книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

Здесь через ^ (^,У-{ ) обозначено

скалярное произведе­

ние вектора У

и вектор-функции

( 0,31;)

LfOXJ=

jM<>Xi)*i

(".SB)

совпадающему с уравнением Беллыана (

пункт

ЭЛ).

Подчеркнем, что переход

к функции

^

по формуле

(12.33)

предполагает

зависимость

j

только

от

I

и

У^

, связь

в форме рекуррентного соотношения, и, наконец,

существование

скалярного произведения

для векторов

и Jli,^).

После;

него допущения при подходе, изложенном

в § 10, не требовалось.

В задаче со связями разного типа такой переход проделать

нельзя, но получить верхнюю оценку решения или само решение

через

функционал

S можно. При это;.;,

вообще

говоря,нз

тре­

буется дифференцируемости

J-^

и функций,

определяющих

сьязи,

по совокупности переменных, множество допустимых

значений V x

или

\ ^

может

состоять

из

изолированных

точек

и т . д .

ными переменными. К ним можно было подходить о позиций

неявней-

зого программирования, так как оощее чиодо переменных

было к о ­

нечным или, во всякой оду чае, счетные.

чаш, в которых

переменные

состояния S. в управления

tL за ­

висят оС непрерывного аргумента 4,

•

Первый путь,

который

кажется

естественным

овести

этот

мер, попытатьоя аппроксимировать непрерывные функции У.

(4

) м

К.

) ступенчатыми

и

или представить каждую иэ них

в форме разложения по системе

заранее выбранных функцией. В

этом случае переменными в задаче окажутся последовательности

коэффициентов

этих

рядов.

Не

отвергая

этот

подход

"о

порога", нужно отметить,

что

•

здесь наряду с

оптимизацией возникает проодема точности аппрок­

симации. Кроме

того, и это очень важно, можно упустить некоторые

J

ляет

взглянуть

на необходимые а достаточные у еловая оптималь­

ности

с единой

точки зрения, а гневное, позволяет лытаяелю

негко

получить

такие условия

для многих вариантов задач, кото­

рые непосредственно в книге

не рассмотрены.

§ 18. Простейшая ваодерЕнетрачеокая 8адачв

ори уоловии

о

т

Подставим е ю выражение в (13.4)

и подучим вариации функцио­

нала I на множестве вариации '^f/A

допуотимнк по уоловиян

(13.2)

Здеоь черва jl

обоаначеяо

Так как вариация

проводилась в <5- ожреетноотн

произвольной

точки

- ^ £ £ Ь , Т ] , то необходимое уоловне

оптимальности

означает,

что подинтегральное выражение

функционала о

для почтя

вовх

максимально

ао У

на множестве Ц

такой, что

Sup

где

- сколь

угодно мало.

Подчеркнем,

что

условие

максимума

на L

/

I

•

^

(,

"ЗУ

/ ь г . - у '

^

(13.8)

Если функции

J0

и

У

содержат некоторый

параметр

О.

не

зависящий

от

^

i

и

условия оптимальности

по. атому

парамет­

ру

примут

вид

-

7"_^

Ц fe

*

о,

(

1 М

)

где, как

обычно,

QQ~

- допустимая

вариация

параметра.

(Докажите

это

самостоятельно).

Ясно, что полученные условия оптимальности страдают сущест­

венными недостатками: во-первых, они справедливы

лишь для

дваж­

ды дифференцируемых

по

^

функций У0

и J"

, во-вторых

множество

L,

представляет собой узкий

"шнур",

окружапций

оп­

тимальную траекторию. Это означает, что

удовлетворять

условиям

оптимальности

могут

несколько претендентов,

L С. Z).

Наконец, абсолютный максимум может достигаться и на кусочно-

непрерывной функции, а такие функции мы вообще исключили из

множества

допустимых

решений.

Оказывается,

однако,

что для данной задачи

перечисленных

не­

13.2. Необходимые

и достаточные условия

оптимальности

Наметим такую схему

получения условий оптимальности:

I .

Проведем расширение изопериметрической

запачи, очень

на­

поминающее переход от задачи нелинейного программирования к

за ­

дача

нелинейного программирования в среднем

( § 8) .

