лекції по мат.логике / L15-axioms-Z

Лекцiя • 15 з математично¨ логiки та теорi¨ множин Для студентiв-прикладникiв ММФ ХНУ 1 курсу 10 грудня 2009 року

1 Аксiоматика натуральних чисел. Визначення операцiй додавання та множення. Визначення часткових операцiй вiднiмання та дiлення. Визначення вiдношення порядку. Доведення вiдомих властивостей операцiй над натуральними числами.

Стосовно властивостей натуральних чисел можна порадити пiдручник Василя Iвановича Андрiйчука, Миколи Ярославовича Комарницького та Юрiя Богдановича Iщука Вступ до дискретно¨ математики Ки¨в: Центр навчально¨ лiтератури, 2004 рiк видання. Однак варто звернути увагу на наступне.

Науральними числами обчислюються кiлькостi i нумеруються предмети. ™ порожня множина, i вона ма¹ 0 елементiв. А коли програмiсти нумерують вiчка пам'ятi, то перше вiчко ма¹ номур 0. Отже в сучасному практичному використаннi 0 натуральне число. Однак порожня множина введена в обiг зовсiм недавно, i програмiсти з'явилися на свiт недавно, а натуральнi числа iснують давно. Отже в традицiйному використаннi 0 не ¹ натуральним числом. В пропонованiй книзi В.I. Андрiйчука та iн. 0 вважа¹ться натуральним числом. А ми наразi, пiдтримуючи шкiльну традицiю, будемо вважати найменшим натуральним числом 1.

1.1 Аксiоматика

Аксiоматика Пеано в сучасному звучаннi Натуральними числами називають унiверсальну алгебру N = hN; 1; Si з двома операцiями нульмiсною 1 i одномiсною S(x) = x + 1, â

якiй виконуються двi аксiоми:

ßêùî x + 1 = y + 1 òî x = y.

Власних пiдалгебр N = hN; 1; Si íå ìà¹.

Запропоноване формулювання аксiоматики натуральних чисел досить жорстке, використову¹ сучасну малопоширену термiнологiю. Воно пiдкреслю¹ доречнiсть питання про кiлькiсть неiзоморфних унiверсальних алгебр натуральнi числа

Нагада¹мо значення вжитих у визначеннi слiв.

Нульмiсна операцiя це один вибраний елемент множини. Кажучи нульмiсна операцiя 1 ми пiдкреслю¹мо, що цей елемент множини вибира¹ться довiльно, це не обов'язково щось загальновiдоме.

Одномiсна операцiя це вiдображення iз множини натуральних чисел в себе. Образ елемента x 2 N називають наступним елементом i позначають S(x) àáî x + 1.

Аксiоматика Пеано як в першоджерелi Перша аксiома в аксiоматицi Пеано каже 1 ¹ натуральним числом . Цю аксiому називають аксiомою iснування одиницi. В такому формулюваннi прогляда¹ натяк на те, що ми зна¹мо, що таке 1, 1 це загальновiдоме число.

Друга аксiома в аксiоматицi Пеано каже, що кожен елемент ма¹ наступний.

1

Третя аксома в аксiоматицi Пеано вимага¹, щоб рiзнi натуральнi числа мали рiзнi наступнi елементи.

Четверта аксiома в аксiоматицi Пеано це аксiома iднукцi¨: Якщо якась множина мiстить в собi 1 i з кожним натуральним числом мiстить також наступне, то ця множина мiстить в собi всi натуральнi числа. Власне саме це стверджу¹ться виразом: унiверсальна алгебранатуральнi числа не ма¹ власних пiдалгебр. Нагада¹мо, що власна пiдалгебра, це пiдалгебра, що не збiга¹ться з усi¹ю алгеброю.

1.2 Додавання та множення. ˆх властивостi.

Додавання натуральних чисел Додавання n + m натуральних чисел n; m 2 N визнача¹ться iндуктивно, iндукцi¹ю по числу m. База iндукцi¨: при m = 1 n + m це просто наступне за n число, iснування якого забезпечу¹ться аксiомою. Iндуктивне припущення: припуска¹мо, що число n + m нам уже вiдоме. Тодi (iнлуктивний перехiд) n + (m + 1) = (n + m) + 1:

Додавання натуральних чисел асоцiативне, тобто для будь-яких x; y; z 2 N викону¹ться

ðiâíiñòü

(1)

Рiвнiсть (1) доводимо iндукцi¹ю за останнiм доданком z.

