книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы
.pdfНа рисунке 96 изображены куб и равновеликая ему прямая треуголь ная призма, составленная из частей куба.' Равновеликость этих тел вы текает из свойств 1 и 2. Этот пример показывает также, что из равновеликости тел не следует их конгруэнт ность.
С л е д с т в и е 2. Если два тела разбиты на одинаковое число попарно конгруэнтных частей (равносоставлен- ные тела), то такие тела равнове лики.
Это вытекает из свойств 1 и 2 измерения объемов тел.
Т е о р е м а . Объем прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трех его измерений.
-При доказательстве теоремы рассмотрим три случая:
1.Измерения являются целыми числами а, b, с. Разобьем параллелепипед плоскостями, параллельными граням, на единич ные кубы (рис. 97, а). В одном слое (рис. 97, б) таких кубов будет ab, число слоев равно с. Поэтому всего единичных кубов abc. Сог ласно свойствам 2 и 3, объем параллелепипеда равен abc.
2. Измерения являются рациональными числами:
а = — ; |
b = — ; |
с —— . |
Я1 |
Я2 |
Яз |
Приведем эти дроби к общему знаменателю:
Pi __ Р1Я2Яз . |
Р2 |
_ Р2Я1Я3 . Ръ |
__ Р3Я1Я2 |
||
Яг |
Я1Я2Я3 |
Я2 |
Я1Я2Я3 |
Яз |
Я1Я2Я3 |
От данной линейной единицы перейдем к новой, более мелкой единице, составляющей —-— часть прежней. Каждое ребро еди-
Я1Я2Я3 |
^ |
ничного куба будет содержать ^1^3 |
новых линейных единиц. По |
а) |
б) |
6) |
Рис. 97
70‘
доказанному в первом пункте объем первоначального единичного куба равен
(<71<Мз) • (ЯМг) • (ЯМгЯг) = (ЯАгЯг)3
новых кубических единиц. В новых линейных единицах измерения данного параллелепипеда являются целыми числами:
РгЧйъ и РъЦ1^2* Согласно случаю 1, объем данного паралл елепипеда равен (/?1<729з)‘ {РчРНЯъ)' (P3W 2) новых кубических единиц. Перво начальных кубических единиц в ( ^ ^ з ) 3 раз меньше, т. е.
I
У = (PlQtfs) ■ {P2Q1Q3) • (Р3Я1Я2) |
= Pi |
Р2 |
Рз |
= a frc |
(Я\.Я2Яз)А |
Я\ |
Я2 |
Яз |
|
3. Среди измерений а, Ь, с хотя бы одно — число иррациональное.
Каждое измерение можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Так как среди измерений есть иррациональное число, то никакая доля единичного отрезка не уложится в соответствующем отрезке целое число
раз. Обозначим а |
п |
сп приближенные значения чисел а, Ь, с по недос- |
|
п |
'п |
+ |
|
|
1 |
+ |
|
гатку с точностью |
10я |
и ап> 'п> сп по избытку е той же точностью. Наря |
|
ду с данным параллелепипедом рассмотрим параллелепипеды с измерения ми а ~ , Ь~, с~ и а+п, Ь+п, с* (рис. 97, в). На основании следствия 1
можем записать:
V - < V < V+п *
Имеем: V~ = а~ Ьп |
сп и V+n = an b]l сп (случаи 1 |
и 2). Тогда |
|
an b7 c7 < v < а*п К сп* ■ |
( 1 ) |
Но по определению |
произведения действительных |
чисел |
|
ап |
К с7 < аЬс < а*пЬ+п С1 ■ |
(2) |
Неравенства (1) |
и (2) показывают, что приближенные значения чи |
||
сел V и abc, взятые в |
любой одинаковой точностью равны |
Следовательно |
|
эти числа равны: V = |
abc.u |
|
|
С л е д с т в и е . |
Объем прямоугольного параллелепипеда равен |
||
произведению площади его основания на высоту. |
и с — Н яв |
||
Действительно, |
ab = |
Q есть площадь основания |
|
ляется высотой. Тогда |
V = abc = Q-H.u |
|
|
З а д а ч и
Задачи 301—305 предлагаем решить, пользуясь свойствами из
мерения |
объема |
тела. |
|
|
301. |
Тела |
и Г2 имеют объемы V{ и V2. Чему равен объем тела |
||
Till Т2, если объем тела Ti[)T2 равен 0,5 1/2? |
12 х 6 см. |
|||
302. |
Строительный кирпич |
имеет размеры 25 х |
||
Найти объем стены, выложенной из 10 000 кирпичей. |
Учесть, что |
|||
раствор |
увеличивает объем на |
15%. |
|
|
71
5
CNi
и Т Т Л
25 _
Рис. 98 |
Рис. 99 |
303.Единичный куб пересечен плоскостью, проходящей через его центр симметрии. Чему равен объем каждой части куба?
