лекції по мат.логике / L17-axioms-ZF

Множини аксiоматика Цермело Френкеля

Григорiй Чарльзович Курiнний

Çìiñò

2.3.8Аксiома регулярностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.9Аксiома нескiнченностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.10Аксiома вибору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 На¨вний та аксiоматичний пiдхiд до множин

1.1 На¨вний пiдхiд Кантора

Множини лягли в основу математики завдяки ключовим працям Георга Кантора, якi були надрукованi в 1879 1897 роках. Сучасники Г.Кантора ганьбили його i його працi як тiльки могли. Знеславленй i спаплюжений вiн пiшов iз життя 6 сiчня 1918 року. Георг Кантор пiшов iз життя, а надiйнiшого пiдгрунтя для математики до сих пiр нема¹.

До Кантора математикам вiрою i правдою слугували натуральнi числа i геометричнi об'¹- кти. Вiдрiзок i пряма не складалися iз точок словом континуум (неперервний) пiдкреслювалась ¨х неподiльнiсть.

Г.Кантор уявляв множини як справдi iснуючi (нехай в уявi) речi. Так iсну¹ зграя горобцiв (одна, яка склада¹ться iз багатьох горобцiв), iсну¹ одна купа пiску (одна, яка склада¹ться iз багатьох пiщьнок), iсну¹ коробка сiрникiв (одна, яка склада¹ться iз багаьох сiрникiв). Георг Кантор означив множина це багато, що уявля¹ться як одне . I означення, i пояснення, i приклади математики сприйняли як вкрай незрозумiлi i, вiдповiдно, незадовiльнi.

Особлив шкода вбачалась сучасниками Г.Кантора в пропонованому вченнi у втручаннi у нескiнченнiсть. До Кантора нескiнченнiсть була одна, i вона була властивiстю лише Бога.

1Цю аксому називають також аксiомою екстенсиональностi

1

Елементами цi¹¨ множини ¹ два числа 3; p2 i три множини fp3; 9g; f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g; ;: Розглянемо три висловлення, що стосуються елементiв множини M

Перше висловлення не вiдповiда¹ дiйсностi, воно хибне. Друге висловлення вiдповiда¹ дiйсностi, воно iстинне. А трет¹ висловлення безглузде.

В загальному випадку елементами множини можуть бути як множини, так i елементи, якi множинами не ¹ це первiснi, неподiльнi елементи. Розглядати належнiсть чи неналаженiсть якогось елемента первiсному (неподiльному) елементу ¹ безглуздям. Первiснi неподiльнi елементи називають атомами та ур-елементами2

В iнту¨тивнiй теорi¨ множин крiм термiнiв множина та елемент множини використову¹ться слово клас. Термiн клас вжива¹ться замiсть термiну множина в трьох випадках

коли ¹ сумнiв щодо допустимостi вжитку слова множина;

коли мовний смак вимага¹ вжити якийсь синонiм слова множина;

коли певна множина стало (здавна так склалося) назива¹ться класом.

Наведемо приклади. Уявити всi двоелементнi множини важко. Тому доцiльно говорити про клас усiх двоелементних множин, а не про множину всiх двоелементних множин. В наведеному прикладi ми уникли розмови про те, чи утворюють множину всi двоелементнi множини.

Всi прямi, що паралельнi данiй, утворюють множину, але коли говорять i про iншi множини точок та прямих на площинi, то доцiльно говорити про клас прямих що паралельнi данiй.

Всi парнi числа i всi непарнi цiлi числа утворюють двi пiдмножини множини цiлих чисел, але ¨х стало називають класами класом парних чисел i класом непарних чисел, або класами лишкiв за модулем 2 так заведено.

1.2 Аксiоматичний пiдхiд

Аксiоматичний пiдхiд (тут до множин) пропону¹ замiнити те, що ми якось уявля¹мо (тутмножини), символами, що позбавленi змiсту. Мета такого перезапису

чiтко вказати на те, що ми прийма¹мо як безоглядно правильне без будь-якого обгрутування, на вiру;

зробити чiткими кроки в мiркуванях про уявленi речi (тут про множини), що в свою чергу, дозволя¹ перевiряти кожен крок;

2В давньоскандiнавськiй мiфологi¨ ¹ руна (символ), який називають ур, або уруз, що ¹ знаком первiсно¨ сили. В нiмецькiй мовi ур означа¹ первiсного тура (бика)

2

зменшити по можливостi кiлькiсть тверджень, що прийнятi на вiру;

шукати iншi речi (тут не множини), якi ведуть себе подiбно до множин.