Оптимальное значение

функционала 1р

в расширенной задаче

не

меньше, чем I (

</*

) в

исходной.

2. Заметим,

что решение

исходной

задачи среди множества

до­

нала I достигается в этом случав

на последовательности допусти­

мых решений

\£fn. j

i предел которой

не является допустимым.

Мы покажем,

что для изопериметрической

задачи всегда

можно най­

ти последовательность

fe/*-J <л а

которой значение I

стреми­

лось

бы к оптимальному

значению I

, а

величина функционала

стремилась

к нулю.

3.

Если

иэопериметрическая

задача имеет решение в классе

допустимых, т . е .. кусочно-непрерывных ограниченных функций,то

оно

являетоя решением расширенной задачи, и

£

{у

V -

efyJ

( х з . ю

Перейдем к реализации нсмеченной схемы,

А. Расширенная

изопериметрическая задача

Пусть для каждого момента

~£

вектор £f

ft J принадлежит

некоторому

замкнутому ограниченному

множеству

Уу

Расшире­

нием задачи ( 1 3 . I ) ,

(13.2)_будем называть задачу:

S"pTfi*S«p/j/JtyjPfyV^

( i 3 . i i )

P/v./J о

|/

при условиях^

v

%

- J

JJ&,#JP&,Oc/yc/4*0,

(13.12)

/У

J

P

&

^ J

^

- 'у

(13.13)

для

всех

В этой задаче находят такое распределение

вектора V

опрепеленное

на множестве

лля которого

интеграл

от сред­

него

значения .

был бы максимален, а интеграл от

среднего

значения

у

равен нулю

(сравните с § 8 ) .

Если при каждом /

некоторое

распрепеление

сосредоточено

в одной точкэ

множества

%(4), то есть

/ ? (&^^

$(#№-#4.

то, благодаря

свойствам

функции Дирака,

интегралы-^fpJiiJp(p)

бупут совпадать с

3(^^соответственно.

Таким образом,

может и не быть $

- функцией. Так что множество Д расши­

ренной задачи тире,

чем множество допустимых решений в задаче

исходной, а значит

величина

Б. Условия оптимальности задачи

( 1 3 . I I *

13.14)

Пусть

вектор-функция

J-

т

-

мерная

Введем в

пространстве £

€

/ ( ? М * '

множество

, зависящее

ва

. Причем для любого

значения

П1

- мерного

вектора

7?

оптимальное решение

соответствует

максимуму

£ в

, т . е .

границе (Го

. Любой элемент границы выпуклой оболочки множе­

ства

в

( ГП

мерном пространстве может быть получен как

среднее

не более,

чем из (

t / )-го элемента

Z - 7 ,

то есть

распределение

Р

^^/Усосредоточено

не более,

чем в ( rr>t /

точке ^ х , ^ )

для каждого

~£

.

Значит,

можно перейти

от за ­

дачи

( 1 3 . I I

13.14) к равносильной

ей

Z £ М - l -

( i 3 . i ^ )

К'о

r

Разрешим условие (13.13а)

относительно ^0(4:)ъ подставим в

(13.Ца)

и

(I3.I^aJ.

Получим

Тр =

/12£ШГ*Ф+1(4,Ш-1Ш№К

Булегл называть базовыми

те

значения

tj'^ , для которых

f ^ j > 0 .

эти

значения для каждого

£

образуют множество Vg$(\£.

Используем

для расширенной

запачи

(13.11,3), (13.1^в) необходимые

условия

оптимальности п . 1 3 . 1 .

т

Функция

примет вид

[ettfi.s;-

eu&sjjv&io,

( i 3 . i 5 )

где

функция

@ соответствует исходной

изопериметрической за­

даче

( 1 3 . I I

+ 13.14).

Из (13.15) следует

у/J

=

"Р"

Я * V/

(13.16)

pfrp.jj

tt^T.e.j/^y/

(13Л7)

Так как хотя бы одно значение ^^(4J строго

положительно, бу­

дем

считать,

что

О ,

а значит

№ J

-

базовое управ­

ление. Тогда

условия

(13.16),

(13.17) приводят

к

форму-^ровкв

необходимых

условий

оптимальности расширенной

задачи: