лекції по мат.логике / L12-pred-proof

Лекцiя • 12 з математично¨ логiки та теорi¨ множин Для студентiв-прикладникiв ММФ ХНУ 1 курсу 19 листопада 2009 року

Логiка предикатiв першого порядку.

1 Синтаксис логiки предикатiв

1.1Алфавiт i iмена двозначно¨ логiки предикатiв першого порядкутеорi¨ предикатiв.

Логiка предикатiв ма¹ справу з iменами, якi нiчого не означають. Надання iменам якихось вiдповiдникiв (¨х називають денотатами) це уже iнтерпретацiя вiдповiдного утворення, вiдповiдно¨ теорi¨, чи вiдповiдно¨ теоретично¨ чистеми. Вивчення позбавлених будь-якого змiсту iмен та ¨х перетворень, вивчення неiснуючих речей в роки Радянського Союзу називали схоластикою i вiдмовлялися надавати таким дослiдженням статус наукових це псевдонаука. Пiдкреслимо, схоластика слово з вiдверто негативним змiстом.

Справдi, легко уявити, щолюдина iз практичним розумом скептично вiднесеться до розмiрковувань про неiснуючi предмети, порожнi множини, добутки вiдсутнiх множинкiв та подiбне. Однак практика такi речi використову¹. Для прикладу, у видавнiчiй системi Latex використовуються комнди

\rule{0pt}{20pt} \rule{20pt}{0pt}

Обидвi команди малюють чорнi неiснуючi прямокутники. Перша малю¹ прямокутник заввишки 20 пунктiв i завширшки 0, а друга малю¹ чорний прмокутник завширшки 20 i заввишки 20 пунктiв 1.

Доведення того, що будь-якi двi порожнi множини рiвнi ¹ схоластикою.

Доведення того, що для будь-яко¨ множини ¹ множина, що ма¹ бiльшу потужнiсть це схоластика. Мiркування про те, чи iсну¹ функцiя, що ставить у вiдповiднiсть кожнiй непорожнiй множинi ¨¨ елемент це схоластика.

Вся логiка це схоластика.

Демонстрацiя парадоксiв правильних, але важких для сприйняття мiркувань, та софiзмiв мiркувань, в яких навмисно зроблена помилка, дають добре пiдгрунтя для негативного вiдношення до схоластики.

На сьогоднi обчислювальнi машини працюють iз символами, не переймаючись гризотою щодо ¨х вiдповiдникiв, ¨х денотатiв. Так що сьогоднi логiка уже не посто наука, а навiть прикладна наука.

Iмена будуються iз символiв. Так що при побудовi певно¨ теорi¨ ми повиннi мати сукупнiсть символiв, з яких будемо будувати iмена. В такому мовному оточеннi сукупнiсть назива¹ться алфавiтом. Iмена це певнi послiдовностi елементiв алфавiту.

Вiзьмемо послiдовнiсть x < y: ця послiдовнiсть, цей запис не виклика¹ обурення запис як запис, написано правильно. Послiдовнiсть ))((x++ сприйма¹ться як дурниця, як неправильний запис. Повернемося до x < y: Коли ми вважа¹мо, що x; y це певнi iменна змiнних множин

то це уже iнтерпретацiя, а коли вважа¹мо, що x; y це iмена змiнник натуральних чисел, то це

уже iнша iнтерпретацiя.

Сказане закликане обгрунтувати iснуючу практику всi логiчнi ослiдження дiлити на тi, в яких дослiджуються правильнi записи (цю частину логiки називають синтаксисом), i дослiдження, що стосуютьсся iнтепретацiй, вiдповiдностi написаного дiйсностi (цю частину логiки називають семантикою).

1Пункт видавнича одиниця довжини, дорiвню¹ приблизно 0,35 мiлiметра

1

Почнемо iз синтаксису, а синтаксис почина¹ться iз заданого алфавiту. Алфавiт мiстить символи

для позначення логiчних зв'язок,ванторiв та логiчних констант (сталих);

для позначення змiнних та констант;

предикатiв задано¨ арностi (мiсностi);

функцiональнi змiннi (задано¨ арностi);

допомiжнi символи;

металогiчнi символи символи, якi не використовуються для побудови виразiв чи формул.

Звичайно алфавiт також мiстить

особливий 2-мiсний предикатний символ = .

