книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы
.pdf,4
В
мальнои фигурой служит данный прямоуголь ник ABCD. Обозначив | ВС | = R , | CD | = = | АВ | = Я, получим V = я R2H. Если ве личине R дать приращение ДЯ, то Я не изме нится, поэтому V = V(R). Согласно теореме из предыдущего параграфа, имеем:
5б = V'R (R) = (icR2H)r = 2kRH. .
|
|
|
Замечаем, что площадь боковой поверхно |
|||||
Рис. |
129 |
сти |
цилиндра |
оказалась |
равной площади раз |
|||
вертки этой поверхности |
(§ 23). |
прибавив к |
||||||
Площадь |
полной |
поверхности |
цилиндра |
найдем, |
||||
площади |
его |
боковой |
поверхности |
сумму |
площадей |
оснований: |
||
|
|
Sn= |
2kRH + 2тс/?2 = |
2kR (И + R). |
|
|||
За д а ч и
482.Практическая работа.
Вычислить площадь боковой и полной поверхности макета ци линдра.
483.Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Найти пло щадь боковой поверхности.
484.Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1,0 му дли
на |
котла |
равна 3,8 му давление пара |
равно 10 атм. |
Найти силу |
||
давления |
пара.на |
полную |
поверхность |
котла. |
|
|
ся |
485. Цилиндр, |
осевое |
сечение которого — квадрат, называет |
|||
равносторонним цилиндром. |
|
|
||||
|
1) Найти площадь полной поверхности равностороннего цилин |
|||||
дра с высотой Н. |
|
|
|
поверхностей |
||
|
2) Найти отношение площадей полной и боковой |
|||||
равностороннего цилиндра. |
|
|
||||
486.Найти объем равностороннего цилиндра, площадь полной поверхности которого равна 5.
487.Хорда длиной а стягивает в основании цилиндра дугу ср.
Высота цилиндра равна h. Найти площадь полной поверхности ци линдра. Вычислить при а = 28,2 см, ср = 64°30', h = 24 см.
488. Сколько квадратных метров жести израсходовано на изго товление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5,0 см (на швы и отходы добавить 10% материала)?
Задачи 489 и 490 рекомендуем решить, применяя правило на хождения экстремума функции с помощью производной.
489.-На изготовление открытой цилиндрической консервной банки расходуется S см2 жести. Каковы должны быть линейные размеры банки, чтобы ее объем был наибольшим?
490.Цилиндрическая бочка для горючего вмещает 200 л. При каких линейных размерах бочки на ее изготовление будет затраче но наименьшее количество материала?
100
491.Цилиндр высотой а и цилиндр высотой b имеют конгруэнтные
развертки боковых поверхностей. Найти отношение |
, при кото |
ром площадь полной поверхности в первом цилиндре в два раза больше, чем во втором.
§48. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА
Те о р е м а . Площадь боковой поверхности конуса равна по
ловине произведения длины окружности его основания на обра зующую.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть конус образован вращением прямоугольного треугольника ЛВО вокруг катета \ЛО] (рис. 130). Проведем нормаль [ВС)ЛААВ], получим нормальную фигуру АВС.
Представим объем тела, |
образованного вращением |
А АВС вокруг |
(АС), в виде функции V(n) наибольшей нормали |
| ВС | = п. По |
|
формуле объема конуса |
имеем: |
|
V a b c ~ \ * \ O B ? . \ O A \ + ± - * \ O B \ * - | 0 С | = Т ” | 0 В М Л С | -
Пусть |
А ВО = ВСО — ср (угол |
наклона образующей конуса к |
|||||
плоскости |
основания). |
|
|
|
|
||
Из |
треугольников |
АВС и |
ВОС |
имеем: |
\А С \= ------- , |
||
| ВО | |
= п sin ср, |
тогда |
|
|
|
COS Ср |
|
|
|
|
|
||||
|
VАпг = V (п) = |
— ш 2 sin2 ср —-— = — |
sin ср tg ср. |
||||
|
АВС |
' |
3 |
cos ср |
3 |
|
|
В этой формуле величину ср будем считать постоянной, так как при изменении п величина угла АСВ не изменяется. Согласно тео
реме |
из |
§ 46, находим: |
|
|
|
||
|
|
S(/4B] = |
У '(и) = (-jW * 3sin(P tg ф) = Wl2 sin ф tg ф. |
(1) |
|||
Но |
п sin ср = J ВО | = |
R, ц tg ср = | АВ | = |
|
||||
= L (из |
А АВС). |
Подставив в (1), |
получим: |
|
|||
S[ AB] = |
или |
= - у ( 2 k R ) L . |
« |
|
|||
С л е д с т в и е . |
Площадь |
боковой по |
|
||||
верхности конуса выражается |
формулой |
|
|||||
$ б = izRL.
