книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы

Проведем [ON] A. a (N — основание перпендикуляра), обозна­

чим через ON0 — единичный вектор, сонаправленный с ON. Возь­

мем на плоскости g произвольную точку М(х, у , г), тогда NMJlONq. Для всех точек плоскости а, и только для этих точек, справедливо

уравнения (3) умножим на —1). В уравнении (3) хотя бы одно из

У а2 + Ь2+ с2

Рассмотрим вектор ОР = (а, Ьус). Коэффициенты уравнения (З')при переменных я, у у z являются косинусами углов а, (3, у, образован­

ных вектором ОР с базисными векторами (§ 2, задача 3):

Уа2+ Ь2 + с2

Тогда уравнение (3') можно записать в виде:

10 •

есть уравнение плоскости, перпен­ дикулярной к единичному вектору

ON0 = (cos a, cos fl, cosy) и нахо­ дящейся на расстоянии h от нача­ ла координат.

Координаты вектора ОР равны соответственным координатам

костями су4 и 42 или дополняет его до 180°. Чтобы убедиться в этом, проведем через точки О, Р 4, Рг плоскость or. Прямая / = а 4П 0*2 перпендикулярна су, так как (OP4)J_ / и (ОР2) _1 /. Пусть crf| f — М,

11

служит основанием перпендикуляра, опущенного pis начала коор­

лярна одной из осей координат; 2) параллельна одной из осей коор­ динат; 3) проходит через начало координат?

31. Записать уравнение плоскости, если она:

1) проходит через точку М(0, 2, 0) и перпендикулярна оси ор­

скоординатными плоскостями.

38.На координатной плоскости yOz найти точку, одинаково удаленную от точек А(3, 1, 2), В(4, —2, —2), С(0, 5, 1).

39.Прямая задана точками Л(6, 0, 2) и Л(1, —3, 4). Найти зна­ чения х и у, при которых точка М(х, у , 8) принадлежит прямой А В.

12

Г Л А В А II

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ МНОГОГРАННИКИ

§ 5. МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ

Пусть даны многоугольник Ф = АВС... и точка S, не принад­ лежащая его плоскости (рис. 9). Объединение всех лучей, имеющих общее начало S и пересекающих данный многоугольник Ф (рис. 10),

В зависимости от числа граней различают трехгранные, четы­ рехгранные, пятигранные и т. д. углы. Многогранный угол обозна­ чают с помощью букв, называя ими вершину и точки на каждом из ребер, причем на первом месте ставится буква, обозначающая вер­ шину. Например, пятигранный угол, изображенный на рисунке 10, обозначают SABCDE. Каждые две грани, имеющие общее ребро, определяют двугранный угол, например Z.ESAB, A.ASBC и т. д.

Множество всех точек многогранного угла, не принадлежащих граням, называют его внутренней областью. Если внутренняя область многогранного угла расположена по одну сторону от плос­ кости каждой из его граней, то многогранный угол является выпук­ лой фигурой (см. I, § 6).

Невыпуклый многогранный угол изображен на рисунке 11. Мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.

14

Свойства плоских углов выпуклого многогранного угла обоб­ щают соответствующие свойства трехгранного угла (1, § 51).

условия существования многогранного угла, имеющего плоские углы а ь аг, ... ап. Но выполнение обоих этих условий является и достаточным для существования такого угла. Это мы также при­ нимаем без доказательства.

З а д а ч и

57°. Многогранный угол имеет п граней. Сколько у него ребер? Двугранных углов?

58.Все плоские углы четырехгранного угла равновелики. Можно ли утверждать, что равновелики все его двугранные углы?

59.Практическая работа.

Из плотной бумаги изготовьте макеты пар плоских углов,

имеющих общую сторону:^30° и 50°, 60°’и 90°, 30° и 140°, 120р и 150р.

Пользуясь ими, попытайтесь изготовить макеты четырехгранных углов, имеющих плоские углы: 1) 30°, 50р, 60°, 90®; 2) 30р, 50°, 30°, 140°; 3) 60°, 90°, 120°, 150°; 4) 60р, 90р, 30°, 140°. Сформулируйте гипотезу: в каких случаях плоские углы не могут быть гранями многогранного угла?