Ëîãi÷íi çâ'ÿçêè _; ^; :; ); ,, логiчнi константи 0, 1 ми уже вивчали. При iнтепретацiях

вони ознчають певнi сполучники природно¨ мови, а 0 та 1 означають оцiнку вiдповiдностi сказаного до дiйсностi. Логiних констант може бути досить багато наприклад, можна позначати оцiнки невiдомо , практично так , можливо, що так , вельми ймовiрно, що так ,обов'язково так та подiбне. Логiки з рiзними набрами логiчних констант мають рiзнi назвидвозначна, модальна, деонтична, ...

При iнтепретацiях змiннi це змiннi i сталi в певнiй алгебра¨чнiй системi. Щоб пiдкреслити це, змiннi називають предметними змiнними. В логiцi першого порядку змiнних предикатiв нема¹. Вони з'являються в логiцi другого порядку. Сталi iнтепретуються як конкретнi, точно вказанi елементи носiя алгебра¨чно¨ системи.

При iнтепретацiях предикатнi символи означають конкретнi предикати, а функцiональнi символи означають назви конкретних операцiй (в тому числу нульмiсних) в певнiй алгебра¨- чнiй системi. Нульмiснi предикати iнтепретуютсья як логiчнi константи, а нульмiснi функцiональнi символи як видiленi елементи носiя.

До допомiжних символiв вiдносимо вiдкритi та закритi дужки, лапки, крапки та коми, та ¨м подiбне який символ знадобиться, такий i можна ввести в якостi допомiжного символа.

До металогiчних символiв вiднесемо тi символи, якi дозволяють записувати можливостi всi¹¨ теорi¨. Тут ма¹мо дво основних символи

` в припущеннi ... можна довести ... . Використову¹ться в синтаксисi.

j= якщо ... правильне в певнiй iнтепретацi¨, то ... в цiй iнтерпретацi¨ також правильне

Çíàê ` вiдноситься до синтаксису, а знак j= вiдноситься до семантики.

Використавуючи алфавiт будують складнi iмена для предметних сталих, предикатних та функцiональних символiв x1; P ar; min; : : :. Розкутiсть мислення дозволя¹ складнi iмена та-

кож називати чи то предметними, чи то предикатними символами. Звичайно зберiга¹тсья обов'язкова умова ми завжди можна точно вiдрiзнити предметну змiнну вiд предикатного чи функцiонального символа.

З алфавiтом покiнчено.

2

1.2 Вирази (терми) i формули логiки предикатiв

Наступне вирази або терми. Кожна предметна змiнна ¹ термом. Якщо f(x1; x2; : : : ; xn) ¹ n мiсним термом, i g1; g2; : : : ; gn терми, то f(g1; g2; : : : ; gn) також ¹ термом. Терм i вираз ¹ синонiмами. Можна казати, що sin(cos x + cos y) це вираз, а можна казати, що це терм.

Зауважимо ми дали iндуктивне визначення.

Далi нам потрiбнi формули. Кожен предикатний символ iз вказiвкою iмен предметних змiнних, вiд яких залежить предикатний символ, ¹ формулою. Такi формули називають найпростiшими або атомарними. Якщо P тернатний (3-мiсний, 3-арний) предикатний символ,

òî P (x; y; z); P (x1; x1; x2) найпростiшi формули. Якщо використову¹тсья знак =, то з'¹днав-

ши два вирази знаком = ми також одержу¹мо найпростiшу (чи атомарну) формулу. Отже x2 + x 2 = 0 це найпростiша формула. Тут ми ма¹мо базу iндуктивного визначення.

Якщо ми уже ма¹мо побудованi формули, то з'¹днавши ¨х логiними зв'язками чи навiсивши один iз кванторiв iснування та загальностi, одержимо бiльш складну формулу.

Всi предметнi змiннi в атомарних формулах називають вiльними. Якщо двi формули з'¹днали логiчною зв'язкою, то всi вiльними змiннами одержано¨ формули будуть вiльнi змiннi складових частин.

Якщо формула A ì๠âiëüíó çìiííó x, то в формулах

çiííó x називають зв'язаною (зв'зана вiдповiдним квантором). Зв'язана змiнна не ¹ вiльною. Сама формула A (1 назива¹ться областю дi¨ вiдповiдного квантора. Якщо формула не ма¹

вiльних змiнних, то вона назива¹ться замкненою.

