книги из ГПНТБ / Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы
.pdf180° — arcsin |
|
V 2 |
|
145° 40'. 601. |
nab2 sin2 a, 2n (a + b) b sin a. |
|
|
|
|||||||||||||||||
TZ2 Q3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
602. |
nab У a2 4- b2. |
|
603. |
— |
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin p + |
sin (a -j- P) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
7t |
|
|
sin a + |
|
|
71 b2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Нельзя. |
604. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
in a _~b ft cos |
|
cos _ft_ |
2sin a |
sin2 ( 45° — — |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4sin |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
152 |
(jit2). |
605. |
7t (a3 — b3) sin2 cp |
cos |
|
|
sin |
-f -|-jsin |
— |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
12 cos <p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
606. 1) Окружность, |
или |
точка, |
или пустое |
множество; |
2) |
две окружности, |
|||||||||||||||||||
или две точки, |
или |
пустое |
множество. |
607. |
1) |
Цилиндрическая поверхность; |
|||||||||||||||||||
2) |
две окружности, |
или одна окружность, |
или |
пустое |
множество. 608. Конус |
||||||||||||||||||||
имеет наименьший объем, а шар—наибольший. |
|
т2 (т 3п) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
609. |
п2 (п -4- 3т) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
||||
|
|
|
nR2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У S (4Q2 + S 2) |
|
|
|
|
|
|||||||
611. |
1) |
; |
2) |
^ |
85 млн. |
км2. |
612. |
|
|
4т1Г3 sin465---- |
|||||||||||||||
90 |
|
|
6 У п |
|
|
613. ________2_ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3cos а |
|
|||||
614. |
|
|
1 |
|
.615. |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
616. |
|
2тzS sin а |
|
|||||
arcsin------- |
arcsin-------и |
180° — arcsin--------. |
|
|
|
а |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
У т |
|
|
|
|
|
7tт |
|
|
|
|
|
|
7гт |
|
|
1 |
-j- sin |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
617. |
|
128 УЪ |
R |
3 cos2 1.30° + |
- у |
j cos2 ( з ° ° - у |
] |
sin2 |
|
>а < 120°. |
|
|
|
||||||||||||
|
27 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
618. |
2) arccos ( / 2 — l) ^ |
65° 33'. |
619. |
|
|
|
|
gtga f |
+ |
1б)3. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
4nR2 tg |
180° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
620. |
|
п |
|
. Да. |
621. |
Пусть А и В данные точки, |
| АВ J= а. |
Выбе |
|||||||||||||||||
|
sin2а |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рем систему координат так, чтобы |
начало |
координат |
совпадало |
с |
точкой |
А г |
|||||||||||||||||||
а |
ось |
ординат |
проходила |
через |
В |
и |
имела |
|
направление |
луча |
[АВ). |
||||||||||||||
Ответ : плоскость, |
перпендикулярная к прямой АВ, |
|
|
|
|
|
а21—{—k2 |
||||||||||||||||||
ее уравнение у = -------- . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
622. Сфера. Если началом координат является середина отрезка, |
соединяюще |
||||||||||||||||||||||||
го данные точки А и |
В, и ось ординат |
проходит |
через эти |
точки, |
то уравне- |
||||||||||||||||||||
ние сферы имеет |
вид |
х2 -f |
У2 4- г 2 = |
2k2 — а2 |
, |
где |
а = |
\ АВ | \а < |
г— |
|
|||||||||||||||
------------- |
k у |
2 ). |
|||||||||||||||||||||||
П ри |
л о ж е н и е . |
Примерное распределение времени по темам |
|
7 |
час. |
||||||||||||||||||||
|
|
1. |
Координатный метод в пространстве................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2. Многогранные углы. Многогранники................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
