лекції по мат.логике / L14-rec-f

Лекцiя • 14 з математично¨ логiки та теорi¨ множин Для студентiв-прикладникiв ММФ ХНУ 1 курсу

3 грудня 2009 року

1 Обчислюванiсть. Рекурсивнi функцi¨

1.1 Загальнi слова про обчислюванiсть, алгоритми та тези 1

Мова йтиме про функцi¨, чи¨ аргументи належать розширеному натуральному ряду N[f0g =

N. Нас цiкавитимусть функцi¨, значення яких ми можемо обчислити в тому рзумiннi, що ¹ ал-

горитм, застосувавши який до аргументiв ми через певну кiлькiсть крокiв одержимо значення функцi¨. Алгоритм розумi¹мо iнту¨тивно. Такi функцi¨ називатимемо обчислюваними. Алгоритмiв (вважа¹мо, що ¨х можна записати словами) злiченна кiлькiсть, а характеристичних функцiй пiдмножин множини N стiльки ж, скiльки пiдмножин у N бiльше нiж злiченна

кiлькiсть. Тому ¹ не обчислюванi функцi¨.

Формальнi уточнення iнту¨тивного поняття обчиcлюванiсть та алгоритм запропонованi в 1936 роцi (Гьодель, Ербран, Чьорч, Клiнi, Тьюрiнг, ...) Пiзнiше сво¨ уточнення запропонували Пост, Марков, Шепердсон, Стерджiс,... Наш вибiр того чи iншого пiдходу до обчислюваностi суб'¹ктивний, але це не важливо, оскiльки ¹ дослiдження, якi показують рiвносильнiсть усiх пiдходiв. Всi пiдходи закiнчуються тезою, яка стверджу¹,

Будь-який iнту¨тивний, неформальний алгоритм може бути модельований в запропонованому пiдходi.

Моделювання означа¹ замiну справжнiх предметiв, з якими ма¹ справу iнту¨тивний алгоритм, на символи, з якими ма¹ справу пiдхiд, а найпростiшi дi¨ iнту¨тивного алгоритма над предметами, за мiняються на найпростiшi переходи вiд одних символiв до iнших. В такому мо вному оточеннi часто вжива¹ться також слово кодування . Кодування означа¹ перезапис iнформацi¨ з метою зручностi обробiтку, а в каналах зв'зку також для захисту вiд випадкового пошкодження. Тепер можна сказати уже досить складне речення при моделюваннi справжнього алгоритма початковi данi кодуються. Для прикладу, коли справжнiй алгоритм поляга¹ в тому, щоб двi корови зiгнати з трьома коровами в одну череду, то у вiдповiднiй машинi Тьюрiнга двi корови закодуються трьома одиницями, а три корови чотирма одиницями. А резултьтатом виконання машини Тьюрiнга, яка моделю¹ наш алгорим, буде шусть одиниць на стрiчцi i машина Тьюрiнга знаходиться у кiнцевому станi.

Звичайно згадана теза носить iм'я того математика, який запропонував пiдхiд. Таким чи- ном, якщо пiдхiд (моделювання машинами Тьюрiнга) запропонував Тьюрiнг, то згадана теза уде звучати так

Будь-який iнту¨тивний, неформальний алгоритм може бути модельований на машинi Тьюрiнга,

i називатися тезою Тьюрiнга, Вiвдповiдно, ¹ теза Чьорча, Поста, ...

Свiдченнями на користь прийняття тези на вiру, ¹ такi

1.Рiзнi незалежнi дослiдники запропонували незалежнi пiдходи, якi виявилися рiвносильними все, що можна зробити одним пiдходм, можна зробити iншими.

1Послiдовне навчальне викладення обчислюваностi можна знайти в книзi К.Катленд Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. М.:Мир, 1983

1

2.Для дуже багатьох iнту¨тивно обчилюваних функцiй доведена ¨х формальна обчислюванiсть, уже доведено, що дуже багато iнту¨тивних алгоритмiв м оделюються запропонованими пiдходами.

3.Нiхто не зумiв знайти функцiю, яка була б обчислювана в iнту¨тивному розумiннi, i яку не можна було б обчилити на машинi Тьюрiнга, чи за допомогою iншого (рiвносильного) формального пiдходу, нiхто не зумiв придумати iнту¨тивно здiйсненний алгоритм, який не можна було б здiйснити на тiй чи iншiй моделi алгоритма.

