книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы
.pdf
|
|
|
верхним основанием (или вер |
|||||||||||
|
|
|
шиной) и сечением. Это означает, |
|||||||||||
|
|
|
что площадь 5(х) сечения и объем |
|||||||||||
|
|
|
V(x) |
отсеченного |
тела |
являются |
||||||||
|
|
|
функциями |
аргумента |
х. |
Из |
||||||||
|
|
|
соображений |
наглядности |
при |
|||||||||
|
|
|
мем, |
что |
1/(0) |
= |
0, а для тел, |
|||||||
|
|
|
имеющих |
вершину, |
и 5 (0) = 0. |
|||||||||
|
|
|
Тогда функции 5(х) |
и V{x) опре |
||||||||||
|
|
|
делены на сегменте [0, Н]. Да |
|||||||||||
|
|
|
дим |
х |
приращение |
|
Дх >- 0 |
|||||||
|
|
|
(х + |
Дх ^ |
|
Я), |
тогда объем 1/(х) |
|||||||
|
|
|
также получит приращение Д 1А |
|||||||||||
|
|
|
Здесь ДV — объем части данно |
|||||||||||
|
|
|
го тела, |
|
заключенной |
между |
||||||||
|
|
|
двумя |
секущими |
плоскостями |
|||||||||
|
|
|
(рис. ПО). На |
каждом |
из сече |
|||||||||
|
|
|
ний построим призму (рис. 110, а) |
|||||||||||
|
|
|
или |
цилиндр |
|
(рис. ПО, б, в) |
||||||||
|
|
|
с высотой |
Дх. |
Для |
объемов |
||||||||
|
|
|
рассматриваемых тел |
выполня |
||||||||||
|
|
|
ется |
неравенство: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
5 (х) • |
Дх < |
Д V < |
|
||||||
|
|
|
|
|
< 5 |
|
(х + |
Дх) |
• |
Дх; |
|
|||
|
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S(x) < 4 ^ |
< |
S(x + |
Дх) |
(1). |
|||||||
|
|
|
В дальнейшем будет дока |
|||||||||||
|
|
|
зано, что для каждого |
из |
рас |
|||||||||
|
|
ej |
сматриваемых тел функция 5 (х) |
|||||||||||
Рис. |
110 |
непрерывна на сегменте |
[0, Н]. |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
Согласно определению непреры |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
вной функции, |
lim 5(х + Дх) = |
||||||||||
|
|
|
=5(х). |
А тогда |
Д*-»-0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
из |
неравенства |
||||||||||
(1) следует, что |
lim |
г—= 5 (х), . е. функция V(x) имеет производ |
||||||||||||
|
Д*-*-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ную V'(x) = 5(х). |
Это |
значит, что объем V(x) |
есть первообразная |
|||||||||||
функция для площади 5(х) сечения. Объем всего данного тела полу
чим при х = |
Я, т. |
е. V = |
!/(#), кроме того, 1/(0)=0, |
поэтому мож |
|||
но |
записать: |
V = |
V(H) — 1/(0). Последнее равенство показывает, |
||||
что |
объем тела |
равен приращению на |
сегменте [0, |
Н] функции, |
|||
|
|
|
|
|
|
н |
|
первообразной |
для |
5(х), |
следовательно, |
V = ^S(x)dx. |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
80
Итак, объем пирамиды и конуса (полных или усеченных, а
также объем шарового сегмента (не большего полушара) выра жен формулой:
н
V = j S (лг) йх.
о
По этой формуле можно вычислять также объем призмы и ци линдра. Действительно, в призме и цилиндре площадь сечения па раллельного основанию тела равна площади Q основания. Тогда
н |
н |
V = j* Qdx = Qx |
= QH. |
Не следует думать, что этим рассуждением доказаны формулы
н
объема призмы и цилиндра. Наоборот, формула V = f S(x)dx
о
выведена на основе формул объема призмы и цилиндра, получен ных иным способом (§ 35 и 36).
§ 38. ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
В пирамиде (рис. 111) S (*)
Q
0_
X е
Я 2
Я 2
прерывна, тогда
н |
н |
|
|
V = | S(x)dx = J - ~ - |
= |
||
о |
н |
|
|
Q |
- Н. |
||
= - Q |
|||
я2 |
3 |
|
|
Итак, доказана теорема: Объем пирамиды равен одной
трети произведения площади ее основания на высоту.
V = — Q ■Н.ш
3
За д а ч и
358.Найти объем макета правильной треугольной пирамиды, измерив сторону основания и боковое ребро.