Операцiя навiшування квантора на формулу A, тобто перехiд до формул (1), може призвести до побудови непри¹мних формул. Так непри¹мний вигляд ма¹ формулa 8x9x(3 < 2). Крiм того, не виклика¹ сумнiву, що формулами 8x P (x)i 8y P (y) передаться один i той же змiст. З

огляду на це вводять так звану процедуру стандартизацi¨ змiнних. Згiдно цi¹¨ процедури формули, якi вiдрiзняються лише вменами зв'заних змiнних, вважаються рiвними. А далi зв'язанi змiннi перейменовуються так, щоб рiзнi зв'язанi змiннi мали рiзнi iмена.

Використовуючи процедуру стандартизацi¨ змiнних формулу 8x9x(3 < 2) перепису¹мо в рiвну ¨й формулу 8x9y(3 < 2). Те, що квантор зв'язу¹ вiдсутню змiнну, прийнятно. Для при-

кладу, вважа¹ться, що нерiвнiсть x + 2 < x + 3 викону¹ться для будь-якого значенння x.

Мова певно¨ логiки, певно¨ теорi¨ склада¹ться iз алфавiту, видiлених iмен, термiв та формул. Отже ми закiнчили окреслення мови двозначно¨ логiки предикатiв першого порядку. Мову теорi¨ натуральних чисел i мову теорi¨ множин розглянемо пiзнiше.

2 Iнтерпретацi¨ (семантика)

Iнтерпретацiя це вибiр конкретно¨ унiверсально¨ алгебри iз заданим носi¹м i даною сиггнатураю i встановлення вза¹мно однозначно¨ вiдповiдностi мiж операцiями i функцiональними символами, мiж предикатами, що входять до сигнатури унiверсально¨ алгебри, та предикатними символами. Пiсля пiдстановки у формулу замiсть вiльних змiнних певних елементiв носiя формула ста¹ або iстинною або хибною. Якщо iсну¹ iнтепретацiя i пiдстановка елементiв носiя замiсть вiльних змiнних така, що формула ста¹ iстинною, то ¨¨ називають виконуваною. Якщо ж тако¨ iнтерперацi¨ нема¹, то формулу називають невиконуваною або тотожно хибною. Коли формула ста¹ iстинною при будь-якiй iнтерпретацi¨ i при будь-якiй пдiстановцi елементiв носiя, то таку формулу називають логiчно загальнозначущою (скорочено, лзз).

Саму алгебра¨чну систему, яка використову¹ться при iнтерпретацi¨, називають моделлю. Використовуються моделi, якi використовуються для iнтерпретацi¨ логики предикатiв, ма¹

3

розумi¹мо як повiдомлення кожен раз, коли при iнтепретацi¨ формули A1; A2; : : : ; An iстиннi, формула A також iстинна.

Вiзмемо приклад формулу

Вiзмемо в якостi моделi для iнтерпретацi¨ множину дiйсних чисел. Предикатний символ P означа¹ властивiсть дiйсного числа бути натуральним числом. А Q нехай означа¹ предикат <. Тепер формула чиста¹ться як хибне висловлювання для кожного натурального числа

знайдеться менше.

Вiзмемо в якостi моделi для iнтерпретацi¨ множину дiйсних чисел. Предикатний символ P означа¹ властивiсть дiйсного числа бути рацiональним число. А Q нехай означа¹ предикат

<. Тепер формула чиста¹ться як iстинне висловлювання для кожного рацiонального числа

знайдеться менше рацiональне число. Отже формула (2) ¹ виконуваною.

Множина тотожно iстинних формул логiки предикатiв ¹ складовою частиною усiх формальних математичних теорiй, тому ¨¨ дослiдження i опис ¹ важливою задачею математично¨ логiки.

Основнi рiвносильностi Формули A; B логiки предикатiв назива¹ться рiвносильними (; A = B), коли при будь-якiй iнтерпретацi¨ i при будь-якому пiдставляннi конкретних значень за-

мiсть вiльних змiнних формули мають однакове iстиносне значення.

Коли ми двi формули з'¹дну¹мо знаком =, то тут знак рiвностi не ¹ предикатним, а ¹ металогчним. Отже, коли знак = використову¹ться при побудов формули i, вiдповiдно, ¹ предикатним символом, i в той же час двi формули з'¹днiнi знаком =, де вiн ¹ металогiчним, то здоровий глузд не дозволить ¨х переплутати, до непорозумiнь таке дво¨сте використання знака = не призводить.