Для математика з досвiдом роботи з абгоритмами ¹ додаткове свiдоцтво на кор исть прийняття тези про обчислюванiсть, це його власний досвiд переведення iнту¨тивного алгоритма у формальний. Для математика без досвiду роботи у царинi алгоритмiв прийняття чи не прийняття тези залежить вiд того, наскiльки вiд може довiритися досвiду iнших там, де його власний досвiд вiдсутнiй чи просто малий.

Пiдхiд Тьюрiнга ми уже розiбрали. Переходимо до iншого пiдходу.

1.2Визначення частково рекурсивних, загально рекурсивних та примiтивно рекурсивних функцiй. Теза Чорча.

Частково рекурсивнi функцi¨ визначаються iндуктивно цi функцi¨ будуються по кроках, 1-й, 2-й та т.п.

База iндукцi¨. Вводимо три найпростiшi функцi¨, i вважа¹мо ¨х такими, що побудованi на першому кроцi.

Перша функцiя s(x) = x+1 знаходження наступного числа або плюс один . Це функцiя вiд однi¹¨ змiнно¨. s(5) = 6; s(0) = 1:

Друга функцiя тотожний нуль. Це нульмiсна функцiя, або видiлений елемент в N [ f0g. I третя функцiя проектування2

Imn (x1; x2; : : : ; xn) = xm; 1 m n:

Ця функцiя вiд кiлькох змiнних, вона вибира¹ один аргумент iз списка. Тут можна вважати, що ма¹мо нескiнченно багато функцiй (ма¹мо два параметри iз скiлькох аргументiв вибира¹мо, i який саме аргумент. Задавши цi два параметри одержу¹мо одну функцiю).

I25(2; 3; 0; 7; 1) = 3:

Iнту¨тивно, згаданi три функцi¨ ¹ обчислюваними. Звернемо увагу, що всi три найпростiшi функцi¨ ¹ всюди визначенi, ми ¨х можемо пiдрахувати при будь-яких наченнях аргумнтiв.

Iндуктивне припущення. Припуска¹мо, що ми вже зна¹мо, якi функцi¨ одержанi на n ìó (n 2 N) êðîöi.

Iндуктивний перехiд. На n+1 ìó (n 2 N) кроцi одежржу¹мо функцi¨ iз тих, що побудованi

на попреднiх кроках за допомогою трьох операторiв (правил одержання нових функцiй iз старих) оператора супрпозицi¨, оператора примiтивно¨ рекурсi¨, та оператора мiнiмiзацi¨. Що це за оператори поясним нижче.

Таким чином, кожна частково рекурсивна функцiя з'явилася на цiлком певному кроцi. Тут ма¹ться на увазi функцiя як правило ообчислення. I рiзнi правила (отже, рiзнi функцi¨) можуть давати при всiх значеннях змiнних один i той же результат.

Перший оператор оператор суперпозицi¨.

Оператор C суперпозицi¨ можна застосувати до n + 1 ¹¨ функцi¨ f; gi(i = 1; 2; : : : n) i одержати функцiю h = C(f; g1; g2; : : : ; gn) наступним чином: якщо ма¹мо

f(y1; y2; : : : ; yn); gi(x1; x2; : : : ; xm);

2ˆ¨ називають також функцi¹ю вибору, селективною функцi¹ю

2

òî

h(x1; x2; : : : ; xm) = f(g1(x1; x2; : : : ; xm); g2(x1; x2; : : : ; xm); : : : ; gn(x1; x2; : : : ; xm)):

Тут обов'язково перша функцiя ма¹ n аргументiв, за кiлькiстю решти функцiй. Отже коли

n = 2, то перша функцiя f(x1; x2) повинна мати 2 аргументи, а двi функцi¨ g1; g2 можуть бути

вiд будь-яко¨ кiлькостi будь-яких аргументiв. Щоб вони мали один i той же набiр аргументiв, можна вводити фiктивнi змiннi. Для прикладу, вiзьмемо

f(x1; x2) = 2x1 + 3x2; g1 = 2x1 + y; g2 = u3 + v4 + 5:

Знову звернемо увагу, що коли оператор суперпозицi¨ застосову¹ться до всюди визначених функцiй, то вiн да¹ всюди визначену функцiю. В iнших роздiлах математики, замiсть оператра суперпозицi¨ говорять про композицiю функцiй, про складнi функцi¨, функцi¨ вiд функцiй.