Вiзьмемо для прикладу геометрiю, яка ¹дина в шкiльному курсi математики чiтко формулю¹ аксiоми, з яких виводяться теореми.

Розрiвняну дiлянку землi ми можемо уявити назива¹мо ¨¨ площиною. Натягнутi мотузки уявити також можемо уявля¹мо ¨х як прямi. Вбитi в землю кiлочки можемо уявити назива¹мо ¨х точками. Отже ми ма¹мо уявлюванi речi, якi замiню¹мо послiдовнiстю знакiвточка , пряма на площинi . Далi вводяться трикутники, кути та подiбне, щодо яких доводяться теореми. При доведеннi можна прослiдкувати за кожним кроком, пояснити його. I ще можна обдумувати питання чи можна аксiому паралельностi довести, чи це неможливо.

I насамкiнець, можна будувати iншi речi, якi не узгоджуються iз уявою про площину, але задовольняють прийнятим на вiру твердженням аксiомам. Для прикладу, нехай ма¹мо три аксiоми

Через двi точки проходить ¹дина пряма.

Через точку п оза прямою проходить ¹дина пряма, що паралельна ¨й (не ма¹ з наю спiльних точок).

Iснують чотири точки, серед яких будь-яка трiйка не належить однiй прямiй

Виберемо чотири символи A; B; C; D, назвемо ¨х точками i скажемо, що вони утворюють

всю площину (iнших точок на цiй площинi нема¹). Двiйки точок (двоелементнi пiдмножини множини fA; B; C; Dg) назвемо прямими. Пряма проходить через тi точки, з яких вона

склада¹ться.

Ми одержали площину, яка задовольня¹ всi три аксiоми, але жодним чином не узгоджу¹ться iз тi¹ю уявою про площину, з яко¨ починалось написання цих аксiом.

Звернемо увагу на те, що аксiоматичний пiдхiд вимага¹ задання символiв (алфавiту) для запису аксiом, теорем, для позначення видiлених елементiв, для позначення змiнних елемнтiв, для технiчних потреб (наприклад, для зручностi роботи) , для позначення вiдношень мiж рiзними елементми в прикладi з площиною ма¹мо говорити про належнiсть точки прямiй та подiбного.

2 Аксiоматика Цермело Френкеля

Традицiя вимага¹, щоб аксiоми теорi¨ множин, на вiдмiну вiд аксiом геометрi¨, записувалися символьно. Тому до початку запису аксiом потрiбно ввести символiку, за допомогою якою буде здiйснюватися цей символьний запис.

2.1 Мова теорi¨ множин

Алфавiт мiстить символи

для позначення логiчних зв'язок, кванторiв та логiчних констант (сталих) _; ^; :; ) ; ,; 8; 9, логiчнi константи 0, 1;

для позначення змiнних малi латинськi букви, малi латинськi букви iз iндексами, та однi¹¨ константи ;. ;

двомiсного предикатного символа 2 (чита¹ться належить ), та двомiсного предикатного символа = (чита¹ться дорiвню¹ );

3

допомiжнi символи вiдкрита дужка ( , закрита дужка ), та.

Великi латинськi букви, грецькi букви, Фiгурнi дужки, двокрапка, вертикальна риска, це речi, якi дають зручнiсть в роботi. ˆх використовують в записах, але не включають до алфавiту, тому що без них можна обiйтися. Протягом роботи виника¹ потреба вжитку багатьох iнших символiв для скорочення записiв, для зручностi запису та читання. Цi символи будуть вводитися за потребою без особливого наголосу.

Всi змiннi i стала ; називаються множинами. Видiлений елемент стала, назива¹ться порожньою множиною. Якщо x 2 y, то множину x називають елементом множини y.

Для скорочення пишуть x 2= y çàìiñòü :(x = y) i x 6= y çàìiñòü :(x = y):

Первiсних елементiв (чи неподiльних, чи урелементiв в iншiй термiнологi¨) в аксiоматицi Цермело Френкеля нема¹, але ¹ класи.

Використовуванi вiдношення належить та дорiвню¹ сутт¹во вiдрiзняються тим, що дорiвню¹ обов'язково узгоджу¹ться iз здоровим глуздом, а належить не обов'язково. Вiдро яблук може належати одному яблуку, всi додатнi числа можуть належати о дному вiд'¹мному i решта дурниць все це можливо до тих пiр, поки не буде явно заборонено тi¹ю чи iншою аксiомою, тi¹ю чи iншою теоремою.