Якщо в законах логiки висловлювань замiсть пропозицiйних символiв скрiзь пiдставити предикати так, щоб замiсть одного i того ж пропозицiйного симовла стояв один и той же предикат, то одержимо закон логiки предикатiв. До того ж нагада¹мо, що висловлювання також ¹ предикатом, нульмiсним.

Випишемо основнi рiвносильностi для формул, що починаються кванторами.

8x 8y A(x; y) = 8y 8x A(x; y); 9x existsy A(x; y) = 9y 9x A(x; y); комутативнiсть одно-

йменних кванторiв.

8x (F 1(x)) ^ 8x (F 2(x)) = 8x (F 1(x) ^ F 2(x)); 9x (F 1(x)) _ 9x (F 2(x)) = 9x (F 1(x) _

F 2(x)) дистрибутивнiсть для одного квантора, коли формули F1; F2 (безкванторнi формули)

8x (F (x)) ^ 8x x(F (x)) = 8x (F (x)); 9x (F (x)) ^ 9x (F (x)) = 9x (F (x)); 8x (F (x)) _ 8x x(F (x)) = 8x (F (x)); 9x (F (x)) _ 9x (F (x)) = 9x (F (x)) iдемпотентнiсть;

8x (F (x)) _ 8x :(F (x)) = 1; 9x (F (x)) _ 9x (F (x)) = 1; закон виключеного третього;

8x (F (x)) ^ :8x (F (x)) = 0; 9x (F (x)) ^ :9x (F (x)) = 0; закон суперечностi;

4

:8x (F (x)) = 9x:(F (x)); :9x (F (x)) = 8x:(F (x)) закони де Моргана;

:(:8x (F (x))) = 8x (F (x)); (x(F (x))) = x(F (x)); :(:9x (F (x))) = 9x (F (x)) закони

доповнення;

8x (F (x)) _ 1 = 1; 9x (F (x)) ^ 0 = x(F (x)); 8x (F (x)) ^ 0 = 0; 9x (F (x)) _ 1 = 1

властивостi сталих 0,1.

Оскiльки рiвносильностi стосуються iнтерпретацiй i моделей, то вивчення рiвносильностей вiдноситься до семантики.

Коли розглядають перетворення формул логiки предикатiв за допомогою основних рiвносильностей, то кажуть про алгебру предикатiв. Коли розглядають формули разом з аксомами i правилами доведеннями, розглядають доведення, то кажуть про числення предикатiв.

3 Числення предикатiв

Всi методи та результати числення висловлювань можна перенести на числення предикатiв, тобто кожна теорема i кожне доведення числення вислювлювань ста¹ теоремою та доведенням числення предикатiв, якщо всi пропозицiйнi символи замiнити формулами мови предикатiв (всi входження одного пропоозицiйного символа потрiбно замiняти однi¹ю формулою).

Для того, щоб формалiзувати процес мiркувань в численнi п редикатiв, потрiбно вiдiлити додатковi аксiоми та правила доведення, що враховують формули з кванторами.

Додатковi правила та аксiоми визначають можливостi введення та знищенна (елiмiнацi¨) определяют возможности кванторiв, пiдстановки та змiни кванторiв.

Правило пiдстановки терма замiсть вiльно¨ змiнно¨ Вiзьмемо для прикладу формулу

((x2 = x)_(x < 0)^9x (sin x = x): В цiй формулi 6 разiв зустрiча¹ться iндивiдна змiнна x 3 ðàçè

в якостi вiльно¨ змiнно¨, 2 рази в якостi зв'язано¨ змiнно¨ i 1 раз за знаком квантора. Кожен запис змiнно¨ назива¹ться входженням цi¹¨ змiнно¨ в формулу. Ця формула хоч i правильна, однак погана, бо в нiй одна iзмiнна i вiльна i зв'язана. Щоб вона стала бiльш прийнятною, потрiбно зв'язану змiнну перейменувати скажемо, на y.Одержимо формулу ((x2 = x) _

(x < 0) ^ 9y (sin y = y) це та ж сама формула (згада¹мо домовленiсть про можливiсть

таких дiй), але вона ма¹ цiлком прийнятний вигляд. Тут ми ма¹мо два входження x в якостi