Оскiльки функцiя 0 ма¹ нуль аргументiв, то C(0) = 0:

В курсi математичного аналiзу розглядають функцiю 0(x) ¨¨ ãðàôiêîì ¹ âiñü OX, функцiю 0(x; y) вона зада¹ площину OXY . В такому пiдходi може виникнути непри¹мна ситуацiя, коли замiсть змiнних у функцiю 0(x; y) потрiбно пiдставити всюди невизначенi функцi¨.

В нашому пiдходi такi ситуацi¨ забороненi у функцi¨ 0 нема¹ аргументiв. Переходимо до наступного оператора оператора примiтивно¨ рекурсi¨ Пр.

Оператор примiтивно¨ рекурсi¨3 (познача¹мо його Пр) можна застосувати до двох функцiй

(x1; x2; : : : xn); (x1; x2; : : : xn; xn+1; xn+2) i одержати функцiю f(x1; x2; : : : xn; xn+1) за допомо-

гою двох правил. Перше правило (воно повинно нагадуати базу iндуктивного визначення)

f((x1; x2; : : : xn; 0) = (x1; x2; : : : xn)

i друге правило (воно повинно нагадувати iндуктивний перехiд)

f((x1; x2; : : : xn; y + 1) = (x1; x2; : : : xn; y; f((x1; x2; : : : xn; y))

Звернемо увагу, що вище n означало кiлькiсть змiнних. Ця кiлькiсть може бути нулем. Отже функцiя може бути нульмiсною. Тодi функцiя ма¹ бути двомiсною (змiннi можуть

бути фiктивнi4), i за допомогою оператора суперпозицi¨ одержу¹мо 1-мiсну функцiю змiнна може бути фiктивною.

Для прикладу, застосу¹мо оператор примiтивно¨ рекурсi¨ до функцiй

(x1) = x1 = I11(x1); (x1; x2; x3) = x3 + 1 = s(x3):

Функцiя вiд однi¹¨ змiнно¨, функцiя вiд трьох змiнних, отже буду¹мо функцiю f(x1; x2) âiä

äâîõ çìiííèõ:

f(x1; 0) = x1; f(x1; 1) = f(x1; 0) + 1 = x1 + 1;

f(x1; 2) = f(x1; 1) + 1 = x1 + 2; f(x1; 3) = f(x1; 2) + 1 = x1 + 3; : : :

Вгаду¹мо, f(x1; x2) = x1 +x2: Вгадане можна обгрунтувати методом матiндукцi¨. Таким чином

3

За допомогою оператора примiтивно¨ рекурсi¨ можна визначити функцi¨ 0(x); 0(x; y); : : :.

Так якщо взяти = 0 нульмiсна функцiя, i (x1; x2) = x1; то результатом роботи оператора примiтивно¨ рекурсi¨ буде функцiя 0(x):

Сталi функцi¨ вiд однi¹¨ змiнно¨ (отже ця змiнна ¹ фiктивною) визначаються правилом: f(y + 1) = f(y): Тому для визначення стало¨ функцi¨ можна брати функцi¹ю кiлькаразо-

то одержимо сталу функцiю f(x) = 4:

Застосу¹мо оператор примiтивно¨ рекурсi¨ до функцiй

(x1) = 0(x1); (x1; x2; x3) = x1 + x3:

Вгаду¹мо, f(x1; x2) = x1 x2: Вгадане можна обгрунтувати методом матiндукцi¨. Таким чином

Прямою перевiркою перекону¹мося, що застосувавши оператора примiтивно¨ рекурсi¨ до функцiй (x1) = 0 = 0(x1); (x1; x2; x3) = s(0); одержимо функцiю

Застосувавши оператор примiтивно¨ рекурсi¨ до функцi¨ (x1) = 1 = s(0(x1)); та функцi¨ (x1; x2; x3) = f2(x3); що визначена формулою (4) одержимо функцiю

Оператор мiнiмiзацi¨ застосовують до однi¹¨ функцi¨ g(x1; x2; : : : xn; xn+1) i одержують функцiю f(x1; x2; : : : xn; xn+1). Значення y цi¹¨ функцi¨ y = f(x1; x2; : : : ; xn; xn+1) визнача¹ться як

розв'язок рiвняння

g(x1; x2; : : : xn; y) = xn+1

4

Серед усiх розв'язкiв шука¹мо найменший. Розв'язок шука¹мо пiдставляючи по черзi замiсть y числа 0; 1; 2; : : :. Перший знайдений розв'язок i буде потрiбним. Застосування цього оператора

повинно нагадувати знаходження обернено¨ функцi¨.