Площадь полной поверхности конуса выражается формулой
Sn — nRL + я/?2 = тсR (L + R). |
Рис. 130 |
101
За д а ч и
492.Высота конуса равна 8 см, диаметр основания 12 см. Най ти площадь боковой и полной поверхностей.
493.Практическая работа.
Вычислить площадь полной поверхности макета конуса.
494. 1) Доказать, что |
площадь |
боковой поверхности |
конуса |
|
равна |
площади развертки |
этой поверхности. |
6 м и |
|
2) |
Коническая крыша |
силосной |
башни имеет диаметр |
|
высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 X 1,4 ж, а на швы и обрезки тратится 10% от площади крыши?
495.Прямоугольный треугольник с катетом а и противолежа щим углом 30° вращается вокруг этого катета. Найти площадь полной поверхности тела вращения.
496.Вывести формулы для вычисления площади боковой и полной поверхностей конуса по данным площади основания Q и углу ср наклона образующей к основанию.
497.Конус, диаметр основания которого равен образующей, называется равносторонним конусом. Найти отношение площадей боковой и полной поверхностей равностороннего конуса.
498.Площадь осевого сечения конуса равна S it площадь ос нования S2. Найти площадь боковой поверхности.
499.Площадь основания конуса Q, площадь боковой поверх ности 5. Найти объем конуса.
500.1) Полные поверхности равносторонних конуса и цилин дра1 равновелики. Найти отношение их объемов.
2)Равносторонние конус и цилиндр равновелики. Найти от ношение площадей их полных поверхностей.
501. В равносторонний цилиндр вписан конус так, что осно вание конуса совпадает с нижним основанием цилиндра и его вер шина лежит на верхнем основании цилиндра. Найти отношение: 1) площадей их боковых поверхностей; 2) площадей их полных по верхностей.
502.Площадь боковой поверхности конуса в т раз больше пло щади его осевого сечения. Найти угол наклона образующей к плоскости основания; вычислить при т = 4. В каких границах находится отношение S6 : 5 сеч?
503.Через две образующие конуса, угол между которыми ра вен а, проведена плоскость. Площадь получившегося сечения равна 5, площадь основания конуса Q. Найти площадь боковой
поверхности конуса. Вычислить при а = 28°42', «S = 12,56 сж2,
Q = 15,31 см2.
504. В правильной треугольной пирамиде вершина основания находится на расстоянии Ъ от противолежащей боковой грани. В
1 См. задачу 485.
102
пирамиду вписан конус, |
образующая которого составляет угол |
а с плоскостью основания. |
Найти объем и площадь полной поверх |
ности конуса. |
|
§49. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЕННОГО КОНУСА
Те о р е м а . Площадь боковой поверхности усеченного конуса
равна полусумме длин окружностей оснований, умноженной на длину образующей.
До к а з а т е л ь с т в о . Обозначим радиусы оснований и об
разующую усеченного конуса: |
| 0 4Л |
|
| = |
г, | ОВ | = |
R, |
| А В \ = L |
||||||||||
(рис. 131). Пусть (001) |
|
П (АВ) |
= |
|
S, |
построим |
для |
поверх |
||||||||
ностей,, |
образованных |
вращением |
[ЛБ], ISB] и ISA], |
нормальные |
||||||||||||
фигуры |
ABCD, |
SBC |
и |
|
SAD. |
Для |
объемов соответствующих |
|||||||||
им тел вращения имеем: VABCD~ |
|
У5вс — |
Уsad• |
Будем |
считать, |
|||||||||||
что |
все |
эти |
объемы |
представлены в |
виде функций |
аргумента |
||||||||||
п = | AD |. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
*^[ЛВ] |
~ |
УABCD = |
(УSBC |
УSAD)n = ^[SB ] |
^[ЯЛ ] * |
|
||||||||
Применим |
формулу |
площади |
|
боковой |
поверхности |
конуса |
||||||||||
(рис. |
131): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S[ab] = ^R (L |
+ |
/) — nrl = n R L + n(R — r)l, |
(1) |
|||||||||||
где |
/ = |
| SA |
|. |
|
|
|
тогда |
|
| ВК \ = |
R — г. Из |
подобия |
|||||
Проведем |
[AK] II 1501, |
|
||||||||||||||
треугольников АВК и БЛО! имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
IВ/С | |
МОЛ |
|
R — r |
|
Г |
|
„ |
(R — |
w |
|
г |
||||
|
-1-----L = J — — , или -------= — |
|
, откуда |
г) I = гЬ. |
||||||||||||
|
| АВ\ |
15Л | |
|
|
L |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив в формулу |
(1), |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S6 = tzRL + n rL = я (R -f- г) L. .
