |
||||||||||
|
|
|
|
|
щении прямоугольника ABBiAi |
|||||||||
|
|
|
|
|
вокруг а образуется тело враще |
|||||||||
|
|
|
|
ния, |
которое |
мы назовем слоем, |
||||||||
|
|
|
|
покрывающим |
поверхность |
вра |
||||||||
|
|
|
|
щения отрезка АВ. Величину |
||||||||||
|
|
|
|
Ап |
|
назовем |
толщиной |
слоя, |
||||||
Рис. 127 |
|
объем слоя |
обозначим АР. |
|
|
|||||||||
98
О п р е д е л е н и е . |
Площадью |
поверхно |
а |
|
||||||
сти вращения отрезка |
вокруг |
оси называется |
|
|||||||
предел, к |
которому |
стремится отношение объ- ^ |
|
|||||||
ема слоя, |
|
покрывающего эту |
поверхность, |
к |
|
|
||||
толщине слоя, когда толщина слоя |
стремится к |
|
|
|||||||
нулю, |
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
о |
Itm |
ЛК |
|
|
|
( 1 ) |
|
|
|
|
Sr4/n = |
----- |
|
|
|
|
|
||
|
|
[АВ] |
д/1-0 Ап |
|
|
|
|
|
|
|
Существование этого |
предела |
для |
каждой из |
|
|
|||||
рассматриваемых поверхностей |
будет |
доказано С |
|
|||||||
в процессе |
вывода |
соответствующих формул. |
|
|
|
|||||
Формула (1) наводит нас на мысль |
о возмо |
Рис. |
128 |
|||||||
жности применения |
в дальнейшем дифференци |
|||||||||
рования. |
Из произвольной точки М отрезка АВ |
|
с осью а |
|||||||
проведем |
к |
нему перпендикуляр |
MN до пересечения |
|||||||
(рис. 128). Отрезок |
[MN] назовем нормалью |
к [АВ] при заданных |
||||||||
М и а. Объединение всех нормалей данного отрезка АВ есть четырех угольник ABCD\ если же А 6 а, то вместо него получим треугольник
АВС. Такой четырехугольник (или треугольник) |
назовем |
нор |
||
мальной фигурой отрезка АВ |
при заданной оси а. |
обо |
||
Выберем какую-либо из нормалей [7V47V] данного |
отрезка, |
|||
значим | MN | = п. Предположим, что мы |
представили объем V |
|||
тела, образованного вращением |
нормальной |
фигуры |
ABCD |
(или |
АВС), в виде функции V(n) аргумента п. Тогда объем AV слоя мож
но рассматривать как |
приращение функции V(n) при изменении |
|
аргумента от п до п + |
Ап. |
имеем: |
Согласно определению (1), |
||
|
с |
г |
|
STAm = lim ------. |
|
|
1АВ] |
д*^о Дп |
Но, по определению производной функции, lim -А — = V' (п).
Ап-*о Ап
Следовательно, 5 [abj = V'(n). Доказана теорема:
Если объем тела, образованного вращением нормальной фи гуры данного отрезка, представлен в виде дифференцируемой функции V (п) длины п какой-либо нормали этого отрезка, то площадь поверхности вращения отрезка равна производной
V'(п).
§ 47. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
Те о р е ма . Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине окружности основания, умноженной на высоту цилиндра.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника ABCD вокруг (CD) (рис. 129). Для отрезка АВ все нормали имеют длины, равные длине радиуса цилиндра; нор-
99