Для прикладу вiзьмемо n = 1 i застосу¹мо оператор мiнiмiзацi¨ до g(x) = x + 1: Знаходимо значення y = f(0) g(y) = 0; тобто x + 1 = 0: Оскiльки розв'язку це рiвняння

не ма¹, то значення f(0) нема¹, функцiя f не изначена в точцi 0. А для x 1 f(x) = x 1:

Iз цих функцiй та функцi¨ x1 + x2 за допомогою оператора суперпозицi¨ одержу¹мо функцiю

Розглянемо сталу функцiю g(x) = 5: Щоб знайти значення y = f(0) ми повинны розв'язати рiвняння g(x) = 0; тобто 5=0. Це рiвняння не ма¹ розв'язку, отже f(0) не визначено. Також не визначено f(1); f(2); f(3); f(4); f(x) êîëè x > 5: Знайдемо f(5). Для цього розв'язу¹мо рiв-

няння 5 = 5: Ми ма¹мо вельми точну вказiвку, як саме шукати розв'язок потрiбно по черзi

пiдставляти замiсть змiнно¨ числа 0, 1, 2, ... Оскiльки 5=5 завжди, то 5=5 i при першiй же перевiрцi коли змiнна дорiвню¹ 0. Отже y = 0 i f(5) = 0:

Приклади показують, що оператор мiнiмiзацi¨ сутт¹во вiдрiзня¹ться вiд перших двох суперпозицi¨ та примiтивно¨ рекурсi¨ тим, що вiн може давати часткову, не всюди визначену функцiю. Якщо при побудовi функцi¨ дозволене використання всiх трьох операторiв, але функцiю одержали всюду визначену, то цю функцiю назають загально рекурсивною. Якщо ж про область визначення нiчого невiдомо, або вiдомо, що функцiя не всюди визначена, то ця функцiя частково рекурсивна. Якщо при побудовi функцi¨ використовувалося лише два операторисуперпозицi¨ i i примiтивно¨ рекурсi¨, то таку функцiю називають примiтивно рекурсивною. Примiтивно рекурсивна функця завжди всюди визначена.

В мовнiй практицi тонкощами слововжитку часто нехтують i кажуть про рекурсивнi функцi¨ а про якi саме, або видно iз мовного оточення (контексту) або це не ма¹ значення.

Теза Чьорча: Всi обчислюванi в iнту¨тивному розумiннi функцi¨ ¹ частково рекурсивними. Будемо користуватися тим, що всi функцi¨ на розширеному натуральному рядi, якi можна

задати арифметичними виразами в шкiльному розумiннi, ¹ рекурсивними.

Пiсля того, як ми вказали два пiдходи до формалiзацi¨ iнту¨тивно¨ обчислюваностi, i вказали двi тези Тьюрiнкга i Чорча, можна говорити просто про обчислюванi функцi¨ а чи вони обчислюванi на машинi Тюрiнкга, чи вони ¹ частково рекурсивними функцiями, чи для них ¹ по iншому вказаний алгоритм обчислення, все це не ма¹ принципового значення.

5

1.3 Перераховнi множини

Область значень обчислювано¨ функцi¨ назива¹ться перераховною множиною. Якщо перераховна множина M N ¹ множиною всiх значень обчислювано¨ функцi¨ f, то кажуть, що M

перерахову¹ться функцi¹ю f.

Множина всiх натуральних чисел ¹ перераховною множиною, тому що це область значень обчислювано¨ функцi¨ s(x) = x + 1: Весь розширений натуральний ряд ¹ перераховною мно-

жиною, оскiльки це область значень функцi¨ f(x) = x: В попередньому роздiлi ми розглянули

частково рекурсивну функцiю f(x), у яко¨ область визначення склада¹ться лише iз 5, а область

значень, лише iз 0. Отже множина, що склада¹ться лише iз 0, ¹ перераховною. Суперпозицiя цi¹¨ фукнцi¨ з собою f((f(x)) ма¹ порожню область визачення i порожню область значень.

Отже порожня множина перераховна. Область визначення функцi¨ s(s(s(f(x)))) склада¹ться

лише iз 5, а область значень лише iз 3.