База iндукцi¨ z = 1: Рiвнiсть (1) перетворю¹ться в (x+y)+1 = x+(y+1), яка викону¹ться

за визначенням додавання.

Iндуктивне припущення припуска¹мо, що (1) викону¹ться для деякого z 2 N: Iндуктивний перехiд доводимо рiвнiсть (x + y) + (z + 1) = x + (y + (z + 1)): Справдi

a b c

(x + y) + (z + 1) = ((x + y) + z) + 1 = (x + (y + z)) + 1 = x + (y + (z + 1)):

Перша i остання рiвностi a; c в останньому записi виконуються за визначенням додавання, а друга рiвнiсть b викону¹ться за iндуктивним припущенням.

Êîëè x = 1

x 2 N 1 + x = x + 1 (iндуктивне припущення), то (iндуктивний перехiд)

ab

1 + (x + 1) = (1 + x) + 1 = (x + 1) + 1:

Âостанньому записi рiвнiсть a викону¹ться за визначенням додавання, а рiвнiсть b викону¹ться

за iндуктивним припущенням.

Доведемо комутативнiсть додавання натуральних чисел:

Доводимо iндукцi¹ю за y, використовуючи (2) як базу iндукцi¨. Отже, робимо iндуктивне

припущення x + y = y + x:

Iндуктивний перехiд забезпечу¹ться рiвностями

a b c d e

x + (y + 1) = (x + y) + 1 = (y + x) + 1 = 1 + (y + x) = (1 + y) + x = (y + 1) + x:

Ðiâíiñòü a викону¹ться за визначенням додавання, рiвнiсть b за iндуктивним припущенням, рiвностi c; e за базою iндукцi¨, рiвнiсть d за вже доведеною асоцiативнстю додавання.

2

Множення натуральних чисел Множення n m натуральних чисел n; m 2 N також визнача¹ться iндуктивно, iндукцi¹ю по числу m, коли уже введене додаваня. База iндукцi¨: при m = 1 n m це просто число n. Iндуктивне припущення: при пуска¹мо, що число n m íàì óæå

вiдоме. Тодi (iнлуктивний перехiд) n (m + 1) = (n m) + n:

Множення натуральних чисел задоволня¹ умову, яку називають лiвою дистрибутивнiстю:

x(y + z) = xy + xz 8x; y; z 2 N:

справдi, x(y + 1) = xy + x = xy + x1; i êîëè x(y + z) = xy + xz òîäi

x(y + (z + 1)) = x((y + z) + 1) = x(y + z) + x = xy + xz + x = xy + x(z + 1):

Множення натуральних чисел також задоволня¹ умову, яку називають правою дистрибутивнiстю:

(x + y)z = xz + yz 8x; y; z 2 N:

справдi, (x + y)1 = x + y; i êîëè (x + y)z = xz + yz òîäi

(x + y)(z + 1) = (x + y)z + (x + y) = xz + yz + x + y = xz + x + yz + y = x(z + 1) + y(z + 1):

Рiвнiсть (4) доводимо iндукцi¹ю за останнiм множником z.

База iндукцi¨ z = 1: Рiвнiсть (4) перетворю¹ться в (x y) 1 = x (y 1), яка викону¹ться

(x y) (z + 1) = ((x y) z) + x y = (x (y z)) + xy = x (yz + y)) = x(y(z + 1)):

Перша рiвнiстi a виконуються за визначенням множеня; друга рiвнiсть b викону¹ться за iндуктивним припущенням; третя рiвнiсть c викону¹ться за лiвою дистрибутивнiстю; остання

рiвнiсть викону¹ться за визначенням множення. Асоцiативнiсть множення перевiрена.

Доведемо методом iндукцi¨ тотожнiсть (рiвнiсть, яка викону¹ться для будь-яких значень змiнних)

(5)

Êîëè x = 1 рiвнiсть (5) викону¹ться за рефлексивнiстю вiдношення =. Якщо для деякого x 2 N 1 x = x 1 = x (iндуктивне припущення), то (iндуктивний перехiд)

ab

1 (x + 1) = (1 x) + 1 = (x 1) + 1 = x + 1:

Âостанньому записi рiвнiсть a викону¹ться за лiвою дистрибутивнiстю, а рiвнiсть b викону-

¹ться за iндуктивним припущенням, остання рiвнiсть викону¹ться за визначенням множення на 1.