С л е д с т в и е . - Площадь полной поверхности усеченного конуса равна:
Su = n(R + г) L kR2 + к г 2.
За д а ч и
505.Высота усеченного конуса равна 15 см, диаметры оснований 20см и 4 см. Найти площадь боковой и полной поверхностей.
506°. Площади оснований усеченного конуса равны Q и q, образующая составляет с пло скостью основания угол ф. Найти площадь боковой поверхности.
507.Практическая работа.
Найти площадь боковой поверхности макета усеченного конуса.
"103
508. В прямоугольной трапеции боко вая сторона длиной 12 см образует с осно ванием угол 45°, меньшее основание тра пеции равно 2 см. Вычислить площадь полной поверхности тела, образованного вращением этой трапеции вокруг меньшей
ибоковых сторон:
509.В усеченном конусе площадь осе вого сечения равна «S, угол между обра зующей и плоскостью основания ф. Найти площадь боковой поверхности.
510. Из круглого листа алюминия изго
товлен путем штампования стакан, диаметр Рис. 132 дна которого 40 мм, диаметр верхней (от
крытой) части 60 мм, а высота 65 мм. Найти диаметр листа. -
511.Жестяная воронка имеет размеры (в миллиметрах), ука занные на рисунке 132. Сколько жести затрачено на изготовление воронки, если на швы нужно добавить 5% поверхности?
512.В конусе с образующей / и углом а при вершине осевого сечения проведены два сечения, параллельные основанию и раз делившие высоту на три равные части. Найти площади частей, на которые разделилась боковая поверхность конуса.
513.На каком расстоянии от вершины конуса нужно провести параллельное сечение, чтобы оно разделило боковую поверхность
конуса на две равновеликие части?
514. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны и равны /, образующая составляет с плоскостью основания угол а. Найти площадь полной поверхности.
515. Образующая конуса равна 20 см, площадь полной поверх ности 400 см2. Найти угол развертки конуса.
§ 50. ПЛОЩАДЬ nOBEPXHOCI’H ВРАЩЕНИЯ
|
ДУГИ ОКРУЖНОСТИ |
|
|
1. Пусть дуга АВ окружности принад |
|
|
лежит полуплоскости с границей а, причем |
|
|
прямая а проходит через центр |
О этой ок |
|
ружности (рис. 133). Из центра О проведем |
|
|
радиусом \ ОАА, большим | ОА |, |
дугу А ^ ± |
|
до пересечения с продолжениями |
крайних |
|
радиусов \ОА\ и [051, длину отрезка AA t |
|
|
обозначим AR. Получим фигуру АВВ^Аи |
|
|
при вращении которой вокруг а образуется |
|
|
слой, покрывающий поверхность вращения |
|
|
дуги А В. Толщиной слоя назовем величи |
|
Рис. 133 |
ну AR, объем слоя обозначим AV. |
|
104
О п р е д е л е н и е . |
Площадью |
поверхности вращения дуги |
окружности вокруг оси, |
проходящей |
через ее центр, называется |
предел, к которому стремится отношение объема слоя, покрывающего
эту поверхность, к толщине |
слоя, когда толщина слоя стремится |
к нулю. |
|
5^ АВ |
Д V |
U rn----- |
|
|
дя-*э ДR |
2. Рассмотрим круговой сектор АОВ, соответствующий задан ной дуге (рис. 133). При его вращении вокруг а получим шаровой
сектор (или шар, когда А В = 180°). Допустим, |
что объем |
V сек |
тора (или шара) представлен в виде функции V(R) радиуса R дуги. |
||
Тогда объем АР слоя, покрывающего поверхность вращения |
\^АВ, |
|
будет служить приращением этой функции при |
изменении |
аргу |
мента от R до R + AR. Согласно формуле (1) и определению произ водной, имеем:
5 _ лв = V (R).