Звiдси можна побачити, що будь-яка одноелементна пiдножина розширеного натурального ряду ¹ перераховною множиною.

Наявнiсть загально рекрсивних функцiй fev; fodd доводить, що множина парних i множина

непарних чисел ¹ перераховними.

Доведемо, що перетин i об'¹днання двох перераховних множин ¹ перераховними множинами. Спочатку доведемо перше.

Терема. Перетин двох перераховних множини ¹ перераховною множиною.

Доведення. Нехай множини A; B N ¹ перераховними i перераховуються вони функцiями

u(x); v(x) вiдповiдно, тобто A ¹ множиною значень функцi¨ u(x) à B ¹ множиною значень функцi¨ v(x). Позачимо через v 1(x) функцiю, яка одержу¹ться iз функцi¨ v(x) застосуванням оператора мiнiмiзацi¨. Таким чином v(v 1(x) = x; ÿêùî x належить областi значень функцi¨ v(x). I функцiя v 1(x) не визначена в точцi x, ÿêùî x не належить областi значень функцi¨

v(x).

Вона ¹ обчислюваною, оскiльки ¹ композицi¹ю обчислюваних функцiй.

ßêùî y 2 A \ B, òî v(v 1(y) = y; (за визначенням функцi¨ v 1(x) )i y = u(x) для деякого x (за визначенням областi значень функцi¨ u). I для так вибраного x áóäå

w(x) = v(v 1(u(x))) = v(v 1(y) = y:

Ми довели, що коли y 2 A \ B, òî y належить обласстi значень функцi¨. Якщо число w(x) визначене, то

Лiва частина рiвностi (9) показу¹, що область значень функцi¨ w мiститься в B. А права частина рiвностi (9) показу¹, що область значень функцi¨ w мiститься в A. Отже область значень функцi¨ w мiститься в перетинi A \ B:

Доведення закiнчене.

Доведемо, що об'¹днання перераховних множин ¹ перераховною множиною. З огляду на важливiсть твердження сформулю¹мо його у вигляд теореми.

Теорема. Об'¹днання двох перерховних множин ¹ перераховна множина.

Доведення. Нехай множини A; B N ¹ перераховними i перераховуються вони функцiями u(x); v(x) вiдповiдно, тобто A ¹ множиною значень функцi¨ u(x) à B ¹ множиною значень

функцi¨ v(x).

Користу¹мося тим, що функцi¨

6

¹ рекурсивними це доведене вище. ля бiльшо¨ наочностi будемо використовувати табли- чне задання функцi¨ двома рядками: у верхньому рядку пишемо значення аргумента, а в нижньому пишемо значення функцi¨.

Застосову¹мо оператор примiтивно¨ рекурсi¨ до функцiй (x1) = 0 = 0(x1); (x1; x2; x3) = u(x3): Одержану функцiю позначимо через u1. Таким чином

областю значень яко¨ ¹ A [ B.

Теоретико-множинна рiзниця перераховних множин не обов'зково перераховна множина. Доведення закiнчене.

1.4 Обчислюванi предикати.

Предикат P (x1; x2; : : : ; xn) з вiльними змiнними x1; x2; : : : ; xn називають обчислюваним, коли

обчислюваною ¹ функцiя характеристична функцiя областi iстиностi цього предиката

f(x1; x2; : : : ; xn) = 1; ÿêùî P (x1; x2; : : : ; xn) = 1; 0; ÿêùî P (x1; x2; : : : ; xn) = 0:

7

Кажуть, що предикат P (x1; x2; : : : ; xn) обчислю¹ться функцi¹ю f

Наведемо приклади. Одномiсний предикат z = 0 обчилюваний, вiн обчислються функцi¹ю

Двомiсний предикат x = y обчилюваний, вiн обчислються функцi¹ю

g(x; y) = f((x y) + (y x));

де функцiю f взяли iз попереднього прикладу.

Одномiсний предикат 9x(2x = y) обчиcлюваний, вiн обчислються функцi¹ю f3(y) (äèâ.