3

Доведемо комутативнiсть множення натуральних чисел:

Доводимо iндукцi¹ю за y, використовуючи (5) як базу iндукцi¨. Отже, робимо iндуктивне

припущення xy = yx:

Iндуктивний перехiд забезпечу¹ться рiвностями

a b c

x(y + 1) = (xy) + x = (yx) + x = (y + 1)x:

Ðiâíiñòü a викону¹ться за визначенням множення, рiвнiсть b за iндуктивним припущенням,

а остання рiвнiсть за правою дистрибутивнiстю.

Зведемо до купи доведенi властивостi додавання та множення: для будь-яких x; y; z 2 N

(x + y) + z = x + (y + z) об'¹днувальний закон для додавання або асоцiативнiсть додавання;

x(y + z) = xy + xz лiвий розподiльний закон, лiва дистрибутивнiсть;

(x + y)z = xz + yz правий розподiльний закон, права дистрибутивнiсть;

1 x = x 1 = x 1 ¹ нейтральним елементом щодо множення;

xy = yx переставний закон для множення, комутативнiсть множення;

x(yz) = (xy)z об'¹днувальний закон для множення, асоцiативнiсть множення.

1.3Вiднiмання. Вiдношення повного порядку

Наразi будемо дослiджувати рiвняння

у множинi натуральних чисел. В цьому рiвняннi a; b параметри, x невiдоме натуральне число. Нагада¹мо, що параметр це стала в умовах задано¨ задачi величина.

Часткова операцiя вiднiмання. Доведемо, що коли рiвняння (7) ма¹ розв'язок, то цей розв'язок ¹диний. Доведення проводимо iндукцi¹ю по c меншому з двох чисел a; b : c =

minfa; bg:

ßêùî c = 1; òî c 6= b тому що число 1 не ма¹ попереднього числа i рiвняння a + x = 1 не ма¹ розв'язку. Отже ми ма¹мо рiвняння x + 1 = b, яке ма¹ ¹диний розвязок тому, що число

може мати лише одне попередн¹.

Нехай вiдомо, що при заданому c = minfa; bg; c ==6 1 рiвняння (7) ма¹ ¹диний розв'язок.

Розглянемо рiвняня a1 + x = b1, для якого c1 = minfa1; b1g = c+ 1 i це рiвняння ма¹ р озв'язок. Тодi a1; b1 мають попереднi i рiвняння (7) можна записати у виглядi a + 1 + x = b + 1, àáî (a + x) + 1 = b + 1: Звiдси одержу¹мо a + x = b, а це рiвняння може мати лише один розв'язок.

називають вiднiманням.

Iз вiдповiдних властивостей додавання виплива¹ властивiсть рiзниць (коли вони iснують):

(a b) + (c d) = (a + c) (b + d); a(b c) = ab ac:

4

Вiдношення порядку > Введемо вiдношення > (назвемо його бiльше ) на множинi натуральних чисел правилом: b > a тодi i тiльки тодi, коли визначена рiзниця a b, тобто коли для

деякого x a + x = b: Покажемо, що так введене бiнарне вiдношення бiльше ¹ вiдношенням порядку. Отже ми будемо доводити антирефлексивнiсть, антисиметричнiсть i транзитивнiсть.

Почина¹мо з антирефлексивностi. Нагада¹мо, що антирефлексивнiсть означа¹, що нерiвнiсть a > a неможлива. Розгляда¹мо рiвняння a + x = a. I доводимо, що це рiвняння не ма¹

розв'язкiв методм математично¨ iндукцi¨. При a = 1 рiвнiсть неможлива тому, що 1 не ма¹ попереднього числа. Нехай тепер рiвняння b + x = b íå ì๠ðîçâ'ÿçêiâ i a = b + 1. Тодi число

a ма¹ два попереднi b i b + x, вони повиннi бути однаковими. А тут можна скористатися

iндуктивним припущенням, яке стверджу¹ вiдсутнiсть портiбного розв'зку. Переходимо до транитивностi. Нехай a > b i b > c. Тодi для деяких x; y 2 N

a = b + x; b = c + y; a = c + (x + y)

i a > c: Транзитивнiсть доведена.

Iз антирефлексивностi i транзитивностi виплива¹ антисиметричнiсть. Скориста¹мося методом вiд протилежного. Нехай a > b i b > a для деяких a; b 2 N: Тодi за транзитивнiстю

вiдношення бiльше a > a, що суперечить антирефлексивностi. Одержана суперечнiсть дово-

дить антисиметричнiсть.