час. |
|||||||||||||
|
|
3. Поверхности вращенияи тела вращения...................... |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
час. |
||||||||||||||
|
|
4. |
Объемы тел |
|
............................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
час. |
||||
|
5. |
Площади поверхностейтел вращения .................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 час. |
||||||||||||||
|
|
6. |
Повторение |
................................. |
|
|
|
|
|
............................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
час. |
||||
ПРЕДМЕТНЫЙ |
УКАЗАТЕЛЬ |
Абсцисса 8 |
Перлендикулярное сечение призмы 21 |
Апофема правильной пирамиды 29 |
Пирамида 28 |
—правильной усеченной пира — правильная 29
миды 35 |
Плоский угол |
14 |
||
Аппликата 8 |
Площадь поверхности |
вращения |
||
Боковая |
грань пирамиды 28 |
отрезка 99 |
|
вращения |
— |
— призмы 18 |
Площадь поверхности |
||
Большая окружность сферы 60 |
дуги 105 |
|
|
|
Большой круг шара 60 |
Поверхность тела 16 |
|
||
Вращение вокруг оси 51 |
— |
вращения 51 |
||
Выпуклый многогранник 17 |
Подобные фигуры 33 |
|
||
— |
многогранный угол 14 |
Преобразование подобия 32 |
||
Гипербола |
56 |
Призма |
18 |
19 |
Гомотетия |
31 |
— |
наклонная |
|
Грань многогранника 16 |
— |
правильная |
19 |
|
— многогранного угла 14 |
— |
прямая 18 |
|
|
Диагональ многогранника 16 |
Прямоугольные координаты 8 |
|
Диаметр сферы (шара) 59 |
Прямоугольный базис 3 |
|
— |
эллипса 48 |
Равновеликие тела 69 |
Единичный куб 69 |
|
|
Равносоставленные тела 70 |
|
||||
Измерения |
прямоугольного паралле |
Равносторонний |
конус 102 |
|
||||
лепипеда 26 |
|
|
— |
|
|
цилиндр 100 |
||
Касательная |
плоскость к сфере 64 |
Радиус сферы |
(шара) 59 |
|
||||
— |
прямая |
к эллипсу |
49 |
Развертка конуса 55 |
17 |
|||
Коническая |
поверхность вращения 55 |
— |
многогранника |
|||||
Конус (вращения) 54 |
|
|
— |
усеченного конуса 57 |
||||
Координатные оси 8 |
|
|
— |
цилиндра 53 |
|
|||
— |
плоскости 8 |
|
Ребро |
многогранника 16 |
14 |
|||
Координаты |
вектора |
4 |
|
— |
многогранного угла |
|||
— |
точки 8 |
|
|
Сегментная поверхность 66 |
|
|||
Коэффициент гомотетии 31 |
|
Сопряженные |
диаметры эллипса 40 |
|||||
Куб 26 |
|
|
|
Сфера 59 |
пояс 66 |
|
||
Многогранник 16 |
|
|
Сферический |
|
||||
— |
правильный 40 |
|
Тело |
16 |
|
|
|
|
Многогранный угол 14 |
|
— вращения 52 |
|
|||||
Начало координат 8 |
|
|
Тетраэдр правильный 41 |
|
||||
Нормаль 99 |
|
|
|
Толщина слоя 98 |
|
|||
Нормальная фигура 99 |
|
Точка касания (сферы и плоскости) 64 |
||||||
Образующая конуса 54 |
57 |
Уравнение плоскости 10 |
|
|||||
— |
усеченного конуса |
— |
сферы 60 |
|
||||
— |
цилиндра 52 |
|
Усеченная пирамида 35 |
|
||||
Объем тела 69 |
|
|
Усеченный конус 57 |
|
||||
Октант 8 |
|
41 |
|
Хорда сферы 59 |
|
|||
Октаэдр правильный |
|
— |
эллипса |
48 |
|
|||
Ордината 8 |
|
|
|
Центр гомотетии 31 |
|
|||
Ось вращения 51 |
|
|
— |
сферы (шара) 59 |
|
|||
— эллипса |
48 |
|
|
— |
эллипса |
48 |
|
|
Парабола 56 |
|
Цилиндр (вращения) 52 |
||
Параллелепипед 25 |
27 |
Шар 59 |
|
|
— |
___наклонный |
Шаровой сегмент 66 |
||
— |
прямой |
26 |
— |
сектор 89 |
— |
прямоугольный 26 |
— |
слой 66 |
|
Параллельное сечение пирамиды 33 |
Эллипс 48 |
|||
УКАЗАТЕЛЬ ПРИМЕНЯЕМЫХ СИМВОЛОВ
а , АВ
"о
а • b , |
АВ |
• CD |
|
—^ |
-—► |
|
|
а II |
ь |
|
|
\ Р > |
Я , |
r J |
|
а = |
(*, |
г/, |
г) |
М (X, 0, |
г) |
v |
|
А£ Ф
А£ Ф
Ф1 а Ф
Ф1 ф. Ф
Ф1 = Ф2
фФ2
Ф1 U Ф2 Фх П Ф2 Фх S Ф2 Фх со Ф2
^0
S .