304.Правильная четырехугольная пирамида объема V пересе чена плоскостью, проходящей через высоту пирамиды. Найти объемы полученных частей пирамиды.
305.Чему равен объем пирамиды, у которой основанием служит грань куба, имеющего объем V, а вершиной — точка пересечения диагоналей этого куба?
306°. Площадь полной поверхности куба равна 96 дм2. Найти его объем.
307. Диагональ куба равна d. Найти объем куба.
308. Два свинцовых куба с ребрами 5 см и 6 см переплавлены
водин куб. Найти ребро этого куба.
309.Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 15 см, 50 сму 36 см. Найти ребро равновеликого ему куба.
310.У двух прямоугольных параллелепипедов равновелики основания и диагональные сечения. Равновелики ли параллелепи педы?
311.1) Найти массу стальной двутавровой балки длиной 4 м. Сечение балки показано на рисунке 98, размеры даны в миллимет рах. (Плотность стали 7,8 г/см3.)
2)Вычислить массу полосы профильного железа длиной 25,75 м. Поперечное сечение показано на рисунке 99, размеры даны в милли метрах.
312.Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат со стороной а, высота параллелепипеда равна Ъ. Как изменится объем
иплощадь его боковой поверхности, если каждую сторону осно вания увеличить на 10%, а высоту уменьшить на 10%?
313.Площади граней прямоугольного параллелепипеда равны
Qi, |
Q2, <23. Доказать, что его объем V = ]/ |
QiQ2Q3 • |
|||
бы |
314. Составить задачу, в которой среди |
данных величин был |
|||
объем |
прямоугольного параллелепипеда, |
а |
искомой величиной |
||
являлась |
площадь |
его полной поверхности. |
|
параллелепипеда а |
|
|
315. Стороны |
основания прямоугольного |
|||
и Ь. Его диагональ составляет с плоскостью основания угол а. Найти объем параллелепипеда.
72
316. В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна /, острый угол между диагоналями основания равен а, диа гональ меньшей боковой грани образует с плоскостью основания угол (3.
Найти объем и площадь боковой поверхности параллелепипеда. 317. В прямоугольном параллелепипеде сторона основания
образует с диагональю основания угол а. Через данную сторону и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, образующее с основанием двугранный угол ф. Найти объем парал лелепипеда.
Задачи 318 щ319 рекомендуем решать, используя правило на хождения экстремума функции с помощью производной.
318. На изготовление закрытого ящика с квадратным основа нием расходуется S м2 досок. Найти линейные размеры ящика, при которых его объем наибольший.
319. Из квадратного листа жести со стороной а изготовили прямоугольную коробку, для чего были вырезаны по углам квад раты и загнуты края. Чему должна быть равна сторона вырезае мого квадрата, чтобы получилась коробка наибольшей вмести мости?
§33. ОБЪЕМ ПРЯМОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Те о р е ма . Объем прямого параллелепипеда равен произве дению площади его основания на высоту.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
дан |
прямой |
параллелепипед |
|||
ABCDAiBfiJ)j. Из точек |
А и D опустим перпендикуляры [АК] |
||||||
и IDL] на прямую ВС (рис. 100). Полученный прямоугольник AKLD |
|||||||
равновелик параллелограмму |
A BCD. |
Проведем плоскости |
|||||
DJDL, АуАК и рассмотрим |
прямоуголь |
А)В, |
|||||
ный параллелепипед |
AKLDA^KiBJD^. |
||||||
Докажем, |
что он равновелик |
данному |
А, |
|
|||
прямому |
параллелепипеду. |
Прямые тре |
|
||||
угольные |
призмы |
AKBAiKxBi |
и |
|
|
||
DLCD1L1C1 (рис. 100) |
конгруэнтны, так |
к |
В |
||||
как вектор AD отображает первую при зму на вторую. Следовательно, данный и построенный параллелепипеды равносоставлены. По следствию 2 из § 32 они равновелики. Объем прямоугольно го параллелепипеда равен Sakld•# . Тогда и объем прямого параллелепипе
да равен Sakld • Н = Sabcd • Н = Q • Н. ■
П р и м е ч а н и е . Возможен слу чай, когда отрезки АВ и DL пересека ются в точке О (рис. 101). Теорема верна и в этом случае. Для доказательства достаточно из объемов конгруэнтных
Рис. 100
Рис. 101
73
прямых призм с основаниями АКБ и DLC вычесть объем призмы с основанием OLB, затем прибавить объем призмы с основанием
AOD.