Доказана теорема:
Если объем шарового сектора, соответствующего поверхности вращения дуги окружности, представлен в виде функции V (R) радиуса R дуги, то площадь этой поверхности равна производ ной V' (R). я
§ 51. ПЛОЩАДЬ СФЕРИЧЕСКОГО ПОЯСА, СЕГМЕНТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ И СФЕРЫ
Т е о р е м а 1. Площадь сферического пояса, а также сег
ментной поверхности равна длине |
большой окружности сферы, |
||||||||
умноженной на высоту поверхности. |
сферический |
пояс или сег |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть |
|||||||||
ментная поверхность образованы |
вращением дуги А В вокруг диа |
||||||||
метра |
NS (рис. 134 и 135). Рассмотрим шаровой |
сектор, |
соответ |
||||||
ствующий |
данной |
поверхно |
|
|
|
|
|||
сти: |
его объем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V = |
-л R2H |
|
|
|
|
||
(§ 43), |
гдеН = |
\ А'В'\ — вы |
|
|
|
В |
|||
сота |
поверхности. |
Обозначим |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
(рис. |
134) |
AON — a, BON= р |
|
|
|
|
|||
(0° < |
а |
< р < |
180°). Из |
|
|
|
|
||
треугольников АОА' и ВОВ' |
|
|
|
|
|||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н = |
R cos а — R cos (3 = |
|
|
|
|
||||
= |
R (cos а — cos р), |
Рис. 134 |
Рис. |
135 |
|||||
105
п о это м у
A = N
V (R) = — kR3(cos a — cos p).
3
При изменении R (рис. 133) углы a и (3 остаются постоянными. Применим теорему из § 50:
S ^ AB = |
kR3(cos a — cos |
= |
= 2kR2(cos a — cos p) =
= 2ttR • R (cos a — cos p) = 2nRH.
В частности, последняя формула остается вер Рис. 136 ной и для случая, когда a = 0° (рис. 135).
Итак S ^ AB =2tzRH. .
Т е о р е м а 2. Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Поверхность |
шара (сферу) можно |
|
рассматривать как сегментную поверхность с высотой | NS |, рав |
|||
ной диаметру шара (рис. 136). Положив Н = |
2R в формуле S ^AB = |
||
= 2jiRH, получим: Sm = 4я/?2. ■ |
|
||
П р и м е ч а н и е . |
Эту же формулу можно получить дифферен |
||
цированием формулы |
объема |
шара: |
|
З а д а ч и
516°. Доказать, что площади двух сфер пропорциональны квад ратам их радиусов или диаметров.
517.Во сколько раз площадь земной суши больше поверхности Луны, если диаметр Земли принять за 13 000 км, диаметр Луны за 3500 км, а земная суша составляет 29% земной поверхности?
518.Объемы двух шаров относятся как пг : п. Найти отношение площадей их поверхностей.
519.Радиус шара равен 25 см. На расстоянии 20 см от центра проведена секущая плоскость. Найти площадь поверхности каждого из получившихся шаровых сегментов.
520.Радиус сферы равен R , радиусы оснований шарового пояса равны гi и г2(г4 >> г2). Найти площадь поверхности пояса (два случая).
521. Высота |
шарового слоя равна 27 см, |
радиусы оснований |
|
56 см и 25 см. |
Найти площади поверхностей |
шарового пояса и |
|
шарового слоя. |
|
поверхности земного шара, зак |
|
522. Вычислить площадь части |
|||
люченной между: 1) 0° и 1° широты; |
2) 60° и 61° широты. |
||
106
523. 1) Найти площадь той части земной поверхности, которую видит космонавт при выходе из космического корабля на высоте 300 км над поверхностью Земли.
2) На каком расстоянии от поверхности Земли должен находить ся наблюдатель, чтобы видеть 0,25 земной поверхности? Можно ли увидеть 0,5 поверхности земного шара?
524.Радиус сферы равен R. На каком расстоянии от центра нужно провести плоскость, чтобы отделить от сферы такую часть, площадь которой составляет 0,1 площади сферы?
525.Двояковыпуклая линза ограничена двумя конгруэнтными
сегментными поверхностями. Диаметр линзы равен 50,0 мм,
атолщина 9,0 мм. Найти площадь поверхности линзы.