Зовсiм iнша рiч дорiвню¹ . Це вiдношення обов'язково симетричне транзитивне i рефлексивне. Воно використову¹ться в тому ж розумiннi як i те ж саме, що i ... або тотожне в живому спiлкуваннi. В фiлософських роздiлах логiки x äîðiâíþ¹ y означа¹, що кожна

властивiсть, яку ма¹ x, ¹ також властивiстю y. Сказане можна записати i символьно

де квантор загальностi навiшу¹ться на одномiснi предикати P , що в логiцi першого порядку

заборонено, але дозволено в логiцi другого порядку. Таким чином, якщо ви ма¹те в двох руках по бiлiй бiльядрднiй кулi, якi неможливо розрiзнити, то казати, що вони, цi кулi, рiвнi в нашому мовному оточеннi заборонено, бо одна з них ма¹ властивiсть знаходиться в лiвiй руцi (друга цi¹¨ властивостi не ма¹), а друга ма¹ властивiсть вона знаходиться в правiй руцi (перша цi¹¨ властивостi не ма¹).

2.2 Формули теорi¨ множин та класи

Формули будуються кроками спочатку будуються формули першого кроку, потiм будуються формули другого кроку, i так далi. Коли побудованi формули n го кроку для деякого

натурального числа n, приходить черга будувати формули n + 1-го кроку. Формули першого кроку мають вигляд

Це найпростiшi або, як кажуть, атомарнi формули.

 (2) i â (3) x òà y ¹ довiльними змiнними, тому (2) i (3) радше назвати схемами формул, тому що замiсть x òà y можна пiдставляти будь-яку змiнну. Так формулами першого кроку

(x 2 y); (x 2 x); (z 2 t); (x1 2 t1); (u3 2 u3):

Коли уже побудованi формули A; B; : : : n го кроку, то формулами n + 1 го кроку будуть

4

Знову ж, насправдi записи (4) задають лише правила побудови формул потрiбно замiсть A; B пiдставити формулу, яка одержана на одному з попереднiх крокiв. Так формулами

другого кроку будуть

((x = x) ^ (x 2 y)); ((u1 2 t) ) (u1 2 s)); (:(u = v)); (8x(x 2 y)); (9x(x 2 y)):

Формулами третього кроку будуть

(((x = x) ^ (x 2 y)) ) ((u1 2 t) ) (u1 2 s))); ((:(u = v)) _ (x 2 v))

В правильно побудованих формулах дуже багато дужок, що заважають розумiти те, що переда¹ться формулою. Для комп'ютера кiлькiсть дужок не проблема для нього найважливiшим ¹ однозначнiсть розумiння записаного. А для людини дуже довгий запис iз дуже великою кiлькiстю дужок може бути непереборною проблемою. Тому iсну¹ ряд домовленостей про дужки, якi можна об'¹днати одним: дужки можна не писати тодi i тiльки тодi, коли iсну¹ впевненiсть, що ¨х в будь-який момент можна однозначно вiдновити.

Сукупностi множин називають класами.

Класи окреслюються висловленнямi зi змiнними, тобто предикатами, якi в свою чергу записуються символьно у виглядi формули. Отже

Класами назива¹мо сукупнiсть множин x, для яких iстинна якась формула iз однi¹ю

вiльною змiнною x. В символьному записi, коли A(x) певна формула теорi¨ множин, то

¹ класом.

Для прикладу, всi множини, якi дорiвнюють сами собi, утворюють клас. Деякi класи ¹ множинами, але клас буде множиною тодi i тiльки тодi, коли це вимага¹ться чи то аксiомою, чи ¹ наслiдком аксiом.

Належнiсть класу познача¹ться тим же символом 2, що i формальний предикат в мовi

теорi¨ множин, але ма¹ на¨вний, iнту¨тивний змiст. Точнiше, коли ма¹мо клас (5), то запис a 2 K означа¹ не бiльше i не менше як те, що A(a) = 1: А коли кажемо, що клас K, ùî

заданий (5), ¹ множиною m i пишемо m = K, то ма¹мо на увазi формулу

8x ((x 2 m) , '(x)):

2.3 Аксiоми теорi¨ множин

2.3.1 Аксiома об'¹мностi.3

Аксiома об'¹мностi стверджу¹, що множина повнiстю визнача¹ться сво¨ми елементами. Символьно цю аксiому можна записати наступним чином

8x; y ((x = y) , 8z(z 2 x , (z 2 y))):

Завдяки цiй аксiомi для доведення рiвностi двох множин досить довести двi речi

1.Кожен елемент першо¨ множини ¹ елементом друго¨ множини.