За д а ч и
320.В прямом параллелепипеде стороны основания соответ ственно равны 3 см и 2 см, острый угол основания равен 60°, боль шая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°. Найти объем и площадь меньшего диагонального сече ния.
321.Основанием прямого параллелепипеда служит параллело грамм, у которого одна из диагоналей равна 19 см, а стороны равны 12 см и 15 см. Площадь большей грани равна 150 см2. Найти объем.
322.Вычислить объем макета прямого параллелепипеда.
323.У двух прямых параллелепипедов равновелики боковые поверхности. Будут ли равновелики параллелепипеды, если их основания: 1) конгруэнтны; 2) равновелики?
324.Диагонали прямого параллелепипеда равны 8 дм и 10 дм, стороны основания равны 5 дм и 3 дм. Найти объем.
325.В основании прямого параллелепипеда — ромб, у кото рого меньшая диагональ d и острый угол а. Площадь боковой по верхности равна 5. Найти объем.
326.В прямом параллелепипеде боковое ребро удалено от про тиволежащего диагонального сечения на т, диагональ этого сече ния равна / и образует с плоскостью основания угол а. Найти объем.
Вычислить при т — 4,2 дм, I = 8,0 дм, а = 56°.
327. Найти двугранные углы при боковых ребрах прямого па раллелепипеда, объем которого равен V, стороны основания а и Ь, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей основа ний.
328. Диагональ основания прямого параллелепипеда равна d
и образует со сторонами основания углы |
а и 0, площадь боковой |
поверхности параллелепипеда равна S. |
Найти объем. |
* |
|
§34. ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ
Те о р е м а . Объем прямой призмы равен произведению пло
щади ее основания на высоту.
До к а з а т е л ь с т в о . 1. Рассмотрим прямую треугольную
призму ABCAiB^i (рис. |
102). Через середины отрезков АС и |
A f i 1 проведем прямую I; |
очевидно, 1_}_(АВС). В преобразова |
нии симметрии относительно / прямая призма ABCAiBiCi отобра
жается на прямую призму ADCAJ) |
Объединение этих призм — |
|||
прямой |
параллелепипед |
ABCD A^fiiD i. |
Симметричные призмы |
|
конгруэнтны, поэтому, согласно свойствам 1 |
и 2 из § 32, объем дан |
|||
ной призмы равен половине объема параллелепипеда, т. е. |
||||
^ |
= — Sabcd • Н = |
Sabcd j • Н = |
Sabc • Я = Q • И. |
|
2. Рассмотрим прямую многоугольную призму (рис. 103). Разобьем данную призму на прямые треугольные призмы. Площади их
оснований обозначим Qh Q2, |
Qm. По свой |
|||||
ству 2 из § 32, объем |
многоугольной призмы |
|||||
равен |
сумме |
объемов построенных треуголь |
||||
ных |
призм, |
т. |
е. |
V = Q fH + Q2 »H + |
||
+ • • • |
+ Qm *Н — (Qi + |
Q2 + |
• • • +Qm)' H ~ |
|||
= Q'H, где Q — площадь |
основания данной |
|||||
призмы и Н — ее |
высота. . |
|
||||
З а д а ч и
Рис. 102
329.Найти объем правильной треуголь ной призмы, зная ее высоту h и сторону основания а.
330.Диагональ основания правильной че тырехугольной призмы равна du диагональ призмы d%. Найти объем.
331.Диагональное сечение прямой четы
рехугольной призмы разделило призму на две равновеликие части. Обязательно ли эти части конгруэнтны?
332. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник. Боковые сто роны основания равны 12 см, а угол между ними 30°. Найти объем, если известно, что только одна из боковых граней призмы — квадрат.
333.Вычислить объем макета правильной шестиугольной призмы.
334.Длина железнодорожной шпалы равна 2,7 м, поперечное
сечение ее показано на рисунке 104 (размеры в сантиметрах). Сколько шпал можно погрузить на платформу грузоподъемностью 17 т? (Плотность дерева принять за 0,8 г/см3.)