526.Круговой сектор, радиус которого 12 см, а дуга 30°, вра щается вокруг диаметра, перпендикулярного к одному из крайних радиусов сектора. Найти площадь поверхности вращения.
527.Доказать, что площадь сегментной поверхности
5 = я (г2+ Я 2),
где г — радиус основания поверхности, Я — ее высота.
528. Поверхность полусферы равновелика поверхности шаро вого пояса, который образован вращением дуги в 90° вокруг диа метра, параллельного хорде дуги. Найти отношение радиусов этих сферических поверхностей.
529. Площадь сечения шара равна Q, угол, под которым виден из центра шара диаметр сечения, равен а (а <С 180°). Найти пло щадь меньшей сегментной поверхности, отделенной от шара этим сечением.
530. Круговой сегмент с дугой а и основанием а вращается во круг высоты. Найти площадь поверхности тела вращения. Вычислить
при а = |
60°, a — 2,4 дм. |
дугой 120° |
и площадью 5 вращается: |
531. |
Круговой сектор с |
||
1) вокруг крайнего радиуса; 2) вокруг |
среднего радиуса. Найти |
||
площади |
поверхностей тел |
вращения. |
|
532.1) Доказать, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, диаметр которого равен высоте конуса.
2)Доказать, что поверхность тела, образованного вращением квадрата вокруг стороны, равновелика поверхности шара, радиус которого равен стороне квадрата.
533.1) Найти отношение площадей поверхностей шара и описан ного цилиндра.
2) Около равностороннего цилиндра описана сфера. Найти площадь сферы, если площадь полной поверхности цилиндра рав на Q.
534. Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Найти угол наклона образующей к плоскости основания конуса.
107
535. Около шара радиуса г описан конус, угол наклона его образующей к плоскости основания равен ф. Найти площадь пол ной поверхности конуса. Вычислить при г — 20,2 см, Ф = 48°26\
536.В усеченном конусе, описанном около сферы, радиусы оснований R и г. Найти отношение площади сферы к площади бо ковой поверхности усеченного конуса.
Задачи 537 и 538 рекомендуем решить, используя правило на хождения экстремума функции.
537.Дан шар радиуса R. Найти радиус основания и образую щую вписанного цилиндра, имеющего: 1) наибольшую площадь боковой поверхности; 2) наибольшую площадь полной поверхности.
538.В данный шар вписан конус, имеющий: 1) наибольшую
площадь боковой поверхности; 2) наибольшую площадь полной поверхности. Найти угол при вершине осевого сечения каждого из этих конусов.
§ 52. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА КОМБИНАЦИЮ СФЕРЫ И МНОГОГРАННИКА
Многогранник называется |
вписанным в сферу (в |
шар), |
если |
|||||||||
все вершины многогранника принадлежат сфере. |
В таком случае |
|||||||||||
сферу называют описанной около многогранника. |
|
|
|
|
|
|||||||
З а д а ч а |
1. |
В сферу вписана правильная четырехугольная пи |
||||||||||
рамида, у которой двугранный угол при основании равен а. |
Зная, |
|||||||||||
что площадь сферы равна S, найти площадь .основания пирамиды. |
||||||||||||
Р е ш е н и е . |
Пусть SABCD |
— данная |
пирамида, |
вписанная |
||||||||
в сферу (рис. |
137). Плоскость основания пирамиды пересекает сферу |
|||||||||||
по окружности, описанной около квадрата |
ABCD. Основание |
М |
||||||||||
высоты пирамиды является центром этой окружности. |
плоскостью |
|||||||||||
Согласно следствию из теоремы о |
сечении |
сферы |
||||||||||
(§ 27, следствие 2), прямая SM |
проходит через центр О сферы. |
По |
||||||||||
строим линейный угол SRM двугранного угла ВС. Имеем 5 Ш= |
5, |
|||||||||||
SKM = а. Найти площадь основания пирамиды (S0). |
| OS | = |
R . |
||||||||||
Радиус сферы можно считать известным, обозначим: |
||||||||||||
Выразим через R и а диагональ АС квадрата. |
(пока неизвестный) |
|||||||||||
Рассмотрим Д5ЛС. Введем вспомогательный |