2.Кожен елемент друго¨ множини ¹ елементом першо¨ множини.

Наслiдком цi¹¨ аксiоми ¹ те, що порядок запису елементiв у множинi не ма¹ значення. Також один елемент не може входити у множину двiчi.

3Цю аксому називають також аксiомою екстенсиональностi

5

2.3.2 Аксiома порожньо¨ множини

Аксiома порожньо¨ множини стверджу¹, що клас, який не мiстить жодного елемента, ¹ множиною. Символьно цю аксiому можна записати наступним чином

9x 8y (:(y 2 x)):

За аксiомою об'¹мностi порожня множина ¹дина i для не¨ можна використовувати позна- чення ;:

Якби клас без елементiв не бува множиною, то виникли б незручностi при введеннi перетинiв множин та введеннi доповнення до множини потрiбно було б слiдкувати, щоб вони не були порожнi.

2.3.3 Àêñiîìà ïàðè

Аксiома пари стверджу¹, що для будь-яких множин x, y можна утворити нову множину z, ¹диними елементами яко¨ ¹ x òà y. Формально ця аксiома запису¹ться наступним чином.

8x 8y 9z 8t ((t 2 z) , ((t = x) _ (t = y))):

Ïàðà z1, що побудована за елементами x; y, i ïàðà z2, що побудована за елементами y; x, öå

одна i та ж пара це забезпечу¹ться аксiомою об'¹мностi. Тому ¨¨ називають невпорядкованою i позначають fx; yg : В пропонованiй аксiомi елементи x; y не обов'зково рiзнi. Коли

x = y аксiома пари забезпечу¹ iснування множини, ¹диним елементом ¹ x. Òàêà ïàðà fx; xg познача¹ться fxg :

Потрiбно мати на увазi, що хоч множина ; не ма¹ жодного елемента, множина f;g ìà¹

один елемент, цим елементом ¹ порожня множина.

Ïàðà fx; fx; ygg, що утворена за допомогою множин x òà y, назива¹ться впорядкованою парою i познача¹ться (x; y): Подивимось, коли пара (x; y) i ïàðà (y; x) ¹ îäíi¹þ i òi¹þ æ ìíî-

жиною.

Перший випадок, коли x = y, тодi, звичайно, (x; x) = (x; x).

Другий випадок, коли x =6 y: Тодi, за аксiомою об'¹мностi, повиннi виконуватися двi рiвностi

y = fx; yg ; x = fx; yg

якi забезпечують рiвнiсть x = y, яка суперечить припущенню.

Îòæå ïàðà (x; y) äîðiâíþ¹ ïàði (y; x) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè x = y:

Впорядкована триелементна множина (x; y; z) визнача¹ться як fx; (y; z)g: подiбним чином вводяться чотириелементнi вопрядкованi множини i т. д.

2.3.4 Аксiома об'¹днання

Аксiома об'¹днання (¨¨ також називають аксiомою суми) каже, що для будь-яко¨ множини x iсну¹ множина y, яка визнача¹ться умовою: елемент z ¹ елементом множини y тодi i тiльки тодi, коли для деяко¨ множини t

t 2 x; z 2 t:

множина, то iсну¹ множина y елементами яко¨ ¹ елементи елементiв x i òiëüêè âîíè. Ôîð-

мально

8x 9y 8z ((z 2 y) , (9t ((t 2 x) ^ (z 2 t)))):

6

Множину y, iснування яко¨ забезпечу¹ться аксiомою об'¹днання, позначають

[t2xt:

Розглянемо ретельнiше випадки, коли множина x ма¹ мало елементiв.

Припустимо, що множина x ма¹ ¹диний елемент t = t0. Тодi множина y = [t2xt склада¹ться iз тих i тiльки тих елементiв, якi належать t0. Отже за аксiомою об'¹мностi y = t0: Îòæå

об'¹днання однi¹¨ множини i сама ця множина це одне i те ж.