>
|
|
335. |
Из |
деревянной тре |
||
|
|
угольной |
прямой |
призмы с |
||
|
|
равными |
ребрами |
вырезана |
||
|
|
прямая |
четырехугольная |
|||
|
|
призма с наибольшим объе |
||||
|
|
мом. Сколько процентов мате |
||||
|
|
риала ушло в отходы? |
||||
|
|
336. |
Вращающийся |
бара |
||
|
|
бан для никелирования мел |
||||
Рис. |
106 |
ких деталей |
имеет |
форму |
||
|
|
правильной |
шестиугольной |
|||
|
|
призмы, расположенной гори |
||||
зонтально (рис. 105, размеры в сантиметрах). |
При работе барабан |
|||||
заполняется на — |
h. Найти объем |
загруженной |
части барабана. |
|||
337.Найти объем n-угольной правильной призмы, у которой большая диагональ длиной / составляет с основанием угол а.
338.Скирда сена имеет форму прямой призмы с пятиугольным основанием, размеры скирды (в метрах) указаны на рисунке 106.
Вычислить массу сена в скирде," приняв массу 1 м3 сена равной
70 кг.
339. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с площадью 5 и острым углом а. Площадь большей боковой грани равна Q. Найти объем.
340. Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция, боковые стороны и меньшее основание которой равны а, острый угол трапеции а. Сечение, проходящее через боковую сторону нижнего основания и середину меньшей из параллельных сторон верхнего основания, является ромбом. Найти объем и площадь полной по верхности призмы. Вычислить при а — 6,4 см, а = 54°.
§ 35. ОБЪЕМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ
Т е о р е м а . Объем наклонной призмы равен произведению
площади ее перпендикулярного сечения на боковое ребро.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дана |
наклонная призма1 ACt |
||
(рис. |
107). |
На продолжении ребра A fA возьмем точку А2 и прове |
|
дем |
через |
нее перпендикулярное сечение |
A2B2C2D2. Примем это |
сечение за верхнее основание прямой призмы Л2С3, боковые ребра которой равны по длине боковым ребрам наклонной призмы ЛС4. Докажем равновеликость призм Л2С3 и ЛС4. Многогранники (не призмы!) А2Сх и А3С конгруэнтны, так как первый из них может
быть отображен на |
второй |
вектором AiA. |
По |
первому свойству |
измерения объемов |
(§ 32) |
Vлгсх = Уалс, |
по |
второму свойству |
__________ |
|
\ |
|
|
1 В этой теореме многогранник обозначаем указанием его диагонали.
VU2ct = VAct + Va 2c и Va 3c |
— Уa 3c 2 + |
Уa 2c - Тогда Уa c x |
+ Уa 2c — |
||
= V a 3c 2 |
+ V a 2c , |
отсюда |
УДяс2 = |
V'a c x- Применим |
формулу |
объема |
прямой |
призмы |
УАзсг = S a 2b 2c 2d 2 • \AzA3| , |
тогда и |
|
= S a 2b 2c 2d 2 * | /4г Л з | = |
S a 2b 2c 2d 2 * |
|
|
||
С л е д с т в и е . Объем наклонной призмы равен произведению
площади ее основания на высоту.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для |
данной призмы ACi |
(рис. 108) |
|||
введем обозначения: |
| A tA |
| = |
/, |
| A fi \ — Н (высота), |
Q — пло |
|
щадь |
основания, 5 — площадь |
перпендикулярного сечения. Сог |
||||
ласно |
теореме, У = |
SL Замечаем, |
что перпендикулярное сечение |
|||
данной призмы есть ортогональная проекция ее основания, поэто му (§ 18) S = Q cos ср, где ф — угол между плоскостями основания
и сечения |
(рис. 108). |
Угол между прямыми A fi и А А и перпенди |
|
кулярными к этим плоскостям, также равен ф (§ 4, задача). |
|||
Имеем: |
I = —— |
тогда У = S • I = Qcos ср . — |
= Q-H ., |
|
cos 9 |
cos 9 |
|
|
|
З а д а ч и |
|
341. Основание наклонной призмы — правильный |
треуголь |
||
ник со стороной а, боковое ребро равно b и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найти объем призмы.
342. Основанием призмы служит трапеция, параллельные сто роны которой равны 44 см и 28 см, а непараллельные— 17 см. Одно из диагональных сечений призмы перпендикулярно к ее основанию и представляет ромб с углом 45°. Найти объем призмы.
343. 1) Доказать, что объем треугольной призмы равен поло вине произведения площади боковой грани на расстояние между плоскостью этой грани и противолежащим боковым ребром.
77
2) Доказать, что объем призмы, основаниями которой служат трапеции, равен произведению полусуммы площадей параллельных боковых граней на расстояние между их плоскостями.
344. 1) Разделить треугольную призму на две равновеликие части плоскостью, проходящей через боковое ребро.