Но
II _1_
А
(0, Я) <Л£С)
5 д ЛВС
5 б Sn
Со |
to |
V
VАВС
==>
вектор
нулевой вектор
скалярное произведение векторов
векторы а и b коллинеарны
прямоугольный базис
вектор с координатами х, у, z точка М с координатами х, у, г точка А принадлежит фигуре Ф точка А не принадлежит фигуре Ф
фигура Ф1 — подмножество фигуры Ф Фх не является подмножеством Ф фигуры Фг и Ф2 совпадают Ф1 и Ф2 не совпадают объединение фигур Фх и Ф2
пересечение Ф2 и Ф2 Фх и Ф2 конгруэнтны Ф1 и Ф2 подобны
симметрия относительно точки 0 (центра) симметрия относительно прямой 1 (оси)
симметрия относительно плоскости а гомотетия с центром 0 и коэффициентом k
параллельны
перпендикулярны скрещиваются (две прямые)
угол, двугранный угол, трехгранный угол величина угла
окружность с центром 0 и радиусом R плоскость, проходящая через А, В, С площадь треугольника АВС
площадь боковой поверхности (призмы, конуса и т. п.) площадь полной поверхности площадь поверхности, образованной вращением [АВ]
объем тела объем тела вращения треугольника АВС
следует равносильны (эквивалентны)
доказательство закончено
142
ОГЛАВЛЕНИЕ
|
|
Г л а в а |
|
I. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ |
|
|||||||
§ |
1. |
Координаты в е к т о р а |
............................................................................. |
|
между двумя |
векторами по |
3 |
|||||
§ |
2. |
Вычисление |
длины |
вектора и угла |
5 |
|||||||
§ |
3. |
их |
координатам |
..................................................................................... |
|
|
|
Координаты точки . . . |
||||
Прямоугольная система координат. |
7 |
|||||||||||
§ |
4. |
Уравнение |
плоскости |
........................................................................ |
|
|
|
9 |
||||
|
|
Дополнительные задачи ...................................................к главе I |
|
|
12 |
|||||||
|
|
Г л а в а |
II. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. МНОГОГРАННИКИ |
|
||||||||
§ |
5. |
Многогранный угол |
.............................................................................. |
|
|
|
|
14 |
||||
§ |
6. |
Геометрическое т е л о ............................................................................. |
|
|
|
. |
15 |
|||||
§ |
7. |
Многогранник ................................................................................... |
|
|
|
|
|
16 |
||||
§ |
8. |
Призма. |
Прямая призма ................................................................... |
|
|
|
17 |
|||||
§ |
9. |
Изображение призмы ......................................................................... |
|
|
|
|
19 |
|||||
§ |
10. |
Сечения призм ы .......................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
20 |
|||
§ |
И. |
Площадь поверхности п ..............................................................р и зм ы |
|
|
|
23 |
||||||
§ |
12. |
Параллелепипед. Прямой ........................................параллелепипед |
|
25 |
||||||||
§ |
13. |
Пирамида |
............................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
28 |
||
§ |
14. |
Гомотетия пространства......................................................................... |
|
|
|
31 |
||||||
§15. |
Параллельное сечение пирам ........................................................иды |
|
|
33 |
||||||||
§ |
16. |
Усеченная |
пирамида |
......................................................................... |
пирамиды |
и усеченной пирамиды . . |
35 |
|||||
§ |
17. |
Площадь |
поверхности |
36 |
||||||||
§ |
18. |
Площадь ортогональной проекции многоугольника на пло |
38 |
|||||||||
§ |
19. |
скость |
о правильных..................................................................................................... |
многогранниках |
|
|||||||
Понятие |
|
40 |
||||||||||
§ 20. |
Решение задач на вычисление.............................................................. |
|
|
|
42 |
|||||||
|
|
Дополнительные задачи ..............................................к главе II |
|
|
45 |
|||||||
Г Л А В А |
III. |
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ |
|
|||||||||
§ |
21. |
Изображение окружности ....................... Задачи на построение |
48 |
|||||||||
§ 22. |
Поверхность вращения ....................................... |
и тело |
вращ ения |
|
50 |
|||||||
§ |
23. |
Цилиндр вращения. Развертка ...................................... |
ц и л и н д р а |
|
52 |
|||||||
§ |
24. |
Конус вращения. |
Развертка .............................................к о н у с а |
|
54 |
|||||||
§ 25. |
Усеченный |
к о н у с .................................................................................... |
|
|
|
|
|
57 |
||||
§ |
26. |
Сфера и шар. Уравнение ........................................................сф ер ы |