Частково впорядкована множина назива¹ться лiнiйно впорядкованою, коли будь-якi ¨¨ два елементи x; y можна порiвнювати, тобто викону¹ться одна iз нерiвностей: або x < y àáî y < x.

Вiдповiдний частковий порядок називають лiнiйним.

Введене вiдношення бiльше на множинi натуральних чисел ¹ лiнiйним порядком. Доведемо це.

Виберемо довiльний елемент a 2 n: Нам потрiбно довести, що для будь-якого елемента b 2 N; a =6 b одне з рiвнянь a + x = b; b + x = a ма¹ розв'язок. Розглянемо множину

A = fb 2 Nj рiвняння a + x = b ì๠ðîçâ'ÿçîê g;

множину

B = fb 2 Nj рiвняння b + x = a ì๠ðîçâ'ÿçîê g;

i множину

C = A [ B [ fag:

У введених позначеннях нам потрiбно довести, що C = N Для будь-якого a 2 N. Доводимо iндукцi¹ю за числом a.

База iндукцi¨ a = 1. 1 2 C за визначенням C, à êîëè b =6 1; b = x + 1; òîäi b 2 A, b 2 C Iндуктивне припущення. Нехай для деякого a множина C äîðiâíþ¹ N, тобто для b =6 a îäíå

з рiвнянь a + x = b; b + x = a ì๠ðîçâ'ÿçîê.

Iндуктивний перехiд. Розгляда¹мо рiвняння (a + 1) + x = b; b + x = (a + 1) êîëè b =6 a + 1.

Êîëè b = 1 рiвняння 1 + x = a + 1 ì๠ðîçâ'ÿçîê x = a. Êîëè b 6= 1; b = b1 + 1; b1 6= a; òîäi

розв'язки рiвнянь (a+1)+x = b; b+x = (a+1) будуть розв'язкам рiвнянь a+x = b1; b1 +x = a,

а iснування розв'язку у одного з останнiх рiвнянь забезпечу¹ться iндуктивним припущенням. Вiдношення бiльше узгоджене i з множенням i з додаванням в тому розумiннi, що

(10)

Сказане виплива¹ з того, що коли a1 = b1 + c1; a2 = b2 + c2; òî

a1 + a2 = (b1 + b2) + (c1 + c2); a1 a2 = (b1 b2) + (b1c2 + b2c1 + c1c2)

5

Принцип найменшого числа Принцип найменшого числа формулю¹ться наступним чи- ном.

Кожна непорожня пiдмножина A N; A 6= ; ма¹ найменше число a 2 A в тому розумiннi,

ùî

8b 2 a(b 6= a ) b > a):

Принцип найменшого числа доводиться методом вiд протилежного. Припустимо, що пiдмножина A N; A =6 ; не ма¹ найменшого числа. Розглянемо множину

B = fb 2 N!8x 2 A(b < x)g:

1 2 B, тому що в протилежному випадку множина A мала б найменший елемент 1. Якщо b 2 B, òî b + 1 2 B в протилежному випадку b + 1 було б найменшим числом в A.

Таким чином за аксiомою iндукцi¨ B = N i A = ;; що суперечить припущенню. Принцип найменшого числа доведений.

Дiлення Дiленням числа a на число b називають пошук розв'язку рiвняння

Якщо рiвняння (11) ма¹ розв'зок, то цей розв'язок ¹диний. Це виплива¹ з того, що множина натуральних чисел лiнiйно впорядкована i коли x > y; òîäi ax > ay: Ðîçâ'çîê, êîëè âií iñíó¹,

позначають x = b : В такому мовному оточеннi x називають часткою вiд дiлення b íà a, a

Також в загальному випадку, коли число b можна записати у виглядi b = ax для деякого натурального x, число a називають дiльником числа b.

Iз властивостей множення виплива¹, що якщо a ¹ дiльником доданкiв b1; b2, то це число ¹ дiльником i суми b1 + b2. Також коли iсну¹ рiзниця b1 b2, число a ¹ дiльником i b1 i b2, òî a буде дiльником b1 b2. ßêùî a ¹ дiльником числа b, то для будь-якого натурального c число a буде дiльником числа b c: ßêùî a ¹ дiльником b, то пишуть ajb:

Дiльниками для будь-якого числа ¹ 1 i саме це число це так званi тривiальнi дiльники. Якщо число бiльше одиницi i не ма¹ нетривiальних дiльникiв, то його називають простим. Якщо число ма¹ нетривiальнi дiльники, то його називають складеним. Число 1 не вiдносять нi до простих, нi до складених.