2) Разделить наклонный параллелепипед на две равновеликие призмы плоскостью, проходящей через точку, взятую на стороне основания.
345.Все девять ребер призмы равны а, объем призмы V, Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
346.Все шесть граней призмы — ромбы со стороной а и острым углом а. Найти площадь полной поверхности и объем.
347.Основание призмы — равнобедренный прямоугольный тре угольник. Боковая грань, проходящая через один из его катетов, является квадратом со стороной а и образует с плоскостью ос
нования двугранный угол а. Найти объем. Вычислить при
а= 15,6 см, а = 43°40\
348.1) Построить сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через центроид основания и параллельной одной из
боковых граней.
2) Найти отношение объемов тел, полученных при пересечении призмы построенной плоскостью.
349. 1) Построить сечение наклонного параллелепипеда ABCDAiBiCiDi плоскостью, параллельной диагонали АС осно вания и проходящей через середины ребер ВС и А^В^
2) Найти отношение объемов полученных частей параллеле пипеда.
§ 36. ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА
Поставим задачу найти объем цилиндра с радиусом основания R и высотой Я. Рассмотрим правильную четырехугольную призму (рис. 109), вписанную в цилиндр (основания призмы вписаны в ос нования цилиндра). Путем удвоения числа сторон оснований призмы можем получить восьмиугольную призму, вписанную в
цилиндр, так же можем получить |
шестнадцатиугольную призму |
|||||
и т. д. Объемы этих |
призм образуют числовую по |
|||||
следовательность |
Vi, V2, ..., |
Vn, ... . Объем п-й |
||||
призмы |
Vn = |
5 ПЯ, |
где S n — площадь |
основания |
||
призмы |
и Я |
— ее |
высота. |
Последовательность |
||
S n имеет предел, |
равный площади круга, |
а высота |
||||
Яостается постоянной. Тогда и произведение Vn=
=S nH имеет предел:
|
lim Vn = lim (SnH) = Я lim Sn = nR2H. |
|
Аналогично можем составить последователь |
|
ность объемов правильных призм, описанных около |
Рис. 109 |
цилиндра: Vu Vv ...» Vm ... • Как и ранее, до- |
78
кажем, что lim |
Vn = |
tcR2H, t . e. lim Vn = lim V'n. Ho Vn < V<Vn |
(§ 32, следствие |
1), |
отсюда V =nR2H. |
Итак, доказана теорема:
Объем цилиндра равен произведению площади его основа ния на высоту. .
За д а ч и
350.Радиус основания цилиндра равен 4 см, площадь осевого сечения 72 см2. Найти объем.
351.Стальная болванка имеет форму правильной четырехуголь ной призмы со стороной основания 0,40м и высотой 1,00ж. Сколько метров проволоки диаметром 5,00 мм можно изготовить вытяги ванием из этой болванки?
352.Кабель диаметром 50 мм заключается в свинцовую обо
лочку толщиной 2,5 мм. На изготовление оболочки израсходована
1гп свинца. Какова длина кабеля? (Плотность свинца 11,4 г/см3.)
353.Стальной вал, имеющий 97 см в длину и 8,4 см в диаметре, обтачивается так, что его диаметр уменьшается на 0,20 см. На сколь ко уменьшится масса вала в результате обточки? (Плотность ста ли 7,4 г/см3.)
354.В прямоугольнике диагональ составляет с одной из сторон угол а. Найти отношение объемов тел, образованных вращением прямоугольника около каждой из неравных сторон.
355.В цилиндр вписана правильная треугольная призма, объем которой равен К, а отношение стороны основания к боковому реб
ру равно ]/3 . Найти объем цилиндра.
356.Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под углом а, периметр сечения равен Р. Найти объем цилиндра.
357.Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отстоящее от оси на расстояние d и отсекающее от окружности основания дугу а. Площадь сечения равна 5. Найти объем цилиндра.
§ 37 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Поставим задачу найти формулу, по которой можно было бы вычислять объемы других известных нам тел: пирамиды, усечен ной пирамиды, конуса, усеченного конуса, шарового сегмента и шара. Рассмотрим какое-либо из этих тел, например: пирамиду (рис. 110, а), или усеченный конус (рис. 110, б), или полушар (рис. ПО, в). Введем обозначения: Н — высота тела, Q — площадь нижнего основания, V — объем тела. Пересечем тело плоскостью, параллельной его основанию. Расстояние от вершины или верхнего основания тела до секущей плоскости обозначим через х. Замечаем, что каждому х из промежутка 0 <С х ^ И соответствует определен ная площадь сечения, а также объем тела, заключенного между