359.Одно из самых грандиозных сооружений древности — пи рамида Хеопса — имеет форму правильной четырехугольной пира
4 — 861 |
81 |
миды с высотой « 150ж и боковым ребром « 220 м. Найти объем
иплощадь боковой поверхности этой пирамиды.
360.В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа
ния равна а. Найти объем пирамиды, если: 1) угол наклона боко вого ребра к плоскости основания равен а; 2) двугранный угол при основании пирамиды равен а; 3) плоский угол при вершине пирамиды равен а.
361.Поданной стороне а основания и боковому ребру b пра вильной n-угольной пирамиды найти ее объем.
362.В правильной шестиугольной пирамиде большее диагональ ное сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник с ги потенузой с. Найти объем пирамиды.
363.Площадь поверхности правильного тетраэдра равна 5.
Найти его объем.
364.Один из алмазов, добытых в Якутии, весит 42 карата и имеет форму правильного октаэдра. Найти ребро этого октаэдра. (Плотность алмаза 3,5 г/см3, 1 карат = 0,2 г.)
365.В основании пирамиды лежит прямоугольный треуголь
ник, один из острых углов которого а; каждое боковое ребро пира миды равно b и образует с плоскостью основания угол (3. Найти объем пирамиды.
366.В правильной шестиугольной пирамиде одно из диагональ ных сечений делит пирамиду на две неравновеликие части. Найти отношение объемов этих частей.
367.Основанием пирамиды служит правильный треугольник со стороной а, одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания, две другие боковые грани образуют с основанием дву гранные углы а. Найти объем пирамиды и площадь большей боко вой грани.
368.Ученик составил задачу: «В правильной четырехугольной
пирамиде площадь основания равна Q, площадь боковой грани
Q. Найти объем». Имеет ли задача решение?
369. 1)° В треугольной пирамиде плоские углы при вершине прямые, боковые ребра пирамиды равны 5 см, 6 см и 7 см. Найти объем.
2) В треугольной пирамиде боковые ребра попарно перпендику
лярны, |
площади боковых граней равны S u S 2, |
S3. Доказать, что |
V = — 1/26’15'2б'з • |
|
|
3 |
Основание пирамиды — равнобедренная |
трапеция, парал |
370. |
||
лельные стороны которой а и b (а > Ь). Все бокоьые грани образуют
соснованием двугранные углы, равные ср. Найти объем.
371.В цилиндр радиуса R вписана пирамида SABC так, что основание пирамиды вписано в нижнее основание цилиндра, а одно из боковых ребер пирамиды совпадаете образующей цилиндра.
Известно, что у пирамиды | АВ | = | АС |, САВ = а, двугранный
82
угол ВС = (3. Найти объем пирамиды. |
Вы |
|
||
числить при R = 6,2 дм, а=45°, |
(3=60°. |
|
||
372. |
В конус вписана пирамида. Ее ос |
|
||
нованием служит трапеция, у которой ту |
|
|||
пой угол а заключен между равными |
сто |
|
||
ронами. Найти объем пирамиды, зная, что |
|
|||
диаметр |
основания и образующая конуса |
|
||
равны d. |
|
|
|
|
§ 39. |
ОБЪЕМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ |
|
|
|
Рассмотрим усеченную пирамиду |
(рис. |
|
||
112). Площади верхнего и нижнего основа- |
Рис. 112 |
|||
ний обозначим соответственно через q и Q, |
разности между |
|||
высоту — Н. Объем усеченной |
пирамиды равен |
|||
объемом полной пирамиды и объемом пирамиды, дополняющей усе
ченную |
пирамиду до полной: |
|
|
|
|
|
||
|
|
V = -L |
Q (И + h) - |
- L qh (1), |
|
|
||
где h — высота дополнительной |
пирамиды. Выразим h через q, Q |
|||||||
и Н. По свойству параллельных сечений в пирамиде (§ 15) |
|
|||||||
0_ |
(Н /г)2 |
или |
VQ |
= |
н + h |
, |
я у 7 |
4 |
Q |
/г2 |
|
— ■— , отсюда п = |
— _ |
||||
|
V q |
|
h |
|
Y Q - V T |
|||
После подстановки значения h в равенство (1) и преобразований получим формулу:
К = |
+ V Q q + q ) . |
За д а ч и
373.Бункер, изображенный на рисунке 46, наполнен зерном. Вычислить массу зерна, если масса 1 м3 зерна равна 800 кг.
374.В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны
оснований равны а и b (a b), двугранный угол при стороне больше го основания равен а. Найти объем.