|
|
59 |
|||||||
§ 27. |
Сечение сферы и шара ..................................................плоскостью |
|
60 |
|||||||||
§ 28. |
Изображение сферы |
и .............................................................. |
ш а р а |
|
|
|
61 |
|||||
§ 29. |
Теоремы о больших |
окружностях .......................................с ф е р ы |
|
63 |
||||||||
§ 30. |
Плоскость, |
касательная ........................................................ |
к с ф е р е |
|
|
64 |
||||||
§31. |
Части шара и с ф е р ы ............................................................................... |
к главе |
III |
. . . |
....................... |
66 |
||||||
|
|
Дополнительные задачи |
67 |
|||||||||
|
|
|
|
|
Г л а в а |
|
IV. ОБЪЕМЫ ТЕЛ |
|
|
|||
§ 32. |
Задача об измерении объема ....................................................тела |
|
. |
69г |
||||||||
§ 33. |
Объем прямого параллелепипеда............................................. ...... |
|
73 |
|||||||||
§ 34. |
Объем прямой призмы ......................................................................... |
|
|
|
|
74 |
||||||
§ 35. |
Объем наклонной призмы .................................................................... |
|
|
|
76 |
|||||||
§ 36. |
Объем цилиндра |
..................................................................................... |
|
|
|
|
интеграла. . |
78 |
||||
§37. |
Вычисление объема тела с помощью определенного |
79 |
||||||||||
§ |
38. |
Объем |
пирамиды |
пирамиды.............................................................................. |
|
|
|
81 |
||||
§ 39. |
Объем |
усеченной |
|
|
|
83 |
||||||
§ 40. |
Объем |
конуса |
к....................................................................................о н у с а |
|
|
|
84 |
|||||
§ 41. |
Объем |
усеченного |
|
|
|
85 |
||||||
§ |
42. |
Объем |
шара. Объем шарового .....................................с е г м е н т а |
|
87 |
|||||||
143
$ |
43. |
Объем |
шарового |
сектора .................................................................. |
|
89 |
||
§ |
44. |
Решение задачи на комбинацию тел вращ ения................................ |
|
91 |
||||
|
|
Дополнительные |
задачи к главе IV ............................................. |
|
93 |
|||
|
Г л а в а |
V. |
ПЛОЩАДИ |
ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ |
ВРАЩЕНИЯ |
|
||
^ |
45. |
Понятие о способе введения площади поверхности |
вращения . . |
97 |
||||
■§ |
46. |
Площадь |
поверхности |
вращения о т р е з к а ...................................... |
|
98 |
||
§ 47. |
Площадь |
поверхности |
цилиндра ................................................. |
|
99 |
|||
§ 48. |
Площадь |
поверхности |
конуса .............................................................. |
|
Ю1 |
|||
§ |
49. |
Площадь |
поверхности |
усеченного к о н у са ............................................. |
|
103 |
||
§ |
50. |
Площадь поверхности вращения дуги окружности............................ |
104 |
|||||
§ |
51. |
Площадь |
сферического |
пояса, сегментной поверхности и сфе |
105 |
|||
§ |
52. |
ры ....................................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
Решение задач на комбинацию сферы и многогранника . . . |
108 |
|||||||
|
|
Дополнительные задачи к главе V .......................................................... |
|
112 |
||||
|
|
|
Г л а в а |
VI. ПОВТОРЕНИЕ С ДОПОЛНЕНИЯМИ |
|
|||
|
|
Вопросы для повторения |
|
114 |
||||
|
|
Задачи |
для повторения |
.................................................................... |
|
119 |
||
|
|
Исторический очерк |
|
|
123 |
|||
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
130 |
|
|
Приложение |
............................................................................................... |
|
|
140 |
||
|
|
Предметный указатель |
.......................................................................... |
|
141 |
|||
|
|
Указатель применяемых символов .................................................... |
|
142 |
||||
Владимир Михайлович Клопский, Залман Алтерович Скопец, Михаил Ильич Ягодовский
ГЕОМЕТРИЯ
Пробный учебник для 10 класса средней школы
Редактор И. С. Комиссарова.
Художник обложки Б. Л. Николаев. Художественный редактор Е. Н.Карасик. Технический редактор В. Ф. Коскина. Корректор Р Ю. Грошева.
Сдано в набор 22/XI 1973 г. |
Подписано к печати 10/1V 1974 |
г. 60x907ie* |
Бумага тип. № 2. |
Печ. л. 9,0. |
Уч.-изд. л. 9,41. Тираж 40 тыс. |
экз. З а к а №з |
861. |
Издательство «Просвещение» Государственного Комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Ярославский полиграфкомбинат «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Ярославль, ул.- Свободы, 97. Цена 12 коп.