Дiлення з остачею Нехай ¹ два числа a; b 2 mathbbN; a > b i b не ¹ дiльником числа a. Тодi можна пiдiбрати два натуральнi числа q; r 2 N; якi задовольняють двi умови

Число r в такому випадку називають осатчею вiд дiлення a íà b. Доведемо iснування таких чисел q; r i ¨õ ¹äèíiñòü.

Зрозумiло, що числа q; r, якi задовольняють умову (12) iснують: оскiльки a > b; òî a = b+x для деякого x 2 N i тому можна взяти q = 1; r = x.

6

Вiзьмемо найменше з можливих r, що разом з деяким q задовольня¹ умову (12) таке

число iсну¹ з огляду на принцип найменшого числа. Методом вiд протилежного доведемо, що так вибране число r також задовольня¹ умову (12).

Припустимо, що r не задовольня¹ умову (13), тобто r b: ßêùî b = r; òî a дiлиться на b, що суперечить припущенню. Якщо r > b; то можна записати a = b(q + 1) + (r b) i r b < r; а це суперечить вибору r. Одержанi суперечностi доводять, що r задовольня¹ умову (13).

Отже iснування q; r, що задовольняють умови (12)б (13), ми довели. Тепер доведемо ¹динiсть таких чисел. Нехай ¹ числа q1; q2; r1; r2; äëÿ ÿêèõ

a = bq1 + r1; a = bq2 + r2; b > r1; b > r2:

ßêùî r1 =6 r2; r1 > r2; òî q2 =6 q1, r1 r2 = b(q2 q1). Проте остання рiвнiсть неможлива,

îñêiëüêè q2 q1 1; b(q2 q1) b; r2 r1 < r2 < b: Îòæå r1 = r2 i q1 = q2:

Коли бажають пiдкреслити, що одне число дiлиться на друге, то кажуть, що дiлення вiдбулося без остачi .

Найбiльший спiльний дiльник НСД. Алгоритм Евклiда. Число, що ¹ дiльником i числа a i числа b, назива¹мо спiльним дiльником. Серед спiльних дiльникiв ¹ такий, що

дiлиться на всi iншi дiльники. Його називають найбiльшим спiльним дiльникои чисел a i b i позначають НСД(a; b)

Доведення iснування НСД(a; b) конструктивне ми вказу¹мо алгоритм (так званий алго-

ритм Евклiда), тобто послiдовнiсть дiй, за допомогою якого знаходиться цей НСД(a; b).

Алгоритмом Евклiда буду¹ться послiдовнiсть чисел, яка закiнчу¹ться найбiльшим спiльним дiльником перших двох чисел в цiй послiдовностi. Якщо одне з чисел дiлиться на друге, то це друге i буде ¨х найбiльшим спльним дiльником. Тому далi розгляда¹мо випадок, коли заданi два числа a; b 2 N; a > b i a не дiлиться на b (àáî b не ¹ дiльником a)

Першими двома елементами потрубно¨ послiдовностi ¹ a i b. Третiм елементом ¹ остача r âiä

дiлення a íà b: a = bq+r: кожен наступний елемент по слiдовностi ¹ остачею вiд дiлення другого

з кiнця на останнiй елемент. Алгоритм закiнчу¹ться коли дiлення вiдбулося без остачi. Отже четвертий елемент r1 послiдовностi (якщо вiн iсну¹) шука¹ться з умови b = rq1 + r1; r1 < r,

r = r1q1 + r2; r2 < r1 i т.д. Останнiй елемент в послiдовностi ¹

найбiльшим спiльним дiльником перших двох чисел. Це виплива¹ з того, що спiльний дiльник будь-яких двох сусiднiх елементiв послiдовностi ¹ дiльником лiвого i дiльником правого сусiда в послiдовностi.