375. Стороны оснований правильной четырехугольной усечен
ной пирамиды равны а и b (а > Ь), |
острый угол в боковой грани |
равен а. Найти объем. Исследовать |
решение. |
376.Найти объем правильной шестиугольной усеченной пира миды, стороны оснований которой относятся как 1 : 2, а боковое ребро длиной b составляет с плоскостью основания угол 60°.
377.Для перекрытия русла реки при строительстве гидроэлек тростанции изготовляют из бетона правильные треугольные усе ченные пирамиды массой по Ю т . Высота и стороны оснований
4* |
83 |
|
такой пирамиды пропорциональны числам 5, 2, 6. Рассчитать ли нейные размеры этой пирамиды. (Плотность бетона 2,2 г/см3.)
378.В усеченной треугольной пирамиде стороны одного ос нования равны 10 см, 17 см и 21 см, периметр другого основания равен 96 см, высота полной пирамиды равна 30 см. Найти объем усеченной пирамиды.
379.Основания усеченной пирамиды — равнобедренные прямо
угольные |
|
треугольники, |
гипотенузы |
которых |
равны |
т |
и п |
||||||
( т > п), |
две боковые грани |
перпендикулярны |
к |
основанию, а |
|||||||||
третья составляет с ним угол а. |
Найти объем (два случая). |
|
|
||||||||||
380. Построить сечение куба ABCDA^BiCJDi плоскостью, про |
|||||||||||||
ходящей |
через вершину |
Л, середину ребра ВС и |
центр |
грани |
|||||||||
DCCJDi. Найти отношение объемов полученных частей куба. |
|
||||||||||||
|
|
|
§ |
40. ОБЪЕМ КОНУСА |
|
|
|
|
|
||||
Пусть дан конус с высотой Н и радиусом основания R (рис. |
113). |
||||||||||||
Сечение, параллельное основанию конуса и находящееся |
на |
рас |
|||||||||||
стоянии х от его вершины, |
есть круг радиуса г(х). Из подобия |
тре |
|||||||||||
угольников 5 0 ^ 4 и SOA (рис. |
113) находим: - ~ 1^ 1'• |
= |
155ll |
или |
|||||||||
j |
|
|
|
|
|
|
|
~ л■ |
|
15 0 1 |
|||
А*/ |
|
|
|
D |
|
|
|
ОА |
|
|
|
|
|
|
|
г (х) |
х. |
Далее |
имеем: |
5 |
(х) |
= ттт2 |
(х) = |
||||
= — , отсюда |
= — |
||||||||||||
R2 |
|
|
S(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 7Г Н2 х2. |
Функция |
непрерывна |
на |
[0, Я], тогда объем ко |
|||||||||
нуса |
|
н |
н |
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
V = |
|
|
|
|
= — T.R2H. |
|
|||||||
Г S (х) dx |
= f ^ х Ч х |
= — |
|
• — |
|
||||||||
|
|
J |
J |
Я2 |
|
Я2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
Итак, доказана теорема:
Объем конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту:
V = - p t/? 2//. •
З а д а ч и
381.Найти объем конуса, диаметр основания которого равен 20 см, а угол при вершине осевого сечения 120°.
382.Коническая куча зерна имеетвысоту 2,4 м, а окружность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 м3 зерна равна 750 кг.
Вывести формулу для таких вычис лений.
84
383.Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 33°. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 10 м3.
384.Объем конуса равен V. Найти объем правильной «-уголь
ной пирамиды, вписанной в конус, если: 1) п = 3; 2) п — 4.
385.В основании конуса хорда а стягивает дугу 2а, образую щая конуса наклонена к плоскости основания под углом ср. Найти объем конуса.
386.Треугольник со сторонами 25 дм, 29 дм и 36 дм вращается вокруг большей стороны. Найти объем тела вращения.
387.Прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим углом (3 вращается вокруг гипотенузы. Найти объем тела вра щения.
388. Треугольник со стороной а и площадью S вращается во-
4 |
S 2 |
круг данной стороны. Доказать, что V = — тс — . |
|
3 |
а |
389. Известно, что две взаимно перпендикулярные образующие конуса делят окружность основания на две дуги, одна из которых в два раза меньше другой. Найти объем конуса, если его высота равна Я.
390. Круговой сектор с радиусом R и центральным углом а является разверткой боковой поверхности конуса. Найти объем этого конуса.
391. Для изготовления конической воронки из жести вырезают круговой сектор радиуса R. Найти центральный угол сектора, при котором получается воронка наибольшей вместимости.