60.Существует ли многогранный угол, имеющий плоские углы:

1)80р, 130р, 70р, 100°; 2) 10р, 20ф, 40°, 80р; 3) 135р, 90р, 60р, 40°; 4) 53р,

63р, 73р, 80р, 90°?

61.В четырехгранном угле SABCD все плоские углы, а также

Л5С равны по 60°. Найти его двугранные углы.

62.В четырехгранном угле два плоских угла, равные по 45р, образуют прямой двугранный угол, два остальных плоских угла равны по 60р. Найти двугранный угол при ребре, являющемся

общей стороной этих углов.

§6. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО

Вэтой и последующих главах мы будем пользоваться понятиями геометрического тела и его поверхности. Дать определения этим понятиям довольно трудно, так как предварительно придется вво­ дить ряд вспомогательных понятий. Поэтому можно ограничиться теми наглядными представлениями о геометрическом теле, которые вы получили в восьмилетней школе. Примерами таких тел служат куб, цилиндр, конус и т. п.

15

ее точка является внутренней и любые две ее точки можно соединить ломаной, принадлежащей Ф (рис. 12). Примером открытой пространственной области может служить пространство, открытое полупространство (I, § 6) или внут­ ренняя область многогранного угла (§ 5). Точка В (рис. 12) называется гра­ ничной точкой открытой области Ф, если для любого г^> О среди точек, находящихся от В на расстоянии, меньшем г, существуют точки, принадле­

(рис. 12) называется замкнутой пространственной областью. Примерами зам­ кнутых областей могут служить замкнутое полупространство, двугранный или трехгранный угол.

Фигура называется ограниченной, если существует такое число R, что расстояние между двумя любыми точками данной фигуры меньше R. При­

мером ограниченной плоской фигуры является треугольник, примером неог­

является, так как он не удовлетворяет требованию ограниченности. Мы будем рассматривать только выпуклые тела, т. е. такие тела, которые удовлетво­ ряют определению выпуклой фигуры.

§7. МНОГОГРАННИК

Оп р е д е л е н и е . Тело, поверхность которого является объ­

единением многоугольников, называется многогранником.

Многоугольники, составляющие поверхность многогранника (рис. 13), называются его гранями, стороны этих многоугольников—

si i

Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. призмы. На рисунке 16 изображена четырехугольная призма

ABCDAiBiCiDi и ее высота ШАЛ.

О п р е д е л е н и е 2. Прямой призмой называется призма,

боковые ребра которой перпендикулярны к плоскости основания

(рис. 17).

I

I

I

I

О)

б)

Рис. 18

18

Из этого определения следует:

1)боковые грани прямой призмы — прямоугольники;

2)боковое ребро прямой призмы является ее высотой.

Призма, боковые ребра которой не перпендикулярны к плос­ кости основания, называется наклонной . призмой. Если призма прямая и в основании ее лежит правильный многоугольник, то она называется правильной призмой. На рисунке 18 изображена правильная шестиугольная призма и ее развертка.

§ 9. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРИЗМЫ

Изображение призмы можно получить следующим образом: 1) изобразить одно из оснований призмы; 2) изобразить боковые ребра в виде параллельных и конгруэнтных отрезков; 3) соединить последовательно свободные концы этих отрезков.

Рассмотрим примеры изображения призм в кабинетной проекции1. На рисун­

основанием которой служит ромб (рис. 20), предварительно вычерчиваем без искажения основание ABCD призмы (оригинал) и проводим [DE] ±[АВ]. Затем изображаем [АВ] вместе с точкой Е без искажения и строим отрезок ED под углом 45° к [АВ], причем | ED | уменьшаем вдвое по сравне­

нию с оригиналом. Получив изображение точки D, строим,, параллелограмм ABCD ,

изображающий данный ромб. Остальные построения очевидны.

Изображение правильной шестиуголь­ ной призмы (рис. 18) также выполнено в кабинетной проекции.

З а д а ч и

19