Запишемо сказане символьно. Нехай послiдовнiсть в алгоритмi Евклiда мiстить три члени a; b; r, тобто a = bq + r; r < b, b = rq1: Òîäi r ¹ спiльним дiльником a; b, òîìó ùî r ¹ дiльником

b, i a ¹ сумою двох доданкiв, що дiляться на r, îòæå i a дiлиться на r. З друго¨ сторони, r

дiлиться на будь-який iнший спiльний дiльник чисел a; b, òîìó ùî r = a bq: Нехай послiдовнiсть в алгоритмi Евклiда мiстить 5 елементiв, тобто

Ця послiдовнiсть показу¹, що кожен дiльник a; b ¹ дiльником r, кожен дiльник b; r ¹ дiльником

r1, i кожен дiльник r; r1 ¹ дiльником r2, Таким чином, r2 дiлиться на всi дiльники чисел a; b. Переписавши послiдовнiсть (14) в звототному порядку

7

одержимо послiдовнiсть яка показу¹, що r2 ¹ дiльником r1; кожен дiльник r2; r1 ¹ дiльником r; îòæå r2 ¹ дiльником r, кожен дiльник r1; r ¹ дiльником b; îòæå r2 ¹ дiльником b, кожен дiльник b; r ¹ дiльником a; îòæå r2 ¹ дiльником a. Таким чином r2 ¹ дiльником i a i b, тобто ¹

¨х спiльним дiльником.

Подiбним чином в загальному випадку, коли алгоритмом Евклiда одержана послiдовнiть

a; b; r; r1; r2; : : : ; rk 1; rk; rk 1 = qk + 1rk; k 2 N; k > 1;

перевiря¹ться, що rk ¹ найбiльшим спiльним дiльником чисел a; b:

rk = ÍÑÄ(a; b):

Зокрема, якщо числа a > b вха¹мно простi, то можна пiдбрати натуральнi числа m; n òàê, ùî

Формула (18) ма¹ далекосяжнi наслiдки i практичнi застосування. Тому на не¨ потрiбно звернути особливу увагу.

Дiлення добутку. Доведемо, що коли добуток a b дiлиться на число c, i перший множиник a вза¹мно простий з c, тодi другий множник b дiлиться на c.

чином. Кожне натуральне число, що не дорiвню¹ 1, розклада¹тся в добуток простиx чисел, i це розкладання ¹дине з точнiстю до порядку множникiв.

Символьно згадану теорему можна записати так. Якщо n 2 N; n > 1 i

n = p1 p2 : : : pr = q1q2 : : : qs;

äå r; s кiлькостi множникiв в добутках.

При доведеннi будемо користуватися теоремою про дiлення добутку, але дещо пристосу¹мо до наших потреб. А саме наслiдком iз не¨: Якщо добуток p u дiлиться на q, p; q; u > 1; i числа

p; q простi, то або p = q àáî u дiлиться на q сказане ¹ правильним тому, що коли просте

число дiлиться на iнше просте число, то вони збiгаються.

Переходимо до доведення основно¨ теореми арифметики, теореми про розкладання натурального числа у добуток простих чисел.

Îñêiëüêè q1q2 : : : qs дiлиться на p1 òî àáî q1 = p1, àáî q2q3 : : : qs дiлиться на p1. ßêùî q2q3 : : : qs дiлиться на p1 òî àáî q2 = p1, àáî q3q4 : : : qs дiлиться на p1. ßêùî q3q4 : : : qs дiлиться на p1 òî àáî q3 = p1, àáî q4q5 : : : qs дiлиться на p1.

8

Продовжуючи цей процес ми не бiльше нiж через s 1 крокiв знаходимо серед q1; q2; : : : ; qs знаходимо множник, який дорiвню¹ p1: Переставивши, якщо потрiбно множинки, ми можемо вважати, що p1 = q1: Äàëi ðîçäiëèìî ðiâíiñòü

p1 p2 : : : pr = p1q2 : : : qs

íà p1 i одержимо рiвнiсть p2 p3 : : : pr = q2q3 : : : qs: Подiбним чином доводимо, що p2 = q2; p3 = q3; : : : ßêùî r > s; то одержимо неможливу рiвнiсть pr spr s+1 : : : pr = 1: ßêùî æ r < s; то одержимо неможливу рiвнiсть qs rps r+1 : : : qs = 1: Таким чином ми довели, що r = s i pi = qi ïðè

Нескiнченнiсть множини простих чисел Нескiнченнiсть множини простих чисел доводиться методом вiд протилежного. Припустимо, що множина простих чисел скiнченна i p1; p2; : : : ; pn всi простi числа. Розглянемо число

a = p1 p2 pn + 1:

Це число розклада¹ться у добуток простих, отже дiлиться на якесь просте число, однак при дiленнi на будь-яке просте число одержу¹ться остача 1 а не дiлиться на жодне iз простих чисел. Одержана суперечнiсть доводить нескiнченнiсть множини простих чисел.

9