§ 41. ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО НОНУСА
Рассмотрим усеченный конус (рис. 114). Радиусы верхнего и нижнего оснований обозначим соответственно г и R, высоту — Я. Объем усеченного конуса равен разности между объемом полного конуса и объемом конуса, дополняющего усеченный конус до пол ного (рис. 114):
V = — гсД2 (Н + К) — - i - |
|
|
|
(1) |
|
|||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
где h — высота |
меньшего |
конуса. |
|
Вы |
|
|||
разим |
h |
через |
г, R й |
Я. |
Так |
|
как |
|
д S(M «. Д SOH„ то |
|
so |
, |
|
||||
|
г |
|
ОА . |
|
|
|||
или |
h |
, откуда |
h |
rH |
|
|
||
|
R |
H + h ' |
|
я —.Г |
|
|||
После подстановки значения h в равен |
А |
|||||||
ство (1) и преобразований получим |
фор |
|||||||
мулу: |
|
V = кН (R24- Rr н- г 2).. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
85
З а д а ч и
392.В усеченном конусе радиусы осно ваний равны 4 см и 13 см, образующая рав на 15 см. Найти объем.
393.Диаметры концов бревна 32 см и 26 см, его длина 5,3 м. Из бревна изгото влен прямоугольный брус с наибольшим квадратным сечением. Сколько процентов от объема бревна составит объем бруса?
394.Размеры бидона указаны на ри сунке 115 (в миллиметрах). Найти емкость бидона в литрах.
395.Радиусы оснований усеченного конуса R и г. Найти отношение объема
усеченного конуса к объему полного кону са, частью которого является данный усе ченный конус.
396. Объем усеченного конуса вычислили приближенно, ум ножив площадь среднего сечения на высоту. С недостатком или с избытком получили приближенное значение? Какова относитель ная погрешность, если R : г — 2 : 1?
397. Вычислить объем усеченного конуса, если радиусы дуг в развертке его боковой поверхности равны 20см и 8см, а дуги раз вертки содержат по 240°.
398. Ромб со стороной а и острым углом а вращается вокруг оси, проведенной через вершину острого угла перпендикулярно к сто роне ромба. Найти объем тела вращения.
399.Вычислить объем макета усеченного конуса.
400.Объем усеченного конуса равен 1,2 м3, образующая нак лонена к плоскости основания под углом 60°. Указать одну из возможных систем значений г, R , и Я для данного усеченного ко нуса.
401. В усеченном конусе диагонали |
осевого сечения |
взаимно |
||||
5 |
перпендикулярны, |
образующая |
||||
равна / и составляет с плоскостью |
||||||
|
основания угол а. Найти объем. |
|||||
|
|
402. Конус называется вписан |
||||
|
ным в пирамиду, если вершина у |
|||||
|
них |
общая, |
а основание |
конуса |
||
|
вписано в основание пирамиды. |
|||||
|
|
Конус вписан в пирамиду, осно |
||||
|
ванием которой служит прямоуголь |
|||||
В |
ный треугольник с острым углом а |
|||||
(рис. 116). Радиус основания кону |
||||||
|
са |
равен |
г, |
образующая |
накло |
|
Рис. 116 |
нена к плоскости основания под |
|||||
углом р. |
Найти объем |
пирамиды. |
||||
86
403. 1) В конус вписана правильная четырехугольная пира мида. Сторона основания пирамиды а, плоский угол при вершине
а. Найти объем конуса.
2)Радиус основания конуса R> а угол при вершине осевого сечения а. Найти объем правильной треугольной пирамиды, опи санной около конуса.
404. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед. Диа гональ параллелепипеда образует с большей боковой гранью угол (3, а с плоскостью основания угол а. Найти объем цилиндра, если боль шая сторона основания параллелепипеда равна а.
405.В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания а и b (а >> 6), боковое ребро составляет с плоскостью большего основания угол а. Найти объем усеченного конуса, опи санного около пирамиды.
406.В конус с радиусом основания R и углом а между обра зующей и плоскостью основания вписана прямая треугольная призма так, что одно ее основание лежит в основании конуса, а вершины другого основания принадлежат его боковой поверхности. Найти объем призмы, если все ее ребра равны.
407.Основание пирамиды — правильный треугольник со сто роной а\ одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости осно
вания и равно —; боковая грань пирамиды образует с плоскостью
основания угол а. Найти объем цилиндра, вписанного в пирамиду.