Припустимо, що множина x ма¹ два елементи t1 òà t2 . Тодi множина y = [t2xt склада¹ться iз тих i тiльки тих елементiв, якi належать або t1 àáî t2. В такому випадку множину y позначають y = t1 [ t2: вiдповiдно, коли множина x склада¹ться iз трьох елементiв t1; t2; t3, використовують позначення y = t1 [ t2 [ t3:

2.3.5 Схема аксiом видiлення

Формулювання схеми акiом видiлення наступне.

Нехай ¹ множина x i формула теорi¨ множин '(t). Тодi iсну¹ множина y, що склада¹ться iз тих i тiльки тих елементiв t множини x, для яких формула '(t) iстинна.

ßêùî çàìiñòü '(t) поставити якусь певну формулу, то схема аксыом перетвориться в кон-

кретну аксыому.

Символьно аксiома видiлення для дано¨ множини x i для дано¨ формули наступним чином

9y ((t 2 y) , ((t 2 x) ^ '(t))):

З використанням словосполуки унiверсальна множина можна сказати, що кожeн одномiсний предикат '(t) видiля¹ у унiверсальнiй множинi x пiдмножину область iстиностi

предиката '(t). От тому, що предикат видiля¹ , схема аксiом i назива¹ться схемою аксiом

видiлення.

Звернемо увагу на те, що множина y, яка за заданими множиною x i формулою '(t) за допомогою аксiоми видiлення задовольня¹ умову

Коли множини x; y задовольняють умову (7), кажемо, що множина y ¹ пiдмножиною множини x.

Словосполука множина y ¹ пiдмножиною множини x i символьний запис y x означають

одне i те ж формулу (7).

Схема аксiом видiлення дозволя¹ визначити перетин двох множин. Якщо a; b двi вiдомi множини i '(t) = (t 2 b), то ми ма¹мо множину c, яка визнача¹ться сво¨ми елементами (в формулi (6)потрiбно замiнити x íà a i y íà c):

(t 2 c) , ((t 2 a) ^ (x 2 b)):

Ця множина c назива¹ться перетином множин a i b i познача¹ться c = a \ b. Також аксiома видiлення дозволя¹ визначити рiзницю двох множин x n y :

(t 2 x n y) , ((t 2 x) ^ (x 2= y)):

7

2.3.6 Схема аксiом пiдстановки

Ще одна схема аксiом формалiзу¹ уяву про те, що для заданого вiдображення (функцiонального вiдношення, або функцiонального предиката) образ множини, що ¹ областю визначення, також ¹ множиною.

Нехай u множина i P (x; y) двомiсний предикат, який задовольня¹ двi умови

Для будь-яко¨ множини x iç u iсну¹ множина y òàêà, ùî íà ïàði (x; y) предикат P (x; y) iстинний.

Якщо множина x належить u i предикати y1; y2, òî y1; y2 ¹ однi¹ю i тi¹ю ж множиною.

Якщо множина u i двомiсний предикат P (x; y) задовольняють цi двi вимоги, то кажемо, що P функцiональний предикат на множинi u:

Наведемо приклад функцiонального предиката. Вiзьмемо множиною u множину натураль-

них чисел. Далi вiзьмемо площину, на якiй введена прямокутна система координат. Предикат P (x; y) буде iстинним, за визначенням, тодi i тiльки тодi, коли x натуральне число, а y

квадрат iз вершинами в точках (0; 0); (0; x); (x; 0); (x; x) (див. рис. 1). Оскiльки для кожного

натурального числа iсну¹ i ¹диний вiдповiдний квадрат, то побудований двомiсний предикат ¹ функцiональним на множинi натуральних чисел. Аксiома пiдстановки гаранту¹ нам, що супупнiсть (клас) квадратiв iз вершинами в точках (0; 0); (0; x); (x; 0); (x; x) ¹ множиною.

56

4

3

Âзагальному випадку аксiома пiдстановки каже:

ÿêùî P (x; y) функцiональний предикат на множинi u, òî êëàñ v тих множин y, що разом з деяким x 2 u задовольняють предикат P (x; y), ¹ множиною.

Оскiльки традицiя вимага¹, щоб аксiома теорi¨ множин була записана символьно, то викона¹мо цю роботу.

Вводимо скорочення запис 9!yQ(y) ¹ скороченням для формули

9y (Q(y) ^ (8x (Q(x) ) (x = y)))):

8

Запис 9!yP (y) чита¹ться як Iсну¹ елемент y, який задовольня¹ умову Q(y), i такий елемент

Позначимо останню формулу (8) через A. Отже формула A означа¹, що предикат P (x; y) ¹ функцiональним i зада¹ неявно вiдображення y = y(x) iз множини u.