||||||||||||
|
|
угол SCM, обозначим его |
величину |
через |
||||||||
|
|
ф. По |
доказанному точка О лежит в пло |
|||||||||
|
|
скости |
SAC, тогда ДSAC можно считать |
|||||||||
|
|
вписанным в большую окружность сферы. |
||||||||||
|
|
По теореме синусов,. I АС | |
= 2R sin ASC = |
|||||||||
|
|
= 2R sin (180° — 2ф) = |
2R sin 2ф. |
|
|
|||||||
|
|
1 |
\ |
АС |
I |
, QQ | |
|
2£>2 sjn2 2ф; по усло- |
||||
|
|
= — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
вию 4тzR2 ±=S, отсюда R2 = |
И |
|
|
|||||||
|
|
2п |
|
|
||||||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 2ф. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108
|
Остается выразить sin 2ср через функции угла а. |
Из прямоуголь |
|||||||||||||
ных |
треугольников SMC и |
SM K выразим |
их |
общую |
сторону |
||||||||||
|SM |
|. Из ASMC имеем: |57И | = |
| МС |-tg<p; из A SM K : |SM | = |
|||||||||||||
= |
| МК | tg а, |
значит, | МС | tg ф = | МК | tg а. |
Но |
из треугольника |
|||||||||||
КМС : | МС | = | МК | ]/2 , поэтому |
У~2 tg ф = |
tg a, |
tg ср = |
- -g . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
По формуле sin 2ср = |
получим: sin 2ф = |
|
|
|
• |
Следо- |
|||||||||
вательно, 5 = —4- tg а— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
п (2 |
-f- tg2 а )2 |
описанным |
около |
сферы |
|
(шара), |
||||||
|
Многогранник |
называется |
|
||||||||||||
если все его грани касаются сферы. |
В таком случае сферу называют |
||||||||||||||
вписанной в |
многогранник. |
пирамиды — ромб |
со |
стороной а |
|||||||||||
и |
З а д а ч а |
2. |
Основание |
||||||||||||
острым углом а, каждый из двугранных углов при основании ра |
|||||||||||||||
вен (3. |
Найти |
объем шара, вписанного в пирамиду. |
|
(рис. |
138), |
||||||||||
|
Р е ш е н и е . |
Пусть SABCD — данная |
пирамида |
||||||||||||
ABCD—ромб, |
DAB <С 90°. Проведем [SO] _±_ пл. |
ABCD, |
через то |
||||||||||||
чку О проведем высоты [М/С! и [NL] ромба. [SKU-WB] |
(теорема |
||||||||||||||
о |
трех перпендикулярах), ^ iSKO — линейный |
угол |
двугранного |
||||||||||||
угла |
АВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично строим линейные углы при остальных сторонах осно |
||||||||||||||
вания пирамиды. Согласно условию задачи, SKO=SLO = |
SAW = |
||||||||||||||
= SNO. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Прямоугольные треугольники SKOf SLO, SMOf SNO конгру |
||||||||||||||
энтны, так как они имеют общий |
катет |
SO |
и |
равные |
углы, |
||||||||||
противолежащие этому катету. Отсюда | ОК | = |
| OL |
| = |
| ОМ | = |
||||||||||||
= |
| ON | и О — центр окружности, |
вписанной в ромб ABCD, |
т. е. |
||||||||||||
О — точка пересечения диагоналей |
АС и |
BD. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
По условию в данную пирамиду вписан шар. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Докажем, что его центр лежит на высоте SO пирамиды. Впишем |
||||||||||||||
в треугольник SOK,полукруг OAiQ, центр 0 4 которого лежит на ISO], а дуга касается [SK] и [О/ClТреугольник SOK вместе с полу кругом OKiQ будем вращать вокруг (SO). Катет ОК опишет круг, вписанный в ромб ABCD, поэтому гипотенуза SK при вращении остается внутри пирамиды, за исключением четырех положений, когда IS К] будет совпадать с высотами боковых граней. Следова тельно, шар, образованный вращением полукруга OKiQ, будет иметь
единственную общую точку с каждой из |
боковых граней. Этот |
||||
шар касается и основания пирамиды в точке О. |
SABCD, принад |
||||
Итак, |
центр |
шара, вписанного в пирамиду |
|||
лежит высоте пирамиды. |
|
|
|
||
Имеем: | АВ | = | AD | = |
a, DAB = |
a, SKO — (3. |
|||
Найдем |
объем |
вписанного |
шара. |
£ |
тг | ОпО |3. Проведем |
|
|
|
|
3 |
|
109