§42. ОБЪЕМ ШАРА. ОБЪЕМ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА
1.Рассмотрим полушар радиуса R (рис. 117). Сечение, парал лельное его основанию и находящееся на расстоянии х от верши ны Л, есть круг (Б, г(х)). Выберем произвольную точку С на ок ружности сечения. Через Л и С проходит единственная окруж ность большого круга (§ 29), ее диаметром служит [ЛЛ^. Тогда
ДЛЛХС (его нет на рисунке) прямоугольный и | СВ |2 |
= |
| А В • | Б Л ^, |
||||||
или г2 (х)=х (2R — х). Площадь сечения Б (х) = л г 2 |
(х)=л х (2R — х) |
|||||||
есть непрерывная функция. Тогда |
|
объем полушара |
равен |
|||||
sкх (2R — х) dx |
х |
2 |
R |
х |
3 R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т о |
3 0 |
|
|
|||||
Т е о р е м а . Объем шара выражается формулой |
|
|||||||
|
|
V = — itR8. . |
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
■ |
|
|
|
2. Рассмотрим шаровой сегмент с |
высотой Н < R (рис. 118). |
|||||||
Как и в пункте 1, S(x) |
= |
nx(2R — х), |
тогда |
|
|
|||
V = |
Н |
|
|
И2 |
(ZR — H). |
|
(1) |
|
\ S ( x ) d x = — |
|
|||||||
|
о |
|
|
3 |
|
|
|
|
87
А |
А |
Пусть R < Н < 2R. Обозначим объем сегмента, дополняющего данный сегмент до шара, через Vlt его высота Н{= 2R — Н <С R- Тогда объем данного сегмента
V = - У, = -J- |
- |
— —(2А?- ~ Я)а [3R — (2/? — Н)\. |
|
3 |
|
После преобразований приходим к формуле (1). Итак, доказана теорема:
Объем любого шарового сегмента выраясается формулой
V = (3/? — Н). .
За д а ч и
408.1) Доказать, что объемы шаров относятся как кубы их радиусов (диаметров).
2)Во сколько раз объем Земли больше объема Луны?
3)Во сколько раз нужно увеличить диаметр шара, чтобы его объем увеличился в два раза?
409.Вычислить объем макета шара.
410.Объем шара можно вычислить по приближенной формуле
V = — D3. С недостатком или избытком получим результат? Найти
относительную погрешность при вычислении по этой формуле.
411. |
Сколько дробинок диаметром 3,0 мм содержится в |
1,0 кг |
|
дроби? (Плотность свинца 11,4 г/см3.) |
|
||
4 1 2 /Два свинцовых шара диаметром 23 см и 34 см переплавлены |
|||
в один шар. Найти его диаметр. |
|
||
413. |
1) Масса железного шара равна 4,00 кг. Каков его диаметр? |
||
2) Какова масса пробкового шара диаметром 2 м? Проверьте |
|||
свою |
оценку путем вычислений, приняв плотность пробки |
за |
|
0,25 |
г/см3. |
|
|
88
414. 13 цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполнен ную водой до некоторого уровня, опущены четыре металлических
шарика с диаметрами 1,0 см. Как изменился уровень воды в мен зурке?
415. Плоскость, перпендикулярная к диаметру шара, делит
диаметр на части, равные 2 дм и 4 дм. Найти объемы получившихся частей шара.
416.Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5,0 м и высотой 60 см.
417.В шаре, радиус которого равен 4 дм, проведены по одну
сторону центра два параллельных сечения, отстоящие от центра на 21 см и 28 см. Найти объем полученного шарового слоя.
418. Найти объем заклепки по размерам, указанным на рисунке 119 (в миллиметрах). Сколько таких заклепок содержится в 10 кг, если считать плотность материала (сталь) равной 7,8 г/см3?
419.Найти объем линзы (рис. 120), ограниченной двумя сфе рическими поверхностями и цилиндрической поверхностью. Раз меры даны в миллиметрах.
420.Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоединены конгруэнтные шаровые сегменты. Диаметр цилиндра равен 3,0 м, высота сегмента 0,50 м. Какую длину должна иметь
образующая цилиндра, |
чтобы вместимость цистерны |
равнялась |
||
50 ж3? |
|
|
|
|
421. |
Найти объем шарового сегмента, в осевом сечении которого |
|||
хорда |
длиной а стягивает дугу а. Вычислить при |
а — 6 |
см. |
|
' а = 120Q. |
|
|
|
|
|
§ 43. ОБЪЕМ ШАРОВОГО СЕКТОРА |
|
|
|
О п р е д е л е н и е . |
Шаровым сектором называется тело, |
по |
||
лученное вращением кругового сектора вокруг диаметра, |
не пересе |
|||
кающего дугу сектора. |
|
|
|
|
Один из радиусов, ограничивающих круговой сектор, может принадлежать диаметру, около которого происходит вращение. В этом случае полученный шаровой сектор называется простым (рис. 121, а). В противном случае шаровой сектор называется по-
89