Перейдемо до запису того, що множина v ¹ образом множини u для заданого вiдображення

Без скорочень аксiома пiдстановки запису¹ться у виглядi

Аксiома пiдстановки найменш очевидна серед усiх аксiом. I з нею можна погодитися тiльки маючи певний стаж роботи в царинi теорi¨ множин, або погоджуючись з авторитетами, наприклад, з Коеном.

2.3.7 Аксiома степеня

Аксiома степеня стверджу¹,

для задано¨ множини x iсну¹ множина, елементами яко¨ ¹ пiдмножини задано¨ множини x i òiëüêè âîíè.

Аксiома степеня ма¹ таку назву тому, що множина усiх пiдмножин множини x стало познача¹ться 2x.

Що таке пiдмножина множини, i чому пiдмножина множини ¹ множиною, ми уже обговорили, коли розглядали аксiому видiлення (див. формулу (7). Тому все пiдготовано для символьного запису аксiоми степеня. Символьний запис ма¹ наступний вигляд

8x 9y 8z ((z 2 y) , (z x)):

2.3.8 Аксiома регулярностi

Аксiома регулярностi:

кожна непорожня множина не ма¹ спiльних елементiв з деяким сво¨м елемнтом.

Для прикладу, множина

A = ff;g; ff;ggg

ма¹ спiльний елемент з множиною B = ff;gg; але не ма¹ спiльних елементiв iз множиною f;g: Ця аксiома може бути записана символьно:

8x (:(x = ;) ) 9y (y 2 x ^ y \ x = ;)):

Аксiома регулярностi унеможливлю¹ iснування множини, ¹диним елементом яко¨ ¹ сама ця множина.

9

2.3.9 Аксiома нескiнченностi

Аксiома нескiнченностi забезпечу¹ iснування множини, яка мiстить ;; f;g; ff;gg; fff;ggg; : : :

ˆ¨ вигляд

9x (; 2 x ^ 8y(y 2 x ) fyg 2 x)) :

2.3.10 Аксiома вибору

Найхвилююча аксiома теорi¨ множин аксiома вибору. Хвилююча тому, що така ж очевидна, як i аксiома паралельностi в геометрi¨, такoж невивiдна, але ¨¨ прийняття приводить до вельми важких для сприйняття логiчно неспростовних висновкiв. Частина математикiв прийма¹ аксiому i безоглядно користу¹ться нею, а частина чiтко слiдку¹ що доведено з ¨¨ допомогою, а що можна довести без не¨. Iз англiйсько¨ назви axiom of chose береться ¨¨ скорочена назваАC.

Аксiома вибору в нестрогому формулюваннi ма¹ вигляд

В кожнiй непорожнiй множинi можна вибрати один елемент

В такому формулювннi аксiома вибору найочевиднiша.

Зупинимося на займеннику кожний , вжиток якого вiдiзня¹ться вiд вжитку займенникавсi. Кожен iз двох сухарикiв можна з'¨сти натщесерце, а всi (обидва) з'¨сти натщесерце неможливо другий буде iстися пiсля того, як уже з'¨ли перший. Кожен укра¨нець може вiдвiдати лекцiю з теорi¨ множин, а всi нi, аудиторiя всiх не вмiстить. В аксiомi вибору йдеться про вибiр елементiв у всiх непорожнiх множинах в один i той же час (по одному в кожнiй). А таке формулювання АС уже не таке очевидне.

Далi зупинимося на словосполуцi можна вибрати , яка натяка¹ на iснування певного алгоритму, певно¨ чiтко вказао¨ послiдовностi дiй, якi в пiдсумку приведуть до видiлення одно елемента в кожнiй непорожнiй множинi. Вимога iснування певного алгоритму досить обтяжлива вимога. Значно легше словосполуку можна вибрати розумiти як нi до чого не зобов'язуюче iсну¹ функцiя, вiдображення Тим бiльше, що функцiю x 7!y = f(x) можна

уявляти як множину M впорядкованих пар (x; y). Вибiр елемента y, що належить множинi x, можна розглядати як утворення впорядковано¨ пари (x; y), äå x 2 y. Нагада¹мо, що поняття

впорядковано¨ пари нами уже формалiзоване.

За такого пiдходу аксiома вибору стверджу¹ iснування множини M, яка задовольня¹ наступнi чотири вимоги

10