вiльно¨ змiнно¨. Ми наразi зупинимося на пiдстановцi замiсть вiльно¨ змiнно¨ терма, що не ма¹ входжень цi¹¨ зiнно¨. Так терм cos y + sin z) не ма¹ в сво¹му записi змiнно¨ x. рузультатом

пiдстановки терма t = cos y + sin z) у формулу A(x) = (x2 = x) _(x < 0) ^9y (sin y = y) çàìiñòü çìiííî¨ x буде формула

A(t) = (((cos y + sin z)2) = (cos y + sin z)) _ (cos y + sin z < 0) ^ 9y (sin y = y):

Результат пiдстановки терма t в формулу A(x) õàìiñòü çìiííî¨ x запису¹мо як в математичному аналiзi при iнтегруваннi у виглядi

A(t) = A(x)jx=t :

Êðiì òîãî, ùî òåðì t не повинен мати входження тi¹¨ змiнно¨, яку вiн замiня¹, змiннi, що входять в терм не повиннi попасти в область дi¨ якогось квантора.

5

3.1 Видозмiни запису умовиводу

В численнi предикатiв, як i в численнi висловлювань умовиводи (неподiльнi одинцi мiркувань) записуються у виглядi дробу, в чисельнику стоять припущення, а в знаменнику висновок. Однак iнколи в записах використовують металогiчний (не використовуваний при побудовi форму) знак ` 2, а iнколи цього знаку уникають. В загальному випадку запис

A1; ; A2; : : : ; An ` A

розумi¹мо i чита¹мо як коли формули A1; ; A2; : : : ; An доведенi, то формула A також доведена . Коли знака ` уникають, тодi те ж саме записують у виглядi

A1 ^ A2 ^ : : : ^ An ) A:

Будемо вважати, що без знака ` формули в доведеннях стають дуже довгими та поганочита-

бельними. Тому знак будемо використовуати.

Якщо злiва вiд знака ` нiчого не сто¨ть, то вважаться, що формула справа вiд нього доведе-

на (без будь-яких додакових припущень). Якщо ж справа вiд знака порожньо, то вважа¹ться що сукупнiсть формул злiва суперечлива.

3.2 Додатковi правила доведення

Нижче x означа¹ вiльну iндивiдну змiнну в формулi A(x); t òåðì, â ÿêèé x не входить, i

A(t) = A(x)jx=t :

Вввдення квантора загальностi

`A(t) ) A(x) :

`A(t) ) 8x A(x)

Видалення квантора загальностi

`8x A(x):

`A(t)

Введення квантора iснування

` A(t) : ` 9x A(x)

Змiна кванторiв

2Çíàê ` називають i знаком ввивiдностi, i штопором, i шваброю, i перпендикулярчиком кому як подоба¹ться

6

Пiдкреслимо найважливiшi правила доведення, що стосуються також числення висловлювань, це правила modus3 ponens4 i правило modus tollens5.

Modus ponens

`A; ` A ) B :

`B

Цей модус iнколи називають конструктивним.

Modus tollens

` :B; ` A ) B

` :A

Цей модус iнколи називають деструктивним, руйнiвним.

Логiчнi та позалогiчнi аксiоми Аксiома в численнi предикатiв одна, та ж, що i в численнi висловлювань. Вона запису¹ться в одному iз наступних виглядiв

A ) A; A ` A; ` A ) A:

Однак в практичних застосуваннях, коли ма¹ться на увазi певна iнтерпретацiя6, використовують iншi, додатковi аксiоми. Цi аксiоми називають позалогiчними. Так можна взяти аксiомою

8x8yx y = y x:

А можна аксiомою взяти

9x P (x);

що означа¹ на складi ¹ соляна кислота .

3modus норма, правило

4Слово ponens виводять вiд слова ponere ставити, встановлювати, класти 5Слово tollens виводять вiд слова tollere пiднiмати, знищувати

6iнтерпретацiя надання змiсту, спiвсталяння символам, iменам конкретних речей. В булевих функцiях iнтерпретацiя, це надання змiнним iстиносного значення

7

8

алгебра¨чна, 2 софiзм, 1

терм, 3 умовивiд, 6 входження

змiнно¨, 5 вираз, 3 визначення

iндуктивне, 3 закон

сеперечностi, 4 виключеного третього, 4

закони де Моргана, 5

доповнення, 5 зiнна

âiëüíà, 3 çìiííà

iндивiдна, 5 зв'язана, 3

знак штопор, 6 швабра, 6

вивiдностi, 6

9