формулу (5))

Будемо вважати очевидним, що коли предикат P обчислю¹ться функцi¹ю f, предикат Q обчислю¹ться функцi¹ю g, то предикат P ^ Q обчислю¹ться функцi¹ю f g, а предикат P _ Q обчслю¹ться функцi¹ю f + g fg:

Множина M назива¹ться обчислюваною, коли обчислюваним ¹ предикат x 2 M:

1.5 Конструктивний напрям в математицi

Вище вiдмiчено, що iснують необчислюванi функцi¨, предикати, множини. так ми уявля¹мо, що в кожнiй непорожнiй множинi можна вибрати один елемент, але алгоритма, як вибирати цей елемент, нема¹. Виника¹ питання, а якi твердження в математицi можна обгрунтувати, використовуючи лише тi засоби, якi забезпечуються вiдповiдними алгоритмами. Напрям математики, в якому всi теореми проходять тестування цим питанням, назива¹ться конструктивним. Для математика, який сповiду¹ конструктивний напрям, функцiя

на множинi дiйсних чисел не iсну¹, тому що нема¹ алгоритма, який би дозволив перевiрити

задане дiйснеp число ¹ нулем чи нi.

Число 2 iсну¹, тому що можна вказати алгоритм послiдовно¨ побудови цифр в його десятковому записi. Взагалi, дiйснi числа з конструктивно¨ точки зору це алгоритми, що дозволяють знайти будь-яку (скiнченну!) множину цифр в десятковому записi.

Увесь конструктивний напрям не однорiдний вiн роздiля¹ться на двi течi¨. Одна вимага¹ точного формулювання поняття алгоритм. Це так звана конструктивна математика. Основоположниками напрямку можна вважати творцiв частково рекурсивних функцiй.

Друга течiя користу¹ться iнту¨тивним розумiнням поняття алгоритм. Це так званий iнту- ¨цiонiзм5. Вiдлiк часу життя iнту¨тивiзму почина¹ться з 1907 року, з першо¨ роботи Брауера (Brouwer L.E.J ) Одне з положень Брауера каже, що математика повинна складатися iз iнту¨- тивних конструкцiй та iнту¨тивних мiркувань, що грунтуються на змiстi цих конструкцiй, а не в формальних доведеннях iз формально прийнятих аксiом за формально визначеними правилами. Обов'язкова вiдмова вiд формальних доведень за формальними правилами iз вказаних аксiом не вимага¹ться. Формалiзм в iнту¨цiонiзмi вважа¹ться вельми зручним i корисним для економi¨ часу та роботи, для зручностi. Але завжди при цьому вимага¹ться наявнiсть можливостi повернутися до здорового глузду. До того ж, iнту¨цiонiзм ма¹ розвинену формалiзацiю сво¹¨ лгiки.

Найважливiшою вiдмiною класично¨ формально¨ математики вiд iнту¨цiонiзму поляга¹ у вiдношеннi до закону виключеного третього. З точки зору класично¨ математики одне iз речень

5Не плутати з фiлософськиим напрямком iнту¨тивiзмом, який в процесi пiзнання нада¹ перевагу iнту¨цi¨ перед науковим, логiчним пiзнанням

8

Я перестав бити свого батька

Неправда, що я перестав бити свого батька

обов'язково правильне. З точки зору iнту¨цiонiзму обидва висловлювання можуть бути хибними. В iнту¨цiонiзмi закон виключеного третьго не визна¹ться.

Коли в роботi обмежуватися лише перераховними множинами, то варто мати на уазi, що нами доведено перераховнiсть

порожньо¨ множини;

одноелементно¨ множини;

множини всiх натуральних чисел;

множини парних чисел;

множини непарних чисел;

перетину перераховних множин;

об'¹днання перераховних множин.

9

Покажчик

алгоритм, 1 iнту¨тивний, 1 неформальний, 1

фукнцiя характеристична, 1

фунцiя проектування, 2

функцiя, 1

частково рекурсивна, 2 найпростiша, 2 обчислювана, 1 примiтивно рекурсивна, 2 селективна, 2 тотожний нуль, 2 вибору, 2 загально рекурсивна, 2 значення, 1

знаходження наступного числа, 2 машина

Тьюрiнга, 1 множини

перераховнi, 6 моделювання, 1 оператор, 2

мiнiмiзацi¨, 2 приiтивно¨ рекурсi¨, 2 примiтивно¨ рекурсi¨, 3 суперпозицi¨, 2

предикат ðÿäобчислюваний, 8

розширений натуральний, 1 схема

примiтивно¨ ркурсi¨, 3 òåçàЧорча, 5

Òüþðiíãà, 1 çìiííà

фiктивна, 3

10